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集合的基本运算(习题课).ppt(参数).ppt2014.910


并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集. 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
用Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集的性质
(1) A ? A ? A ( 2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A ( 4) A ? A ? B , B ? A ? B (5) A ? B则A ? B ? B

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

交集的性质
(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A

全集概念

一般地,如果一个集合含有我 们所研究问题中所涉及的所有元素, 那么就称这个集合全集 (Universe set).通常记作U.

补集概念
对于一个集合A ,由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集 (complementary set),简称为集合A的补集.

记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明:补集的概念必须要有全集的限制. Venn图表示:

U
A A

补集的性质

(1) CU A ? A ? U (2) CU A ? A ? ? (3) CU U ? ? , CU ? ? U (4) CU (CU A) ? A

强化题:
已知集合 M ? ( x, y) x ? y ? 2 , N ? ( x, y) x ? y ? 4 ,那么集合 M ? N 为( A. x ? 3, y ? ?1 ; B. (3,?1) ; C. ?3,?1? ; D. ?(3,?1)?

?

?

?

?



【解析】D ; M ? N 表示直线 x ? y ? 2 与直线 x ? y ? 4 的交点组成的集合,A、B、C 均 不合题意。

题型2:根据集合间的关系求参数值或范围
例1: 设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2}, B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1}

,且 A B ? B,则实数 k 的取值范围是

.

提示:由已知的两集合间接关系 A B ? B ,可得集合间的直接关系为 B ? A 。

-3 2k-1

2k+1 2

x

例1 : 设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2}, B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A B ? B,则实数 k 的取值范围是 .

-3 2k-1

2k+1 2

x

?k ? ?1 2 k ? 1 ? ? 3 ? 1 ? 分析: ?? ? 1 ? ?1 ? k ? 2 k? ? 2k ? 1 ? 2 ? ? 2
1? ? ?k | ?1 ? k ? ? 2? ?

反思小结:

反思上面的例题1解题过程中为什么不用考虑 空集问题:

2 k ? 1 ? 2k ? 1
集合 B 一定不是空集,故没有讨论空集 的必要!!!

例2:
已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5}, B ? {x p ?1 ? x ? 2 p ?1}, A B ? A , 求 p 的取值范围。

提示:由已知的两集合间接关系 A B ? A ,可得集合间的直接关系为 B ? A 。

A -2 P+1

B 2P-1 5 x

【详解】由 A ? ?x | ?2 ? x ? 5? ,由题意可知: B ? A ,故应有 (1)当 B ? ? 时,应 p ? 1 ? 2 p ? 1 ,解得 p ? 2 . (2)当 B ? ? 时,应满足: p ? 1 ? 2 p ?1 ? p ? 2 .又由 B ? A ,

? p ?1 ? 2 p ?1 ? p ? 2 ??2 ? p ? 1 ? ? 得? ,故应 ??2 ? p ? 1 ? ? p ? ?3 ,所以 2 ? p ? 3 . ?2 p ? 1 ? 5 ?2 p ? 1 ? 5 ?p ? 3 ? ?
由⑴ , ⑵得 p ? 3 .所以 p 的取值范围是 p ? 3 . 【评注】由 B ? A ,易忽略 B ? ? (空集是任何集合的子集)而考虑不全面导致 失误,故提醒我们,在研究未知集合是已知集合的子集问题时应首先考察

? 情形.

例2变式: 已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5}, B ? {x p ?16 ? x ? 2 p ?1},

A ? B ,求 p 的取值范围。
? p ? 16 ? 2 p ? 1 ? p ? ?17 ? ? 解析: p ? 16 ? ? 2 ? ? ? p ? 14 ? 2 ? p ? 14 ?2 p ? 1 ? 5 ?p ? 2 ? ?

强化提高:

典例: 设集合 A ? ?x x 2 ? 3x ? 2 ? 0?,B ? ?x x 2 ? 2(a ? 1)x ? (a 2 ? 5) ? 0? (1)若 A ? B ? ?2?,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。
【解析】因为 A ? ?x x 2 ? 3x ? 2 ? 0?? ? 1,2?, (1)由 A ? B ? ?2?知, 2 ? B ,从而得 2 2 ? 4(a ? 1) ? (a 2 ? 5) ? 0 ,即
a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?3 .

当 a ? ?1时, B ? {x x2 ? 4 ? 0} ? {?2,2} ,满足条件; 当 a ? ?3 时, B ? ?x x 2 ? 4x ? 4 ? 0?? ?2?,满足条件; 所以 a ? ?1或 a ? ?3 。

验 证 、 取 舍 步 骤 不 可 少

典例: 设集合 A ? ?x x 2 ? 3x ? 2 ? 0?,B ? ?x x 2 ? 2(a ? 1)x ? (a 2 ? 5) ? 0? (1)若 A ? B ? ?2?,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。
A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ? 1,2?,

?

?

题目分析:

(2)对于集合 B ,由 ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 5) ? 8(a ? 3) 因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ①若 B ? ? ,则 ?

? 0 ,即 a ? ?3 ,满足条件;

2 2 ? ?? ? 4(a ? 1) ? 4( a ? 5) ? 8( a ? 3) ? 0 ? a ?? ; ②若 B ? {1} ,则需 ? 2 ? ?1 ? 2(a ? 1) ? a ? 5 ? 0
2 2 ? ?? ? 4( a ? 1) ? 4( a ? 5) ? 8(a ? 3) ? 0 ? a ? ?3 ; ③若 B ? {2} ,则需 ? 2 ? ?4 ? 4( a ? 1) ? a ? 5 ? 0

即 a ? ?3 时,满足条件;
?a ? ?3 ?? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 5) ? 8(a ? 3) ? 0 ? 5 ? ? ? ?a ? ? , ③若 B ? {1, 2},则需 ?1 ? 2 ? ?2(a ? 1) 2 ?1? 2 ? a 2 ? 5 ? 2 ? ? ?a ? 7

故 a ?? ; 综上所述:实数 a 的取值范围是 a ? ?3 .

题型3:利用韦恩图求解集合的交、并、补 例6 设全集 U ? {x | x ? 7, x ? N } ,已知 (?U A) B ? {1,6} ,A (? U B) ? {2,3} , , 求集合 A 、 B. ? ( A B ) ? {0,5} U
试用韦恩图表述下列集合:

(? B U A) ? B) U (A

A (? U B)

(? B U A)

A (? U B)

? B) U (A

,已知 (?U A) B ? {1,6} ,A (? U B) ? {2,3} , , 求集合 A 、 B. ? ( A B ) ? {0,5} U
U 2,3 A 0,5

例6 设全集

4,7

1,6 B

A ? {2,3, 4,7}, B ? {1, 4,6,7}

点评:
?

本题利用韦恩图的直观性很容易的得到各 个集合间的元素位置,注意这种方法在处 理集合关系时的简便作用。

例7 设全集U={1,2,3,4,5},集合 2 2 A ? {x | x ? 5x ? a ? 0}, B ? {x | x ? bx ? 12 ? 0},
已知 (?U A) B ? {1,3, 4,5}, (1)求实数 a, b的值;

( U B) 。 (2)求 (痧 U A)

例7 设全集U={1,2,3,4,5},集合 2 2 A ? {x | x ? 5x ? a ? 0}, B ? {x | x ? bx ? 12 ? 0},
已知 (?U A) B ? {1,3, 4,5}, (1)求实数 a, b的值;

a ? 6, b ? ?7

( U B) 。 (2)求 (痧 U A)
U 2 A

{1,5}
1,5
4 B

3

课堂小结:
1、处理集合的交、并、补运算的常用方法是: (1)数轴法(一般用来求解实数不等式情形) (2)韦恩图法(一般用来求解离散数集情形) 2、解决集合间的子集关系与运算问题时要特别 注意空集情形的可能性。如在研究 A ? B 问 题时。 3、求解集合的运算时要注意集合元素的属性的 理解。

课后作业:
?

学案:P9 单元自主练习(一)


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