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数列求和的方法总结


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专题

数列求和的方法总结 数列求和的方法总结

典型题(一)公式法求和 典型题(
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用 等差、等比数列的前 n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式: S n =

n ( a1 + an ) 2

= na1 +

n ( n ? 1) 2

d

? na1 ( q = 1) ? ②等比数列求和公式: S n = ? a1 (1 ? q n ) a ? a q = 1 n ( q ≠ 1) ? 1? q 1? q ? n(n + 1) 2 常见的数列的前 n 项和: 1 + 2 + 3 +……+n= , 1+3+5+……+(2n-1)= n 2

n(n + 1)(2n + 1) ? n(n + 1) ? 3 3 3 3 1 + 2 + 3 +……+n = , 1 + 2 + 3 + ……+n = ? 等. 6 ? 2 ? ?
2

2

2

2

2

题 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2n-1,则 a1 + a 2 + a 3 + L + a n = 等比数列 的前n
2 2 2 2

4n ? 1 3

题 2.若 12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,则 a= . 解: 原式=

,b=

,c=

(n ? 1)n ? (2n ? 1) 2n 3 ? 3n 2 + n = . 6 6

1 1 1 答案: ;? ; 3 2 6

其它参考素材淘题: 其它参考素材淘题:

典型题( 倒序相加法求和: 典型题(二)倒序相加法求和:

类似于等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。如果一个数列 {an } ,与首末两项等距的 两项之和等于首末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列 的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 题 1 已知函数 f ( x ) =

2x 2x + 2

(1)证明: f ( x ) + f (1 ? x ) = 1 ; (2)求 f ?

?1? ?+ ? 10 ?

? 2? f ? ? +L + ? 10 ?

?8? f ? ?+ ? 10 ?

?9? f ? ? 的值. ? 10 ?

解: (1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,

?1? f ? ?+ ? 10 ?

?9? ? 2? f ? ? = f ? ?+ ? 10 ? ? 10 ?

?8? ? 5? f ? ? =L = f ? ?+ ? 10 ? ? 10 ? ?8? f ? ?+ ? 10 ? ? 2? f ? ?+ ? 10 ? ?9? f? ? ? 10 ? ?1? f? ? ? 10 ?

? 5? f ? ? =1 ? 10 ?

?1? 令S = f ? ? + ? 10 ? ?9? 则S = f ? ? + ? 10 ?
两式相加得:

? 2? f ? ? +L + ? 10 ? ?8? f ? ? +L + ? 10 ?

? 2S = 9 × ? ?

?1? f ? ?+ ? 10 ?

? 9 ?? f ? ?? = 9 ? 10 ? ?

所以 S =

9 . 2

小结:解题时,认真分析对某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加法求和.

12 22 32 102 针对训练 3、求值: S = 2 + + + LL + 2 2 1 + 102 22 + 92 32 + 82 10 + 1

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典型题( 项和: 典型题(三)错位相减法求数列的前 N 项和:
类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。 若数列各项是由一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘得到,即数列是一个“差·比”数列,则采用错位相减法. 若 an = bn ? cn ,其中 {bn } 是等差数列, {cn } 是公比为 q 等比数列,令

S n = b1c1 + b2 c2 + L + bn ?1cn ?1 + bn cn
则 qS n =

b1c2 + b2 c3 + L + bn ?1cn + bn cn +1
n ?1

两式相减并整理即得 题1 解: S n 已知 an = n ? 2 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

= 1?20 + 2?21 + L + ( n ? 1)?2n ? 2 + n?2 n ?1



2 S n = 1?21 + 2?22 + L + ( n ? 1)?2n ?1 + n?2n
②—①得



S n = n?2n ? 1?20 ? 21 ? L 2 n ?1 = n?2n ? 2 n + 1
其它参考素材淘题: 其它参考素材淘题:

题外音: 题外音

错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列 {cn } 的公比

q ;②将两个等式相减;③利用等比数列的前 n 项和的公式求和.

题1

1 3 5 2n ? 1 2n + 3 , 2 , 3 , L , n , L ; 的前 n 项和为 项和为____ S n = 3 ? 2n 2 2 2 2

题 2 : Sn

= x + 2 x 2 + 3 x 3 + L + nx n ( x ≠ 0, x ≠ 1)

典型题(四)裂项相消法: 典型题( 裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些 正负项相互抵消,于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法。 适用于类似 ?

?

c ? ? (其中 {an } 是各项不为零的等差数列, c 为常数)的数列、部分无理数 ? an an +1 ?

列等。用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:

(1)

1 1?1 1 ? = ? ? ?, n (n + k ) k ? n n + k ? 1 1 = n+k + n k

特别地当 k = 1 时,

1 1 1 = ? n ( n + 1) n n + 1

(2)

(

n+k ? n

)

特别地当 k = 1 时

1 = n +1 ? n n +1 + n

题 1、数列 {an } 的通项公式为 an = 、

1 ,求它的前 n 项和 Sn n(n + 1)

解: S n = a1 + a2 + a3 + L + an ?1 + an

=

1 1 1 1 1 + + +L + + 1× 2 2 × 3 3 × 4 ( n ? 1) n n ( n + 1)

= ?1 ?

? ?

1? ?1 1? ?1 1? 1? ?1 1 ? ? 1 ? ?+? ? ? + ? ? ? + ? ? ? +L + ? ? 2? ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ? ? n n + 1 ?
1 n = n +1 n +1 n . 3n + 1

= 1?
题 2.

1 1 1 + +L + = 1× 4 4 × 7 (3n ? 2) × (3n + 1)

题3

1 1 1 1 1?1 1 1 1 ? + + + ... + =、 ? + ? ? ? 2 ? 4 3? 5 4 ? 6 (n + 1)(n + 3) 2? 2 3 n+2 n+3?

满足: = , 都有: + = + + , 题 4.数列 .数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则 满足 , ∈ 都有

1 1 1 1 + + +L+ = a1 a2 a3 a2008
A.

(

)

4016 2009

B.

2008 2009

C.

2007 1004

D.

2007 2008

解:先用叠加法得到: an =

n(n + 1) 1 2 1 1 ,∴ = = 2( ? ), 2 an n(n + 1) n n +1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +L+ = 2(1 ? + ? + L + ? ) = 2(1 ? ) = 4016 . a1 a2 a3 a2008 2 2 3 2008 2009 2009 2009

其它参考素材淘题: 其它参考素材淘题:

题外音
裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差, 且这两项是同一数列的相邻 两项,即这两项的结构应一致,并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练 5、求数列

1 1 1 1 , , ,L , ,L 的前 n 项和 Sn . 1+ 2 2 + 3 3 + 2 n + n +1

典型题( 拆分组求和法: 典型题(五)拆分组求和法:
有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 题 1、求和: S n = 2 ? 3 × 5 解: S n = 2 ? 3 × 5

(

?1

) + ( 4 ? 3 × 5 ) + ( 6 ? 3 × 5 ) + L + ( 2n ? 3 × 5 )
?2 ?3 ?n ?2 ?3 ?n

(

?1

) + ( 4 ? 3 × 5 ) + ( 6 ? 3 × 5 ) + L + ( 2n ? 3 × 5 )

= ( 2 + 4 + 6 + L + 2n ) ? 3 ( 5?1 + 5?2 + 5?3 + L + 5? n )
1? ?1? ?1 ? ? ? 5? ?5? = n ( n + 1) ? 3 × ? 1 1? 5
题2
n

? ? n ? ? = n 2 + n ? 3 ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 4 ? ?5? ? ? ?

数列 1,(1 + 2),(1 + 2 + 22 ),L,(1 + 2 + 22 + L + 2n?1 ),L 的通项公式 an = ,前 n 项和 S n =

2 n ? 1; 2 n +1 ? 2 ? n
题 3 .设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n,则 m 等于 ( A ) × × × … · , A. 题 3

n(n 2 ? 1) 3
数列 1

B.

1 n(n+4) 2

C.

1 n(n+5) 2

D.

1 n(n+7) 2

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 , … ,前 n 项和为 (A) 2 4 8 16 1 1 1 2 2 ( A ) n ? n +1 ( B ) n ? n +1 + 2 2 2 1 1 n 2 ? n ? n +1 + 其它参考素材淘题: 其它参考素材淘题: 2 2

(C)

n2 ? n ?

1 +1 2n

(D)

题 外 音
这是求和的常用方法,按照一定规律将数列分成等差(比)数列或常见的数列,使问题得到顺 利求解. 针对训练 6、求和: S n = ( a ? 1) + a ? 2 + a ? 3 + L + a ? n
2 3 n

(

) (

)

(

)
n

典型题( 典型题(六)奇偶并项求和法
题1

设 Sn = ?1 + 3 ? 5 + 7 ? L + (?1) n (2n ? 1) ,则 Sn =___ 2 ( ?1) ? n .

题 2 .若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则 S17+S33+S50 等于 A.1 B.-1 C.0 D .2

(

)

?n +1 ? 2 (n为奇) ? 解:对前 n 项和要分奇偶分别解决,即: Sn= ? ?? n (n为偶) ? 2 ?
题 3

答案:A

1002-992+982-972+…+22-12 的值是
A.5000 B.5050 C.10100 D.20200

解:并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案:B

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题外音:待查: 题外音:待查:

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