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指对数函数综合题


指对数函数综合题
1.已知 f ( x) ? log a
1? x (a ? 0, a ? 1) 。 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。

2.已知函数 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x 。

( 1 )求函数 f ( x) 的解析式; ( 2 )求 f (2) 的值; ( 3 )解方程
f ( x) ? f (2) 。

1 x

3.已知函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) ( a ? 1 ) 。 (1)求 f ( x) 的定义域、值域; (2)判断 f ( x) 的单调性; (3)解不等式 f ( x2 ? 2) ? f ( x) 。

参考答案: 1.[分析] 根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结 合指数函数的特征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等 式等相关内容,考察相关的不等式问题。 [解析](1)
1? x x ?1 ? 0, ? 0, 即 等价于 ( x ? 1)(x ? 1) ? 0 , 得 ?1 ? x ? 1, 1? x x ?1

所以 f ( x) 的定义域是 (?1,1) ; (2) f ( x) ? f (? x) ? log a
1? x 1? x ? log a = loga 1 = 0 , 1? x 1? x

所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) 为奇函数;

(3)由 f ( x) ? 0 ,得 log a 当 a ? 1 时,有

1? x ? 0, 1? x

1? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 ; 1? x 1? x ? 1 ,解得 ? 1 ? x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1 时,有 0 ? 1? x

故当 a ? 1 时, x ? (0,1) ;当 0 ? a ? 1 时, x ? (?1,0) 。 [考点透析]主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、 图象以及主要性质, 应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大 小,以及解指数不等式与对数不等式等。

2.[分析]通过代换,联立对应的方程组,通过消元达到求解函数 解析式的目的,从而求得对应的函数值及方程。 [解析] (1)由于 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x , 上式中,以
1 1 1 代 x 可 得 : f ( ) ? 1 ? f ( x ) ? l o 2g , 则 有 x x x 1 x

1 f ( ) ? 1 ? f ( x) ? l o 2gx , x 1 1 把 f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 x 代入 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x 可得: x x

f ( x) ? 1 ? [1 ? f ( x) ? log2 x] ? log2 x ,解得 f ( x) ?

1 ? log2 x 1 ? log2 x 1 ? log2 2
2 2


?1;

(2)由(1)得 f ( x) ? (3)由(1)得 f ( x) ? 则有 f ( x) ?
1 ? log2 x 1 ? log2 x
2

1 ? log2 x 1 ? log2 x 1 ? log2 x 1 ? log2 x
2 2

,则 f (2) ?

1 ? log2 2

,则(2)得 f (2) ? 1 ,

? f (2) ? 1 ,即 1 ? log2 x ? 1 ? log2 2 x ,

解得 log2 x ? 0 或 log2 x ? 1 ,所以原方程的解为: x ? 1 或 x ? 2 。 [考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式,要

合理选取比较适合的方法加以分析处理, 关键是要结合抽象函数关系 式的特征,这里用到的是以 代 x 的方式来达到求解函数解析式的目 的。
1 x

3.[分析]根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结 合指数函数的特征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等 式等相关内容,考察相关的不等式问题。 [解析] (1)要使函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) ( a ? 1 )有意义,则需要 满足 a ? a x ? 0 , 即ax ? a, 又 a ? 1, 解得 x ? 1 , 所以所求函数 f ( x) 的定义域为 (??,1) ; 又 loga (a ? a x ) ? loga a ? 1 ,即 f ( x) ? 1 ,所以所求函数 f ( x) 的值域为
(??,1) ;

(2)令 ? ? a ? a x ,由于 a ? 1 ,则 ? ? a ? a x 在 (??,1) 上是减函数, 又 y ? loga ? 是增函数,所以函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) 在 (??,1) 上是减 函数; (3)由于 f ( x2 ? 2) ? f ( x) ,得 loga (a ? a x ?2 ) ? loga (a ? a x ) , 由于 a ? 1 ,则 a ? a x ?2 ? a ? a x ,即 a x ?2 ? a x , 所以 x 2 ? 2 ? x ,解得 ? 1 ? x ? 2 , 而函数 f ( x) 的定义域为 (??,1) , 故原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} 。 [考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、 图象以及主要性质, 应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大 小,以及解指数不等式与对数不等式等。
2 2

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