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热点问题3 平面向量(教师版)


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热点问题 3
一、 填空题

平面向量

1.设 0 ? q ? 答案

p , a ? ?sin 2q,cos q? , b ? ? cos q,1? ,若 a ∥b ,则 tan q ? 2


>
1 2 1 . 2

解析 因为 a ∥b ,则 sin 2q ? cos 2 q ,所以 tan q ?

2.如图 AB 是半圆 O 的直径, C , D 是弧 AB 的三等分点, M , N 是线段

AB 的三等分点,若 OA ? 6 ,则 MC ? ND ?
答案
26



解析 由图 可得, MC ? MO ? OC, ND ? NO ? OD ,所以 MC ? ND ? (MO ? OC)( NO ? OD) ,代入数据, 可以求得 MC ? ND ? 26 3 . 3 .如图 , 在等腰三角形 ABC 中 , 底边 BC ? 2 , AD ? DC , AE ?

1 1 EB , 若 BD ? AC ? ? , 则 2 2

CE ? AB ?
答案



?

4 3

解析 设 BC ? a ? 2, AC ? b, AB ? c . 则 BD ? AC ?

1 1 1 ( BC ? BA) ? ( BC ? BA) ? (a 2 ? c 2 ) ? ? 2 2 2

又因为 a ? 2 ,所以 c ? 5 ,则 b ? 5 又 CE ? AB ? ( CB ? 又因为 cos C ?

1 3

2 1 2 1 CA) ? (CB ? CA) ? a 2 ? b 2 ? ab cos C 3 3 3 3

4 5 ,则 CE ? AB ? ? 4 5


4.已知 A(0,1), B(0, ?1), C (1,0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? 2 | PC |2 ,则 | AP ? BP | 的最大值为 答案
6

解析 设动点 P( x, y ) ,因为 A(0,1), B(0, ?1), C (1,0) , AP ? BP ? 2 | PC |2
2 2 所以 ( x, y ? 1)( x, y ? 1) ? 2[( x ? 1)2 ? y 2 ] ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,所以 | AP ? BP |? 2 x ? y

所以 | AP ? BP | 表示圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上的点到原点距离的两倍, | AP ? BP | 的最大值为 6. 5.已知向量 a , b ,满足 | a |? 1 , a 与 b 的夹角为
? ?
? ? ? ? ? p ,若对一切实数 x , | x a ? 2 b |?| a ? b | 恒成立,则 | b | 的 3

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取值范围是 答案
[ 1?? , )
?

.

解析 对 | x a ? 2 b |?| a ? b | 两边平方可得: x2 a ? 4xa ? b ? 4b ? a ? 2a ? b ? b 由 | a |? 1 , a 与 b 的夹角为

?

?

?

2

2

2

2

1 p 可得: a ? b ? | b | ,所以 x2 ? 2x | b | ?4 | b |2 ? 1? | b | ? | b |2 3 2

即对一切实数 x, x2 ? 2x | b | ?3| b |2 ? | b | ?1 ? 0 恒成立 所以 ? 4 | b |2 ?4(3| b |2 ? | b | ?1) ? 0 ,解得: | b |? 1 . 6. 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120? , 点 E , F 分别在边 BC , DC 上,BE ? l BC ,DF ? mDC , 若

2 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 l ? m ? 3
答案

.

5 6

解析 由题意得 0 ? l , m ? 1 ,取 AB, AD 作为基底, 则 AE ? AB ? l BC ? AB ? l AD ; AF ? AD ? mDC ? AD ? mAB , 所以 AE ? AF ? ( AB ? l AD)( AD ? mAB) ? ?2 ? 2l m? 4l ? 4m ? 1 ;

2 CE ? CF ? ?2(1 ? l )(1 ? m) ? ? , 3
??2 ? 2l m ? 4l ? 4m ? 1 5 ? 联立 ? 2 ,解得 l ? m ? . 6 ?2(1 ? l )(1 ? m) ? ? ? 3 ?
7.已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1),若平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC(1 ? ? ? 2,0 ? ? ? 1) 的点 P 组成,则 D 的面积为________. 答案 3 解析 设 P( x, y ) ,且 AB ? (2,1), AC ? (1, 2) . 所以 OP ? OA ? AP = OP ? (1, ?1) ? l (2,1) ? m(1,2) ,则 ?

? x ? 1 ? 2? ? ? ?3? ? 2 x ? y ? 3 ?? ? y ? ?1 ? ? ? 2? ?3? ? 2 x ? y ? 3

又?

?1 ? ? ? 2 ?0 ? x ? 2 y ? 3 为点 P 表示的平面区域,故面积为 3 . ?? ?0 ? ? ? 1 ?6 ? 2 x ? y ? 9

8. ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 2aBC ? bCA ? cAB ? 0 ,则 ABC 的最小角的余弦值 为 答案 .

7 8
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解析 由题意, 2aBC ? bCA ? cAB ? 2aBC ? bCA ? c( AC ? CB) ? (2a ? c)BC ? (b ? c)CA 即( ? 0, 2 a ?c )B C ? ( c ? bC )A , 而B 则 2a ? c ? 0, b ? c ? 0 , 解得 c ? 2a, b ? 2a , CC , A 不共线,

则 a 是最小的边,故 A 是最小的角,根据余弦定理 cos A ? 二、解答题 9 .已知 ?ABC 的三内角分别为 A, B, C, B ?

b2 ? c 2 ? a 2 4a 2 ? 4a 2 ? a 2 7 ? ? . 2bc 2 ? 2a ? 2a 8

?
3

, 向量 m ? (1 ? cos 2A ,? 2sinC ) , n ? (tan A,cos C) , 记函数

f ( A) ? m ? n .
(1)若 f ( A) ? 0, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)若关于 A 的方程 f ( A) ? k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. 解 (1)由 f ( A) ? m ? n ? (1 ? cos 2 A) tan A ? 2sin C cos C ? sin 2 A ? sin 2C

2 4 ? ? ,则 f ( A) ? sin 2 A ? sin( ? ? 2 A) ? sin(2 A ? ) . 3 3 3 ? 2 ? ? 由 f ( A) ? 0 可得: sin(2 A ? ) ? 0 , 0 ? A ? ? 且 A ? ,所以 A ? . 3 3 2 3
又因为 A ? C ? 所以 ABC 为等边三角形. (2)由(1)可知 f ( A) ? sin(2 A ?

4 5 )?( ?, ?) 3 3 3 3 3 3 ? 4? 4? 5? 则方程 f ( A) ? k 有两个不同的实数解等价于 k ? sin x 在 x ? ( , ) ( , ) 上有两上不同实 3 3 3 3 ) ,令 x ? 2 A ?
, x?(

?

?

? 4?
,

根,由函数 y ? sin x , x ? ( ,

? 4?
3 3

) (

3 3 4? 5? ) ? ( ,1) . , ) 的图像可得 k ? (?1, ? 3 3 2 2

10.已知△ABC 中. →→ →→ (1)设 BC ? CA = CA ? AB ,求证:△ABC 是等腰三角形; c 1 π → → → → (2)设向量 s =(2sinC,- 3), t =(sin2C,2cos2 -1),且 s // t ,若 sinA= ,求 sin( -B)的值. 2 3 3
2 2 →→ →→ 解 (1) 因为 BC ? CA = CA ? AB , 则 BC( BA ? BC) ? BA( BC ? BA) , 所以 BC ? BA , 即| B C|? |B A| .

所以△ABC 是等腰三角形. → → 2 C ? 1) ? ? 3 sin 2C ? 2sin C cos C ? ? 3 sin 2C (2)因为 s // t ,则 2sin C (2 cos

2

?s i n C 2 ??
因为 sin A ?

2 ? ,因为 0 C ? (0, ? ) ,则 C ? 3 s iC n? 2 sinC

?
2



1 ? 1 2 2 , C ? ,则 sin B ? cos A ? , cos B ? sin A ? 3 2 3 3

所以 sin(

?
3

? B) ?

3 1 2 6 ?1 cos B ? sin B ? . 2 2 6
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3π 11. 如图,半径为 1,圆心角为 的圆弧 AB 上有一点 C. 2 → → (1)若 C 为圆弧 AB 的中点,点 D 在线段 OA 上运动,求| OC + OD |的最小值; →→ (2)若 D,E 分别为线段 OA,OB 的中点,当 C 在圆弧 AB 上运动时,求 CE ? CD 的取值范围.

OA 为 x 轴建立直角坐标系, 解 (1) 以 O 为原点, 则 A(1, 0), B(0, ?1), C (?
设 D(t ,0)(0 ? t ? 1) ,则 OC ? OD ? (t ? 所以 | OC ? OD |? (t ?

2 2 , ) 2 2

2 2 , ), 2 2

2 2 2 2 2 时, | OC ? OD |min ? . ) ? ( )2 ,当 t ? 2 2 2 2 1 1 3 (2)由题意 D ( , 0), E (0, ? ) ,设 C (cos ? ,sin ? ) , ? ? [0, ? ] 2 2 2 1 1 1 1 2 ? 所以 CE ? CD ? (cos ? ? ,sin ? )(cos ? ,sin ? ? ) ? 1 ? sin ? ? cos ? ? sin(? ? ) ? 1 2 2 2 2 2 4 3 ? 1 2 2 3 因为 ? ? [0, ? ] ,则 sin(? ? ) ? [? , ] ,所以 CE ? CD ? [1 ? , ]. 2 4 2 2 4 2
→→ →→ 12. 已知 O 为△ABC 的外心,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 CO ? AB = BO ? CA . tanA tanA (1)推导出三边 a,b,c 之间的关系式; (2)求 + 的值. tanB tanC 解 (1)因为 CO ? AB ? BO ? CA ? CO ? (CB ? CA) ? BO ? ( BA ? BC)
2 2 1 2 tan A tan A tan A tan A cos B cos C sin( B ? C ) ? ? ? ? tan A( ? ) ? tan A (2)因为 tan B tan C tan B tan C sin B sin C sin B sin C

? (CB ? CA ) ? ( BA ? BC ) ? b 2 ? c 2 ? 2a 2

1 2

2

2

?tan A

s i nB (? C ) ? sin B s iC n

2 2 s in A a ? co As s Bi n C s i nb c

2 a 2 ?2 2 A c o? sb ? c

2

?2 . a

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