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2015陕西数学(W,Y)


2015 年陕西中考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算: 琪 A.1

骣2 桫3

0

=( A ) B. -

3 2

C.0

D.

2 3

2. 如图是一个螺母的示意图,它的俯视图是( B )

3. 下列计算正确的是( B ) A. a ? a ? a
2 3 6

B. (- 2ab)
3 2

2

= 4a2b2
2 2

C. (a

2 3

) = a5

D. 3a b ? a b ? 3ab

4. 如图, AB∥CD, 直线 EF 分别交直线 AB、 CD 于点 E、 F.若∠1=46°30’, 则∠2 的度数为 ( C )
A.43°30’ B.53°30’ C.133°30’ D.153°30’

5.设正比例函数 y=mx 的图象经过点 A(m,4),且 y 的值随 x 值的增大而减小,则 m=( B ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 6.如图,在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,BD 是△ABC 的角平分线.若在边 AB 上截取 BE=BC,连接 DE,则图中等腰三角形共有( D ) A.2 个 B .3 个 C.4 个 D.5 个

?1 ? x ? 1 ? ?3, 7. 不等式组 ? 2 的最大整数解为( C ) ? ? x ? 2( x ? 3) ? 0.
A.8 B.6 C.5 D.4 8.在平面直角坐标系中,将直线 l1:y=-2x-2 平移后,得到直线 l2:y=-2x+4,则下列平移作法正
确的是( A ) A.将 l1 向右平移 3 个单位长度 C.将 l1 向上平移 2 个单位长度 9.在 B.将 l1 向右平移 6 个单位长度 D.将 l1 向上平移 4 个单位长度

ABCD 中,AB=10,BC=14,E、F 分别为边 BC、AD 上的点.若四边形 AECF 为正方形,则

1

AE 的长为( D ) A.7 A.没有交点 B.只有一个交点,且它位于 y 轴右侧 C.有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧 D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧 B.4 或 10
2

C .5 或 9

D.6 或 8

10. 下列关于二次函数 y=ax -2ax+1(a>1)的图象与 x 轴交点的判断,正确的是( D )

第 II 卷(非选择题目 共 90 分) 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,计 12 分) 11. 将实数 5 ,π ,0,-6 由小到大用“<”号连起来,可表示为_-6<0< 5 <π . 12.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.正八边形的一个内角的度数为__135°. B.如图,有一滑梯 AB,其水平宽度 AC 为 5.3 米,铅直高度 BC 为 2.8 米,则∠A 的度数约为 _27.8°.(用科学计算器计算,结果精确到 0.1°)

13.如图,在平面直角坐标系中,过点 M(-3,2)分别作 x 轴、y 轴的垂线与反比例函数 y ?

4 x

的图象交于点 A、B 两点,则四边形 MAOB 的面积为_10_.

14.如图,AB 是⊙O 的弦,AB=6,点 C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°.若点 M、N 分别是 AB、 BC 的中点,则 MN 长的最大值是_ 3

2 _.

三、解答题(共 11 小题,计 78 分.解答应写出过程) 15. 计算: 3 ? ( ? 6) ? | ?2 2 | ?( ) .

1 2

?3

解:原式= ? 18 ? 2 2 ? 8 = ?3 2 ? 2 2 ? 8 =8- 2 .

16. 解分式方程:

x?2 3 ? ? 1. x ?3 x ?3
2

解: (x-2)(x-3)-3(x+3)=(x+3)(x-3), x -5x+6-3x-9=x -9,-8x=-6,x= 经检验,x=
2 2

3 . 4

3 是原方程的根. 4

17. 如图,已知△ABC,请用尺规过点 A 作一条直线,使其将△ABC 分成面积相等的两部分(保
留作图痕迹,不写作法). 解:如图,直线 AD 即为所示.

18. 某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况,让体育教师随机抽查 了该年级若干名女生,并严格地对她们进行了 1 分钟“仰卧起坐”测试,同时统计了每个人做的 个数(假设这个个数为 x).现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级:优秀(x≥44)、良 好(36≤x≤43)、及格(25≤x≤35)和不及格(x≤24),并将统计结果绘制成如下两幅不完 整的统计图. 请你根据以上信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图; (2)被测试女生 1 分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在_____等级; (3)若该年级有 650 名女生,请你估计该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数. 解:(1)补全的两幅统计图如图所示.

(2)良好. (3)650×26%=169(人). ∴该年级女生中 1 分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数为 169 人. 19.如图,在△ABC 中,AB=AC,作 AD⊥AB 交 BC 的延长线于点 D,作 AE∥BD、CE⊥AC,且 AE、CE 相交于点 E. 求证:AD=CE.

证明:∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB.

3

∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∴∠EAC=∠B. 又∵∠BAD=∠ACE=90°, ∴△ABD≌△CAE, ∴AD=CE. 20. 晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞.小聪思 考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高 .于是,两人在灯下沿直线 NQ 移动.如图, 当小聪正好站在广场的 A 点 (距 N 点 5 块地砖长) 时, 其影长 AD 恰好为 1 块地砖长; 当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时,其影长 BF 恰好为 2 块地砖长.已知广场地 面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成,小聪的身高 AC 为 1.6 米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你 根据以上信息,求出小军身高 BE 的长.(结果精确到 0.01 米)

解:由题意得∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=∠MDN,∴△CAD∽△MND. ∴

CA AD 1.6 1? 0.8 ? ? .∴ .∴MN=9.6. MN ND MN (5 ? 1) ? 0.8

又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MFN,∴△EBF∽△MNF. ∴

EB 2 ? 0.8 ? .∴EB≈1.75. 9.6 (2 ? 9) ? 0.8

∴小军的身高约为 1.75 米. 21. 胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游.经了解, 现有甲、 乙两家旅行社比较合适, 报价均为每人 640 元,且提供的服务完全相同.针对组团两日游的游客,甲旅行社表示,每人都 按八五折收费;乙旅行社表示,若人数不超过 20 人,每人都按九折收费,超过 20 人,则超出部 分每人按七五折收费.假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为 x 人. (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 y(元)与 x(人)之间的函数关系; (2)若胡老师组团参加两日游的人数共有 32 人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助 胡老师选择收取总费用较少的一家. 解:(1)甲旅行社:y=640×0.85x=544x. 乙旅行社:当 x≤20 时,y=640×0.9x=576x; 当 x>20 时,y=640×0.9×20+640×0.75(x-20)=480x+1920. (2)甲旅行社: 当 x=32 时,y=544×32=17408. 乙旅行社: ∵32>20, ∴当 x=32 时,y=480×32+1920=17280. ∵17408>17280,

4

∴胡老师应选择乙旅行社. 22. 某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛,要求每班选一名代表参

赛.九年级(1)班经过投票初选,小亮和小丽票数并列班级第一,现在他们都想代表本班参 赛.经班长与他们协商决定,用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛). 规则如下: 两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次, 向上一面的点数都是奇 数,则小亮胜;向上一面的点数都是偶数,则小丽胜;否则,视为平局.若为平局,继续上 述游戏,直至分出胜负为止. 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子,那么请你解答下列问题: (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少? (2)该游戏是否公平?请用列表或树状图等方法说明理由. (骰子:六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 个小圆点的小正方体) 解:(1)所示概率 P= (2)游戏公平. 理由如下:

3 1 = . 6 2

由上表可知,共有 36 种等可能的结果,其中小亮、小丽获胜各有 9 种结果.
∴P(小亮胜)=

9 1 9 1 = ,P(小丽胜)= = .∴该游戏是公平的. 36 4 36 4

23. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的弦,过点 B 作⊙O 的切线 DE,与 AC 的延长线交于
点 D,作 AE⊥AC 交 DE 于点 E.

第 23 题图
(1)求证:∠BAD=∠E; (2)若⊙O 的半径为 5,AC=8,求 BE 的长. (1)证明:∵⊙O 与 DE 相切于点 B,AB 为⊙O 直径, ∴∠ABE=90°. ∴∠BAE+∠E=90°. 又∵∠DAE=90°,∴∠BAD+∠BAE=90°. ∴∠BAD=∠E. (2)解:连接 BC. ∵AB 为⊙O 直径,∴∠ACB=90°. ∵AC=8,AB=2×5=10,∴BC=

AB2 - AC 2 = 6 .

又∵∠BCA=∠ABE=90°,∠BAD=∠E,

5

∴△ABC∽△EAB. ∴

AC BC 8 6 40 = = ,∴BE= ,∴ EB AB EB 10 3

24. 在平面直角坐标系中,抛物线 y=x +5x+4 的顶点为 M,与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点. (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)求抛物线 y=x +5x+4 关于坐标原点 O 对称的抛物线的函数表达式; (3)设(2)中所求抛物线的顶点 M',与 x 轴交于 A'、B'两点,与 y 轴交于 C'点,在以 A、B、 C、M、A'、B'、C'、M'这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中,求其中一个 不是菱形的平行 .. 四边形的面积.
2

2

解:(1)令 y=0,得 x +5x+4=0. ∴x1=-4,x2=-1. 令 x=0,得 y=4. ∴A(-4,0),B(-1,0),C(0,4).[或 A(-1,0),B(-4,0),C(0,4)也正确] (2)∵A,B,C 关于坐标原点 O 对称后的点为(4,0),(1,0),(0,-4), ∴所求抛物线的函数表达式为 y=ax +bx-4. 将(4,0),(1,0)代入上式,得 a=-1,b=5. ∴y=-x +5x-4,即为所求.
2 2

2

[ y = - (x -

5 2 9 ) + 或 y=-(x-1)(x-4)也正确] 2 4

(3)如图,取四点 A、M、A'、M'.连接 AM,MA',A'M',M'A,MM'. 由中心对称性可知, MM'过点 O,OA=OA',OM=OM'. ∴四边形 AMA'M'为平行四边形. 又知 AA'与 MM’不垂直,∴平行四轮这形 AMA'M'不是菱形. 过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D. ∵y=x +5x+4= ( x +
2

5 2 9 5 9 ) - ,∴M( - , - ). 2 4 2 4

又∵A(-4,0),A'(4,0), ∴AA'=8,MD=

9 . 4
6

∴S 平行四边形 AMA'M'=2S△AMA'=2×

1 9 ×8× =18. 2 4

25. 如图,在每一个四边形 ABCD 中,均有 AD//BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.
1 ,点 M 是四边形 ABCD 边 AD 上的一点,则△BMC 的面积为_______; (1)如图○ 2 ,点 N 是四边形 ABCD 边 AD 上的任意一点,请你求出△BNC 周长的最小值; (2)如图○ 3 ,在四边形 ABCD 的边 AD 上,是否存在一点 P,使得 cos∠BPC 的值最小?若存在, (3)如图○

求出此时 cos∠BPC 的值;若不存在,请说明理由.

解:(1) 24

3.

1 ,作点 C 关于直线 AD 的对称点 C',连接 C'N、C'D、C'B,C'B 交 AD 于点 N', (2)如图○ 连接 CN',则 BN+NC=BN+NC'≥BC'=BN'+CN'.

∴△BNC 周长的最小值为△BN'C 的周长=BN'+CN'+BC=BC'+BC. ∵AD//BC,CD⊥BC,∠ABC=60°, ∴过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,则 CE=AD=8. ∴BE=4,AE=BE·tan60°= 4 又∵BC=12,∴BC'=

3 .∴CC'=2CD=2AE= 8 3 .

BC 2 + CC'2 = 4 21 .
21 +12.

∴△BNC 周长的最小值为 4

2 ,存在点 P,使得 cos∠BPC 的值最小. (3)如图○

作 BC 的中垂线 PQ 交 BC 于点 Q,交 AD 于点 P,连接 BP、CP,作△BPC 的外接圆⊙O,⊙O 与直线 PQ 交于点 N,则 PB=PC,圆心 O 在 PN 上. ∵AD//BC,∴⊙O 与 AD 正好相切于点 P. ∵PQ=DC= 4

3 >6,∴PQ>BQ .

∴∠BPC<90°圆心 O 在弦 BC 的上方. 在 AD 上任取一点 P',连接 P'B、P’C,P'B 交⊙O 于点 M,连接 MC. ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP'C.∴∠BPC 最大,cos∠BPC 的值最小. 连接 OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC. ∵OB=OP= 4

3 -OQ,在 Rt△BOQ 中,OQ2+62= (4 3 - OQ)2 .

7

∴OQ=

3 7 3 ,∴OB= . 2 2
OQ 1 1 = .∴此时 cos∠BPC 的值是 . OB 7 7

∴cos∠BPC=cos∠BOQ=

8


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