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湖北省天门仙桃市2016


天门市 2016-2017 学年度第一学期期末考试试题 高一数学(理科)
全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1、考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3、 填空题 和解答题用 0.5 毫

米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。 答在试卷上无 效。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.已知集合 A、B 满足 A ? B ? A ,那么下列各式中一定成立的是

?B A.A ≠

?A B.B ≠

C. A ? B ? A

D. A ? B ? B

2.已知函数 f ( x) 的定义域为[-1,5],在同一坐标系下,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的交点个 数为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.0 个或者 2 个

3.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域是 A. {x x ? 1} B. {x x ? 0}
0.3

C. {x x ? 1或x ? 0}

D. {x 0 ? x ? 1}

4.已知 a= 0.3 ,b= 2 A .b>a>c

, c ? 0.30.2 ,则 a,b,c 三者的大小关系是 C.a>b>c D.c>b>a

B.b>c>a

5.函数 f ( x) ? a x ? log a ( x ?1) 在 [0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为 A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

6.已知点 M ( x,1) 在角 ? 的终边上,且 cos ? ? A.1 B. ?1

2 x ,则 x ? 2
D. ? 1 或 0 或 1

C.1 或 ?1

7. sin1 , cos1 , tan1 的大小关系是 A. tan1 ? sin1 ? cos1 B. tan1 ? cos1 ? sin1

1

C. cos1 ? sin1 ? tan1

D. sin1 ? cos1 ? tan1

8.已知向量 OP ? (?8m, ?6cos ) 与单位向量(1,0)所成的角为 ? ,且 cos? ? ? ,则 m 的值为

??? ?

?

3

4 5

A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2
x

D.

3 2

9.设 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时 , f ? x ? ? 3 ? 2x ? a ? a ? R ? , 则 f ? ?2? ? A. ?1 B. ?4 C. 1 D. 4

10.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移 C.向右平移

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象
B.向左平移 D.向左平移

?
6

个单位 个单位

?
6

个单位 个单位

?
3

?
3

11.已知 AB ? a+5b, BC ? -2a+8b, CD ? 3(a-b)则 A. A、B、D 三点共线 C.B、C、D 三点共线 B.A、B、C 三点共线 D.A、C、D 三点共线

??? ?

??? ?

??? ?

12.已知二次函数 f ( x) ? 2x2 ? (4 ? m) x ? 4 ? m , g ( x) ? mx ,若对任意的 x , f ( x) 与 g ( x) 的值至 少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 A.[-4,4] B. (-∞,4) C. (-4,4) D. (-∞,-4)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分.把答案填在答题卡上对应题号后的横线上) 13.若函数 f ( x) ? e ? k 在区间 (0,1) 内存在零点,则参数 k 的取值范围是 ▲ .
x

14.已知 tan ? ? 2, 则

1 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

▲ . ▲ .

15.设向量 a =(1,2) , b =(2,3) ,若向量 ? a + b 与向量 c =(-4,-7)共线,则 ? ? 16.设角 ? ? ?

2sin(? ? ?)cos(? ? ?) ? cos(? ? ?) 35 的值等于 ▲ . ? ,则 6 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ?) ? cos 2 (? ? ?)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在 答题卡上对应题号指定框内。 17. (本小题满分 10 分)

? 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? a或x ? 2 ? a,(a ? 1)} ,集合 B ? {x | tan(?x ? ) ? ? 3} . 3

2

(Ⅰ)求集合 ?u A 与 B; (Ⅱ)当 ?1 ? a ? 0 时,集合 C=( ?u A)∩B 恰好有 3 个元素,求集合 C.

18. (本小题满分 12 分) 某工厂生产产生的废气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含 量 p (单位:毫克/升)与过滤时间 t (单位:小时)之间的关系为: p(t ) ? p0e? kt (式中的 e 为 自然对数的底, p0 为污染物的初始含量) 。过滤 1 小时后检测,发现污染物的含量减少了 (Ⅰ)求函数关系式 p(t ) ; (Ⅱ)要使污染物的含量不超过初始值的

1 . 5

1 ,至少还需过滤几小时?( lg 2 ? 0.3 ) 1000

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求 f (2 ) 在区间[-1,1]上的最大值与最小值.
x

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?), x ? R , (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 中,相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

? )的图象与 x 轴的交点 2

? 2? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2

? ? ?? (Ⅱ)当 x ? ? , ? ,求 f ( x) 的值域. ?12 2 ?

3

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 和 A(5,2)为顶点作等腰直角△ABO,使 ∠B=90 ,求点 B
o

??? ? 和向量 AB 的坐标.

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? log 25 ? x ? 1? ? a ? 2a ? 1, x ? ? 0, 24? (Ⅰ)当 a ? , 且 a ? ? 0,1?

1 时,求 f ( x) 的最小值及此时 x 的值; 2

(Ⅱ)当 f ? x ? 的最大值不超过 3 时,求参数 a 的取值范围.

4

天门市 2016-2017 学年度第一学期期末考试 高一数学(理科)答案与评分参考 一、选择题: (1—5) :DBDBB; (6—10):DAABC; (11—12):AB. 二、填空题:13. (1, e) ;14. 三、解答题: 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) ? UA= [a, 2 ? a] ----------------------------------------------------------2 分 1 . 15. ? ? 2 ;16.

3

? 由 tan(?x ? ) ? ? 3 3
得 ?x ? k ?, x ? k , k ? Z …………………………………………………………4 分 ∴ B ? Z ……………………………………………………………5 分 又 ? UA= {x | a ? x ? 2 ? a}, ?1 ? a ? 0 , 则有 ?1 ? x ? 3 ……………………………………………………8 分 当( ? UA)∩B 恰好有 3 个元素时, C ? { 0 ,1 , 2 } …………………10 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题设,得

4 4 p0 ? p0 e ? k ,? e ? k ? ,-------------------------2 分 5 5 4 t 所以, p (t ) ? p0 ( ) -------------------------------------------------4 分 5 4 t 1 4 p0 ,得 ( )t ? 10 ?3 , -------------6 分 (Ⅱ)由 p (t ) ? p0 ( ) ? 5 1000 5
两边取 10 为底对数,并整理,得

t (1 ? 3lg 2) ? 3,?t ? 30 ---------------------------------------------11 分
因此,至少还需过滤 29 小时---------------------------------------12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,-----------------------1 分
2

由 f (0) ? 1 ,得 c ? 1 ,------ ----------------------------2 分 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,得 ?

? f (1) ? f (0) ? 1 ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 3

解得 a ? 1, b ? ?1 ----------------------- ---------------5 分
5

所以, f ( x) ? x2 ? x ? 1 --------------------------------6 分 (Ⅱ)令 2 ? t , ?1 ? x ? 1,?
x

1 ? t ? 2 ------------------------------8 分 2 1 3 1 f (t ) ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ( ? t ? 2) ---------------------------10 分 2 4 2 1 3 所以 [ f (t )]min ? f ( ) ? ,此时 x ? ?1 ; 2 4

[ f (t )]max ? f (2) ? 3 ,此时 x ? 1 ------------------------------12 分
20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由最低点 M (

2? , ?2) ,得 A ? 2 .……………… …………………………1 分 3 ? T ? 得 ? . 2 2 2

由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 即T ? ? , ? ? 由点 M ( 故

2? 2? ? ? 2 .……………………………………………………3 分 T ?

2? 2? 4? , ?2) 在图像上,得 2sin(2 ? ? ?) ? ?2 , 即 sin( ? ?) ? ?1 . 3 3 3

4? ? 11? . ? ? ? 2k ? ? (k ? Z) , ∴ ? ? 2k ? ? 3 2 6

? ? 又 ?? (0, ) ,∴ ? ? …………………………………………………………5 分 2 6 ? 故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ……………………………………………………………6 分 6
? ?? (Ⅱ)∵ x ? ? ?12 , 2 ? ? ?
∴ 2x ? 当 2x ? 当 2x ?

? ?? ?? ? , ? ………………………………………………………………7 分 6 ? ?3 6?

? ? ? ? ,即 x ? 时 f ( x) 取得最大值 2;………………………………8 分 6 2 6 ? 7? ? ,即 x ? 时 f ( x) 取得最小值-1.……………………………10 分 ? 6 6 2

故 f ( x) 的值域为[-1,2] ………………………………………………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:如图,设 B ( x, y ) ,则 OB ? ( x, y),

??? ?

??? ? AB ? ( x ? 5, y ? 2) ,……………………2 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ OB ? AB ,∴ OB?AB ? 0 ……………………………………………………4 分
∴ x( x ? 5) ? y( y ? 2) ? 0 ,即 x2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 …………6 分

??? ? ??? ? 又∵ OB ? AB ,………………………………………………8 分

6

∴ x2 ? y 2 ? ( x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ,即 10 x ? 4 y ? 29 ……………10 分

? x2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 由? ?10 x ? 4 y ? 29

?x ? 3 ?x ? 7 ? 2 2 ? 1 2 解得 ? 或? ? y1 ? ? 3 ? y2 ? 7 2 2 ? ?

7 3? ?3 7? ∴B 点的坐标为 ? ? 2 , ? 2 ? 或 ? 2 , 2 ? ,…… …………………………………………11 分 ? ? ? ? ??? ? ? ? 7 3 ? 3 7 ? ??? AB ? ? ? ? 2 , ? 2 ? 或 AB ? ? ? 2 , 2 ? ………………………………………………12 分 ? ? ? ?
22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 因为 a ?

1 1 ,则 f ? x ? ? log 25 ? x ? 1? ? ? 2 ? 2 . 2 2

(2 分)

即 f ? x ?min ? 2 , 此时 log 25 ? x ? 1? ?
1

1 ? 0, 2

得 x ? 1 ? 25 2 ? 5 ,即 x ? 4 . (4 分) (Ⅱ)设 t ? log25 ? x ? 1? ,则当 0 ? x ? 24 时, 0 ? t ? 1 . 设 g ?t ? ? t ? a ? 2a ?1, t ??0,1? , 则 g ?t ? ? ?

??t ? 3a ? 1,0 ? t ? a , ?t ? a ? 1, a ? t ? 1

(6 分)

显然 g ? t ? 在 ? 0, a ? 上是减函数,在 ? a,1? 上是增函数, 则 f ? x ?max ? max g ? 0? , g ?1? , 因为 g ? 0? ? 3a ?1, g ?1? ? a ? 2 , 由 g ? 0? ? g ?1? ? 2a ?1 ? 0 ,得 a ?

?

?

1 . 2

(8 分)

所以 f ? x ?max

1 ? a ? 2, 0 ? a ? ? ? 2 ?? , 1 ?3a ? 1, ? a ? 1 ? ? 2

(10 分)

1 5 时, 2 ? a ? 2 ? ? 3 ,符合要求; 2 2 1 1 2 当 ? a ? 1 时,由 3a ? 1 ? 3 , 得 ? a ? . 2 2 3
当0 ? a ?
7

综合,得参数 a 的取值范围为 ? 0, ? . 3

? ?

2? ?

(12 分)

8


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