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新人教版高中数学必修四第二章检测


新人教版高中数学必修四第二章检测
一.选择题(共 15 小题) 1. (2015?资阳模拟)已知向量 A.A、B、C 三点共线 = +3 , =5 +3 , =﹣3 +3 ,则( C.A、C、D 三点共线 ) D.B、C、D 三点共线 B.A、B、D 三点共线

2. (2015?惠州模拟)若向量 A.(5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=(

) D.(﹣5,﹣7)

B.(﹣3,﹣3)

C.(3,3)

3. (2015?惠州模拟)已知向量 与 的夹角为 θ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量,它的长度 | × |=| || |sinθ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A .4 B. ) ,则| ×( + )|=( C .6 ) D.2

4. (2015?河南二模)若平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,则 ? 的最小值是( A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣

) D. ﹣

5. (2015?重庆一模)在边长为 2 的正△ ABC 中,P 是 BC 边上的动点,则 A.有最大值 8 B.有最小值 2 ﹣1, C.是定值 6 +1)夹角角为 的单位向量是(





D.与 P 的位置有关 ) ) 或 (﹣ , )

6. (2015?河南二模)与向量 =( A. (﹣ , ) 或 (

B. , ) (﹣ ,﹣ ﹣ )

C. )或( , (﹣ , ﹣ )

D. ) 或 (﹣ , ( ,

7. (2015?开封模拟)若| |= A.

,| |=2, ( ﹣ )⊥ ,则 , 的夹角是( B. C.

) D.

8. (2015?泸州模拟)已知 D 为△ ABC 的边 BC 的中点,△ ABC 所在平面内有一个点 P,满足 的值为( A .1 ) B. C. D.2

,则

9. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, | + + |的取值范围是( )

) ,C(3,0) ,动点 D 满足|

|=1,则

A.[4,6]

B.[

﹣1,

+1]

C.[2

,2

]

D.[

﹣1,

+1]

10. (2014?浙江)记 max{x,y}= A. C.

,min{x,y}= B.

,设 , 为平面向量,则(



min{| + |,| ﹣ |}≤min{| |,| |} max{| + | ,| ﹣ | }≤| | +| |
2 2 2 2

min{| + |,| ﹣ |}≥min{| |,| |}

D. 2 2 2 2 max{| + | ,| ﹣ | }≥| | +| |

11. (2014?福建)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) ,

) =(5,﹣2) =(﹣2,3)

12. (2014?北京)已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =( A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7)

) D.(3,9)

13. (2014?重庆)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=( A. ﹣ B.0 C .3 D.



14. (2014?佛山模拟)已知向量 =(2,1) , A. B.

=10,| + |= C .5

,则| |=(

) D.25

15. (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠ BAD=120°,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, 若 A. ? =1, ? =﹣ ,则 λ+μ=( B. ) C. D.









二.填空题(共 5 小题) 16. (2015?河南二模)在平面直角坐标系中 A 点坐标为( | + |的最大值是 _________ .

,1) ,B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动点,则

17. (2015?泸州模拟)已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量

同方向的单位向量为 _________ .

18. (2015?南充一模)已知向量

,且

,则 x= _________ .

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19. (2015?资阳模拟)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) .若( +λ )⊥ ,则实数 λ=

_________ .

20. (2015?重庆一模) 已知向量 = (k, 3) , = (1, 4) , = (2, 1) , 且

, 则实数 k= _________ .

三.解答题(共 10 小题) 21. (2015?河南二模)已知向量 =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A、B、C 为△ ABC 的 内角. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 AB=6,且 ,求 AC、BC 的长.

22. (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围 成的区域(含边界)上. (Ⅰ )若 (Ⅱ )设 + =m + +n = ,求| |;

(m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

23. (2014?山东)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图象过点( 和点( ,﹣2) .





(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上的最高点 到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 24. (2014?陕西三模)如图,在△ ABC 中,已知点 D,E 分别在边 AB,BC 上,且 AB=4AD,BC=2BE. (Ⅰ )用向量 , 表示 ;

(Ⅱ )设 AB=8,AC=5,A=60°,求线段 DE 的长.

25. (2014?长葛市三模)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x﹣2y+3 动点,AM⊥ x 轴于点 M,且动点 N 满足 = +(1﹣ )

=0 相切,设点 A 为圆上一

,设动点 N 的轨迹为曲线 C.

(I)求曲线 C 的方程, (Ⅱ )直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B、D 两点,求△ OBD 面积的最大值.

26. (2014?天津一模) 在△ ABC 中, 已知 AB=2, BC=3, ∠ ABC=60°, AH⊥ BC 于 H, M 为 AH 的中点, 若 则 λ+μ= _________ .
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27. (2014?江西模拟)如图,在以 AE=2 为直径的半圆周上,B、C,D 分别为弧 AE 的四等分点. (Ⅰ )在弧 AE 上随机取一点 P,求满足 在 上的投影大于 的概率;

(Ⅱ )在以 O 为起点,再从 A,B,C,D,E 这 5 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两向量数量积为 x,则 x= 的概率.

28. (2012?上海)定义向量 量”为

=(a,b)的“相伴函数”为 f(x)=asinx+bcosx,函数 f(x)=asinx+bcosx 的“相伴向

=(a,b) (其中 O 为坐标原点) .记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S. )+4sinx,求证:g(x)∈S;

(1)设 g(x)=3sin(x+

(2)已知 h(x)=cos(x+α)+2cosx,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M(a,b) (b≠0)为圆 C: (x﹣2) +y =1 上一点,向量 点 M 在圆 C 上运动时,求 tan2x0 的取值范围. 29. (2011?江苏) 如图, 在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1=2, AB=1, 点 N 是 BC 的中点, 点 M 在 CC1 上. 设 二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为 θ, (1)当 θ=90°时,求 AM 的长; (2)当 时,求 CM 的长.
2 2

的“相伴函数”f(x)在 x=x0 处取得最大值.当

30. (2009?山东)设 m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1) ,向量 b=(x,y﹣1) ,a⊥ b,动点 M(x, y)的轨迹为 E. (Ⅰ )求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (Ⅱ )已知 m= .证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥ OB (O 为坐标原点) ,并求该圆的方程; (Ⅲ )已知 m= .设直线 l 与圆 C:x +y =R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1.当 R 为何 值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
2 2 2

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新人教版高中数学必修四第二章检测
参考答案与试题解析
一.选择题(共 15 小题) 1. (2015?资阳模拟)已知向量 A.A、B、C 三点共线 = +3 , =5 +3 , =﹣3 +3 ,则( C.A、C、D 三点共线 ) D.B、C、D 三点共线

B.A、B、D 三点共线

考点: 向量的共线定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵ = =
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=



∴ A、B、D 三点共线. 故选:B. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

2. (2015?惠州模拟)若向量 A.(5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=(

) D.(﹣5,﹣7)

B.(﹣3,﹣3)

C.(3,3)

考点: 向量的减法及其几何意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的减法运算法则求解即可. 解答: 解:∵ 向量 =(1,2) , =(4,5) , ∴ =

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=(1,2)﹣(4,5)=(﹣3,﹣3) ;

故选:B. 点评: 本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义,基本知识的考查.

3. (2015?惠州模拟)已知向量 与 的夹角为 θ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量,它的长度 | × |=| || |sinθ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A .4 B. ) ,则| ×( + )|=( C .6 ) D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算和向量的夹角公式可得
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=

.再利用平方关系可得

,利用新定义即可得出. 解答: 解:由题意 ,
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则 ∴ =6,

, = =2 , =2.



=

=

=



即 得 由定义知

, , ,

故选:D. 点评: 本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义,考查了计算能力,属于基础题.

4. (2015?河南二模)若平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,则 ? 的最小值是( A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣

) D. ﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,知 9
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+

≤1+6

,故 9

+

≥2

=6

≥﹣6



由此能求出 解答:

的最小值.

解:∵ 平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1, ∴ 9 ∵ 9 ∴ 1+6 ∴ 6 ≥ + + ≤1+6 ≥2 ≥﹣6 . , , =6 ≥﹣6 ,

故选 B. 点评: 本题考查平面向量数量积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 5. (2015?重庆一模)在边长为 2 的正△ ABC 中,P 是 BC 边上的动点,则 A.有最大值 8 B.有最小值 2 C.是定值 6





D.与 P 的位置有关

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先设 = , = , =t
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,然后用



表示出

,再由

=

+

,将

= ,

=t

,代

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入可用 解答: 解:设 = ∴ +



表示出 = ,

,最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得 =t ,则 = , ﹣ = ﹣ , = , +[(1﹣t)+t] ?

的值,从而可得到答案. =2×2×cos60°=2,

= ,

= +t﹙ ﹣ ﹚=﹙1﹣t﹚ +t

=( (1﹣t) +t )?( + )=(1﹣t)

+t =(1﹣t)×4+2+t×4=6.

故选 C. 点评: 本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算.高考对向量的考查一般不会太难,以基础题为主,而 且经常和三角函数练习起来考查综合题,平时要多注意这方面的练习.

6. (2015?河南二模)与向量 =( A. (﹣ , ) 或 (

﹣1,

+1)夹角角为

的单位向量是(

) ) 或 (﹣ , )

B. , ) (﹣ ,﹣ ﹣ )

C. )或( , (﹣ , ﹣ )

D. ) 或 (﹣ , ( ,

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析:

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设出单位向量 =(x,y) ,列出方程组

,求出解即可.

解答: 解:设 =(x,y) ,则 ,





化简得



解得

,或



∴ =(﹣ ,

) ,或 =(

, ) .

故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应设出向量的坐标表示,列方程组求解,是基础题.

7. (2015?开封模拟)若| |= A.

,| |=2, ( ﹣ )⊥ ,则 , 的夹角是( B. C.

) D.

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考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 向量垂直的充要条件可得( ﹣ )? =0,代入数据计算可得 cosθ 的值,结合夹角的范围可得答案.
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解答:

解:由题意可得( ﹣ )? =



=0, ﹣ cosθ=0,即 cosθ= ,

设 与 的夹角为 θ,代入数据可得 又 θ∈[0,π],故 θ= .

故选 D. 点评: 本题考查数量积表示两个向量的夹角,涉及向量垂直的充要条件,属基础题.

8. (2015?泸州模拟)已知 D 为△ ABC 的边 BC 的中点,△ ABC 所在平面内有一个点 P,满足 的值为( A .1 ) B. C. D.2

,则

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ,由向量加法的平行四边形法则知,PA 必为以 PB,PC 为邻边的平行四边形的对角线,故有
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P,D,A 三点共线,由平行四边形对角线的性质易得. 解答: 解:因为 ,

所以 PA 必为以 PB,PC 为邻边的平行四边形的对角线, 因为 D 为边 BC 的中点,所以 D 为边 PA 的中点, 的值为 1.

故选 A. 点评: 本题考查向量加法的几何意义,由向量的关系得到几何图形中的位置关系,向量关系表示几何关系是向量 的重要应用.

9. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, | + + |的取值范围是( ) B.[ ﹣1, +1] C.[2 ,2 ]

) ,C(3,0) ,动点 D 满足|

|=1,则

A.[4,6]

D.[

﹣1,

+1]

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于动点 D 满足| |=1,C(3,0) ,可设 D(3+cosθ,sinθ) (θ∈[0,2π) ) .再利用向量的坐标运算、数量
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积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵ 动点 D 满足| |=1,C(3,0) ,
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∴ 可设 D(3+cosθ,sinθ) (θ∈[0,2π) ) . 又 A(﹣1,0) ,B(0, ) , ∴ + ∴ | + + + = |= ,cosφ= ) . = = ,

(其中 sinφ=

∵ ﹣1≤sin(θ+φ)≤1, ∴ ∴ | + + = |的取值范围是 sin(θ+φ)≤ . = ,

故选:D. 点评: 本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力,属于难题.

10. (2014?浙江)记 max{x,y}= A. C.

,min{x,y}= B.

,设 , 为平面向量,则(



min{| + |,| ﹣ |}≤min{| |,| |} max{| + | ,| ﹣ | }≤| | +| |
2 2 2 2

min{| + |,| ﹣ |}≥min{| |,| |}

D. 2 2 2 2 max{| + | ,| ﹣ | }≥| | +| |

考点: 向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将 , 平移到同一起点,根据向量加减法的几何意义可知, + 和 ﹣ 分别表示以 , 为邻边所做平行
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四边形的两条对角线,再根据选项内容逐一判断. 解答: 解:对于选项 A,取 ⊥ ,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立; 对于选项 B,取 , 是非零的相等向量,则不等式左边 min{| + |,| ﹣ |}= ,显然,不等式不成立; 对于选项 C,取 , 是非零的相等向量,则不等式左边 max{| + | ,| ﹣ | }=| + | =4 右边=| | +| | =2
2 2 2 2 2

,而不等式

,显然不成立.

由排除法可知,D 选项正确. 故选:D. 点评: 本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将 , , , 放在同一个平行四边形中进行比较

判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法, 也不失为一种快速有效的方法,在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤,针对选择题 的特点,有时“排除法”,“确定法”,“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有效的方法.

11. (2014?福建)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是(



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A. C.

=(0,0) , =(3,5) ,

=(1,2) =(6,10)

B. D.

=(﹣1,2) , =(2,﹣3) ,

=(5,﹣2) =(﹣2,3)

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标运算, 解答: 解:根据 ,

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,计算判别即可.

选项 A: (3,2)=λ(0,0)+μ(1,2) ,则 3=μ,2=2μ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ(﹣1,2)+μ(5,﹣2) ,则 3=﹣λ+5μ,2=2λ﹣2μ,解得,λ=2,μ=1,故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ(3,5)+μ(6,10) ,则 3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ(2,﹣3)+μ(﹣2,3) ,则 3=2λ﹣2μ,2=﹣3λ+3μ,无解,故选项 D 不能. 故选:B. 点评: 本题主要考查了向量的坐标运算,根据 列出方程解方程是关键,属于基础题.

12. (2014?北京)已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =( A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7)

) D.(3,9)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案. 解答: 解:由 =(2,4) , =(﹣1,1) ,得:
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2 ﹣ =2(2,4)﹣(﹣1,1)=(4,8)﹣(﹣1,1)=(5,7) . 故选:A. 点评: 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算,是基础的计算题.

13. (2014?重庆)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=( A. ﹣ B.0 C .3 D.



考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的 数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)
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∴ 2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵ (2 ﹣3 )⊥ ,

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∴ (2 ﹣3 )? =0' ∴ 2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得,k=3. 故选:C. 点评: 本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出 错.

14. (2014?佛山模拟)已知向量 =(2,1) , A. B.

=10,| + |= C .5

,则| |=(

) D.25

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的向量的数量积和模长, 对|a+b|= 两边平方, 变化为有模长和数量积的形式, 代入所给的条件, 等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ | + |= ,| |=
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∴ ( + )= 得| |=5

2

2

+

2

+2

=50,

故选 C. 点评: 本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变 量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用.

15. (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠ BAD=120°,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, 若 A. ? =1, ? =﹣ ,则 λ+μ=( B. ) C. D.









考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义, 两个向量的数量积的定义由
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?

=1, 求得 4λ+4μ﹣2λμ=3

① ;再由 解答:

?

=﹣ ,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ? =( + + )?( +λ

② .结合① ② 求得 λ+μ 的值. + ?μ )= + + +

解:由题意可得若 =2×2×cos120°+ =4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1, ∴ 4λ+4μ﹣2λμ=3 ① . ? =﹣ ?(﹣

=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

)=

=(1﹣λ)

?(1﹣μ)

=(1﹣λ)

?(1﹣μ)

=(1﹣λ) (1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ) (﹣2)=﹣ ,
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即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ 由① ② 求得 λ+μ= , 故答案为: .

② .

点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题. 二.填空题(共 5 小题) 16. (2015?河南二模)在平面直角坐标系中 A 点坐标为( | + |的最大值是 3 .

,1) ,B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动点,则

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可知向量| |=1 的模是不变的,当
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同向时,|

+

|的最大,所以|

+

|的最大值

= 解答:

. |=1 的模是不变的,当 = 与 同向时,| =2+1=3. + |的最大,

解:由题意可知向量| | + |的最大值=

故答案为:3. 点评: 本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题.

17. (2015?泸州模拟)已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量

同方向的单位向量为



考点: 单位向量. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由点 A、B 的坐标算出 =(3,﹣4) ,从而得到|
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|=5,再根据单位向量的定义加以计算,可得答案.

解答: 解:∵ 点 A(1,3) ,B(4,﹣1) , ∴ =(3,﹣4) ,可得| 因此,与向量 故答案为: 点评: 本题给出 A、B 两点的坐标,求与向量 义等知识,属于基础题. 同方向的单位向量.着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定 |= =5, = (3,﹣4)=

同方向的单位向量为: =

18. (2015?南充一模)已知向量

,且

,则 x= 0 .

考点: 平面向量的坐标运算;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 解答:

根据题意,得 ? =0,求出 x 的值即可. 解:∵ ∴ , ,且 ,

解得 x=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系,是基础题.

19. (2015?资阳模拟)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) .若( +λ )⊥ ,则实数 λ=

5 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 本题先将向量 坐标化,利用两向量垂直得到它们的数量积为零,求出 λ 的值,得到本题答案.
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解答:

解:∵ 向量 =(2,1) , =(0,﹣1) , ∴ ∵ ( +λ )⊥ , .

∴ 2×2+1×(1﹣λ)=0, λ=5. 故答案为:5. 点评: 本题重点考查的是平面向量的数量积,根据两向量垂直得到相关方程,从而求出本题的解.本题难度不大, 属于基础题.

20. (2015?重庆一模)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ,且

,则实数 k=

3 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的 数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ,
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∴ 2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵ ∴ (2 ﹣3 )? =0 ∴ 2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得 k=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出 错.
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三.解答题(共 10 小题) 21. (2015?河南二模)已知向量 =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A、B、C 为△ ABC 的 内角. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 AB=6,且 ,求 AC、BC 的长.

考点: 数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 2 (I) ? =cos2C,由向量数量积公式,结合二倍角的余弦公式化简得 2cos C+cosC﹣1=0,解出 cosC= ,
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结合 C∈(0,π)可得角 C 的大小; (II)由 利用向量的数量积公式算出 ? =36,根据余弦定理 AB =AC +BC ﹣
2 2 2

2AC?BCcosC=36,化简得 AC+BC=12,两式联解即可算出 AC、BC 的长. 解答: 解: (Ⅰ )∵ =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ∴ ? =cos2C,即 cosAcosB﹣sinAsinB=cos(A+B)=﹣cosC=cos2C,…(2 分) 化简得:2cos C+cosC﹣1=0,…(4 分) 故 cosC= (cosC=﹣1 舍去) ∵ C∈(0,π) ,∴ C= (Ⅱ )∵
2 2

. ,∴
2

…(7 分) ?
2

cos

=36,即

?

=36. ① …(9 分)

由余弦定理得 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos60°=36, 化简得:AC+BC=12 ② …(12 分) 联解① ② ,可得 AC=BC=6. …(14 分) 点评: 本题给出向量含有三角函数的坐标, 在已知数量积的情况下解三角形 ABC. 着重考查了向量的数量积公式、 解三角形等知识,属于中档题. 22. (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围 成的区域(含边界)上. (Ⅰ )若 (Ⅱ )设 + =m + +n = ,求| |;

(m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )先根据 + + = ,以及各点的坐标,求出点 p 的坐标,再根据向量模的公式,问题得以解决;
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(Ⅱ )利用向量的坐标运算,先求出 求出 m﹣n 的最小值.



,再根据

=m

+n

,表示出 m﹣n=y﹣x,最后结合图形,

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解答:

解: (Ⅰ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,

+

+

= ,

∴ (x﹣1,y﹣1)+(x﹣2,y﹣3)+(x﹣3,y﹣2)=0 ∴ 3x﹣6=0,3y﹣6=0 ∴ x=2,y=2, 即 ∴ (Ⅱ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) , ∴ ∵ =m +n , , =(2,2)

∴ (x,y)=(m+2n,2m+n) ∴ x=m+2n,y=2m+n ∴ m﹣n=y﹣x, 令 y﹣x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m﹣n 的最大值为 1.

点评: 本题考查了向量的坐标运算,关键在于审清题意,属于中档题,

23. (2014?山东)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图象过点( 和点( ,﹣2) .





(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上的最高点 到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 考点: 平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由题意可得 函数 f(x)=msin2x+ncos2x,再由 y=f(x)的图象过点( , 解方程组求得 m、n 的值. (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 可得 ( f x) =2sin (2x+ ) , 根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律求得 g (x) =2sin (2x+2φ+ )

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)和点(

,﹣2) ,

的图象,再由函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上,求得 φ= k∈Z,求得 x 的范围,可得 g(x)的增区间. 解答: 解: (Ⅰ )由题意可得 函数 f(x)= ? =msin2x+ncos2x,
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,可得 g(x)=2cos2x.令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,

再由 y=f(x)的图象过点(



)和点(

,﹣2) ,可得



解得 m=

,n=1. sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ) .

(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 f(x)=

将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后, 得到函数 g(x)=2sin[2(x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ )的图象,显然函数 g(x)最高点的纵坐标为 2.

y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 故函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上, ∴ 2φ+ =2kπ+ ,k∈Z,结合 0<φ<π,可得 φ= )=2cos2x. ≤x≤kπ, ,kπ],k∈Z. ,

故 g(x)=2sin(2x+

令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 kπ﹣ 故 y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的 单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题. 24. (2014?陕西三模)如图,在△ ABC 中,已知点 D,E 分别在边 AB,BC 上,且 AB=4AD,BC=2BE. (Ⅰ )用向量 , 表示 ;

(Ⅱ )设 AB=8,AC=5,A=60°,求线段 DE 的长.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (I)利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出; (II)由向量的数量积性质即可得出. 解答: 解: (I)∵ = = =
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(II)由(I)可得 = = ∴ . .

=

点评: 本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理、向量的数量积性质,属于基础题.
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25. (2014?长葛市三模)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x﹣2y+3 动点,AM⊥ x 轴于点 M,且动点 N 满足 = +(1﹣ )

=0 相切,设点 A 为圆上一

,设动点 N 的轨迹为曲线 C.

(I)求曲线 C 的方程, (Ⅱ )直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B、D 两点,求△ OBD 面积的最大值. 考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )A(x0,y0) ,先求出圆 C1 的方程,再根据动点 N 满足
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+(1﹣



,得到关于 x0,y0 的方程组,

解得即可. (Ⅱ )设直线 l 与椭圆 交于 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,联立方程组求出 x1,x2,再根据点到直线

的距离公式,表示出三角形的面积,利用基本不等式解得即可. 解答: 解: (Ⅰ )设动点 N(x,y) ,A(x0,y0) ,因为 AM⊥ x 轴于 M,所以 M(x0,0) , 设圆 C1 的方程为 x +y =r ,由题意得 由题意, ,所以
2 2 2 2 2

,所以圆 C1 的程为 x +y =9. ,

所以





代入圆 x +y =9,得动点 N 的轨迹方程

2

2



(Ⅱ )由题意可设直线 l:2x+y+m=0,设直线 l 与椭圆

交于 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,

联立方程

得 13x +12mx+3m ﹣9=0,△ =144m ﹣13×4(3m ﹣9)>0,解得 m <39,

2

2

2

2

2



又因为点 O 到直线 l 的距离





. (当且仅当 m =39﹣m 即
2 2

时取到最大值) .

∴ △ OBD 面积的最大值为

点评: 本题考查了向量,圆的方程,椭圆的方程,点到直线的距离,基本不等式,是一道综合题,难度有些大, 需要认真仔细.
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26. (2014?天津一模) 在△ ABC 中, 已知 AB=2, BC=3, ∠ ABC=60°, AH⊥ BC 于 H, M 为 AH 的中点, 若 则 λ+μ= .







考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的加法,将向量 用 解答:

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表示出来,便能求出答案.根据条件 BH 的长度需要求一下. ,∴ ,∴ ,∴ λ= ,μ= ,λ+μ= .

解:如下图,根据条件可得:BH=1= 故答案为: .

点评: 本题考查向量的加法运算,和平面向量基本定理.要理解平面向量基本定理,应用定理里 λ,μ 的唯一性. 27. (2014?江西模拟)如图,在以 AE=2 为直径的半圆周上,B、C,D 分别为弧 AE 的四等分点. (Ⅰ )在弧 AE 上随机取一点 P,求满足 在 上的投影大于 的概率;

(Ⅱ )在以 O 为起点,再从 A,B,C,D,E 这 5 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两向量数量积为 x,则 x= 的概率.

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据概率定义,计算即可, (2)通过列举法,列出所有满足条件的向的基本事件量,然后观察符合条件的基本事件,计算即可. 解答: 解: (Ⅰ )由题知 ,
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∴ 使得



上的射影大于 的概率 P=



(Ⅱ )以 O 点为起点,从 A,B,C,D,E,这 5 个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件 有: , ,
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, ,

其中数量积 x= 则

的有: .





点评: 本题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识,属于基础题.

28. (2012?上海)定义向量 量”为

=(a,b)的“相伴函数”为 f(x)=asinx+bcosx,函数 f(x)=asinx+bcosx 的“相伴向

=(a,b) (其中 O 为坐标原点) .记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S. )+4sinx,求证:g(x)∈S;

(1)设 g(x)=3sin(x+

(2)已知 h(x)=cos(x+α)+2cosx,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M(a,b) (b≠0)为圆 C: (x﹣2) +y =1 上一点,向量 点 M 在圆 C 上运动时,求 tan2x0 的取值范围. 考点: 平面向量的综合题;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: (1)先利用诱导公式对其化简,再结合定义即可得到证明; (2)先根据定义求出其相伴向量,再代入模长计算公式即可;
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2

2

的“相伴函数”f(x)在 x=x0 处取得最大值.当

(3)先根据定义得到函数 f(x)取得最大值时对应的自变量 x0;再结合几何意义求出 的范围,最后利用 二倍角的正切公式即可得到结论. 解答: 解: (1)g(x)=3sin(x+ 其‘相伴向量’ )+4sinx=4sinx+3cosx,

=(4,3) ,g(x)∈S.

(2)h(x)=cos(x+α)+2cosx =(cosxcosα﹣sinxsinα)+2cosx =﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx ∴ 函数 h(x)的‘相伴向量’ 则| |= 的‘相伴函数’f(x)=asinx+bcosx= ,sinφ= . =(﹣sinα,cosα+2) . = . sin(x+φ) ,

(3)

其中 cosφ=

当 x+φ=2kπ+

,k∈Z 时,f(x)取到最大值,故 x0=2kπ+ ﹣φ)=cotφ= ,

﹣φ,k∈Z.

∴ tanx0=tan(2kπ+

tan2x0=

=

=



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为直线 OM 的斜率,由几何意义知: ∈[﹣ 令 m= ,则 tan2x0= ,m∈[﹣

,0)∪ (0, }.

].

,0)∪ (0,

当﹣

≤m<0 时,函数 tan2x0=

单调递减,∴ 0<tan2x0≤



当 0<m≤

时,函数 tan2x0=

单调递减,∴ ﹣

≤tan2x0<0.

综上所述,tan2x0∈[﹣ ,0)∪ (0, ]. 点评: 本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识.是对基础知识的综合考查, 需要有比较扎实的基本功. 29. (2011?江苏) 如图, 在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1=2, AB=1, 点 N 是 BC 的中点, 点 M 在 CC1 上. 设 二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为 θ, (1)当 θ=90°时,求 AM 的长; (2)当 时,求 CM 的长.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,D﹣xyz,设 CM=t(0≤t≤2) ,通过
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, ,推出

求出平面 (1)

DMN 的法向量为





求出平面 A1DN 的法向量为

利用 θ=90°求出 M 的坐标,然后求出 AM 的长. (2)利用 cos = 以及 ,求出 CM 的长.

解答: 解:建立如图所示的空间直角坐标系,D﹣xyz,设 CM=t(0≤t≤2) ,则各点的坐标为 A(1,0,0) ,A1(1, 0,2) , N( ,1,0) ,M(0,1,t) ; 所以 =( ,1,0). =(1,0,2) , =(0,1,t) , ,

设平面 DMN 的法向量为

=(x1,y1,z1) ,则
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即 x1+2y1=0,y1+tz1=0,令 z1=1,则 y1=﹣t,x1=2t 所以 设平面 A1DN 的法向量为 =(x2,y2,z2) ,则

=(2t,﹣t,1) , , ,

即 x2+2z2=0,x2+2y2=0,令 z2=1 则 y2=1,x2=﹣2 所以

=(﹣2,1,1) ,

(1)因为 θ=90°,所以

解得 t= 从而 M(0,1, ) ,

所以 AM= (2)因为 , 所以,

cos

=

=

因为

=θ 或 π﹣θ,所以

=

解得 t=0 或 t=

根据图形和(1)的结论,可知 t= ,从而 CM 的长为 .

点评: 本题是中档题,考查直线与平面,直线与直线的位置关系,考查转化思想的应用,向量法解答立体几何问 题,方便简洁,但是注意向量的夹角,计算数据的准确性. 30. (2009?山东)设 m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1) ,向量 b=(x,y﹣1) ,a⊥ b,动点 M(x, y)的轨迹为 E. (Ⅰ )求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (Ⅱ )已知 m= .证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥ OB (O 为坐标原点) ,并求该圆的方程; (Ⅲ )已知 m= .设直线 l 与圆 C:x +y =R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1.当 R 为何 值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 考点: 平面向量数量积的运算;圆的标准方程;轨迹方程;直线和圆的方程的应用.
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2 2 2

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专题: 综合题;压轴题;分类讨论. 2 2 分析: (1)由 a⊥ b,所以 a?b=0,代入坐标化简整理即得轨迹 E 的方程 mx +y =1. 此为二元二次曲线,可分 m=0、m=1、m>0 且 m≠1 和 m<0 四种情况讨论; (2)当 m= 时,轨迹 E 的方程为 =1,表示椭圆,设圆的方程为 x +y =r (0<r<1) ,
2 2 2

当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为 y=kx+t,由直线和圆相切可得 k 和 t 的关系, 由 OA⊥ OB,所以 x1x2+y1y1=0,只需联立直线和圆的方程,消元,维达定理,又可以得到 k 和 t 的关系,这 样就可解出 r. 当切线斜率不存在时,代入检验即可. (3) 因为 l 与圆 C 相切, 故△ OA1B1 为直角△ , 故|A1B1| =|OB1| ﹣|OA1| , 只需求出 OB1 和 OA1 的长度即可, 直线 l 与圆 C 相切,且与椭圆相切找出关系,将|A1B1|表示为 R 的函数,转化为函数求最值. 解答: 解: (Ⅰ )因为 a⊥ b, 所以 a?b=0,即(mx,y+1)?(x,y﹣1)=0, 2 2 2 2 故 mx +y ﹣1=0,即 mx +y =1. 当 m=0 时,该方程表示两条直线; 当 m=1 时,该方程表示圆; 当 m>0 且 m≠1 时,该方程表示椭圆; 当 m<0 时,该方程表示双曲线.
2 2 2

(Ⅱ )当

时,轨迹 E 的方程为
2 2 2



设圆的方程为 x +y =r (0<r<1) ,当 切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为 y=kx+t, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 所以
2 2 2



即 t =r (1+k ) .① 因为 OA⊥ OB, 所以 x1x2+y1y1=0, 即 x1x2+(kx1+t) (kx2+t)=0, 2 2 整理得(1+k )x1x2+kt(x1+x2)+t =0.② 由方程组

消去 y 得 (1+4k )x +8ktx+4t ﹣4=0.③
2 2 2

由韦达定理

代入② 式并整理得 (1+k ) 即 5t =4+4k .
2 2 2



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结合① 式有 5r =4,r=
2 2

2



当切线斜率不存在时,x +y = 也满足题意, 故所求圆的方程为 x +y = . (Ⅲ )显然,直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程 y=k1x+t1,B1(x3,y3) 轨迹 E 的方程为
2 2 2 2


2

由直线 l 与圆相切得 t1 =R (1+k1 ) , 2 2 2 且对应③ 式有△ =(8k1t1) ﹣4(1+4k1 ) (4t1 ﹣4)=0, 2 2 即 t1 =1+4k1 , 由方程组 ,

解得

当 l 与轨迹 E 只有一个公共点时,对应的方程③ 应有两个相等的.

由韦达定理 x32=

=

=



又 B1 在椭圆上, 所以 ,

因为 l 与圆 C 相切, 2 2 2 2 2 2 所以|A1B1| =|OB1| ﹣|OA1| =x3 +y3 ﹣R = = = ≤ ,

其中,等号成立的条件 , . 即故当 时,|A1B1|的最大值为 1. 点评: 本题考查求轨迹方程、及方程所表示的曲线、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等知识,考查计算能力和 分析问题解决问题的能力,综合性强,难度较大.

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