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(北师大版)选修1-1课件:第3章-章末复习课件(2)


知识提要: 1.导数的概念: (1)已知函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增 量⊿x,那么函数y相应地有增量 在x0到x0+⊿x之间的平均变化率; ?y ?x ?y ⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 ? x 就叫做函数y=f(x) (2)当⊿x→0时, 有极限,就说函数y=f(x) 在x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在x0处的导 数(或变化率),记作 / f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x 0 ) ?y f ( x0 ) ? lim ? lim ? lim ?x?o ?x ?x?o x ? x0 ?x x ? x0 ; (3)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 都可导,就说 y=f(x) 在开区间 (a,b) 内可导,由 这些导数值构成的函数叫做 y=f(x) 在区间 (a,b) 内的导函数, 记作 f ( x) = y = 2.求导数的方法: / / ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 。 ?x (1)求函数的增量⊿y; (2)求平均变化率 (3)求极限 ?y ?x ?0 ?x lim ?y ?x ; 。 3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处 / f ( x ) 0 的切线的斜率,即斜率为 。过点P的切 线方程为:y- y0= f ( x0 ) (x- x0). 导数的物理意义:如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位 移s的导数在t0的值, v= s (t0 ) / / 4.几种常见函数的导数: n n ?1 ( x )' ? nx ( n ? Q ); C ' ? 0 (C为常数); (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ; 1 (ln x )' ? x 1 (log a x)' ? log a e ; ; x ; (a )' ? a ln a x x (e )' ? e x x 。 5.导数的四则运算法则: [u( x) ? v( x)] ? u ( x) ? v ( x) ' ' ' [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) [Cu( x)]? ? Cu '( x) ? u ? u ' v ? uv ' ? ? ? 2 v ?v? ' (v ? 0) 6.复合函数的导数:设函数u= ? (x)在点x处 有导数u′x= ? ′(x),函数y=f(u)在点x的对应 点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f( ? (x)) 在点x处也有导数,且 y'x ? y'u ?u'x 或 f′x( ? (x))=f′(u) ? ′(x). 例题探析 例1、求下列函数的导数: ⑴ y? x 3 ? x 3 ? ln x x2 2 y ? x ( x ? 3)(x ? 3) ⑵ ⑶ y ? x 1 ? sin 2 x , x ? (0, 4 ) ? e ⑷ y? 3 (1 ? 3x) 2 x ?1 (2)∵ y ? x ( x ? 3)(x ? 3) ? x ? 9x 3 ? ∴ y ? 4x ? 18x 2 4 x ? x ? ln x ln x ? x ?x? 2 , 解:(1)∵ y ? 2 x 1 2 x ? x ? ln x ? 2 x 3

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