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宁夏区银川一中2008届高三年级第五次月考测试数学试题(理科)


宁夏区银川一中 2008 届高三年级第五次月考测试 数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题四个选项中,只有一项是符合要求) 1.已知全集 U={1,2,3, 4,5},集合 A= x ∈ Z x ? 3 < 2 ,则集合 ? A 等于 ( U A. { ,2,3,4} 1 2.函数 f ( x ) = ln x ? A.3 个 B. {

2,3,4} C. { ,5} 1 D. {5} ( C.1 个 D.0 个 )

{

}



1 的零点的个数是 x ?1
B.2 个

3. 已知直线 l1的方向向量为a = (1,3), 直线l 2的方向向量b = ( ?1, k ) , 若直线 l2 经过点 (0, 5) ,且 l1 ⊥ l 2 , 则直线l 2 的方程为 A. x + 3 y ? 5 = 0 C. x ? 3 y + 5 = 0 B. x + 3 y ? 15 = 0 D. x ? 3 y + 15 = 0 ( )

4.以双曲线

x2 y2 ? = 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 9 16
B.x2+y2-10x+16 D.x2+y2+10x+9=0





A.x2+y2-10x+9=0 C.x2+y2+10x+16=0

5.由函数 y = cos x (0 ≤ x ≤ 2π )图象与直线x = 的图象所围成的一个封闭图形的面积是 A.4 C. B.

3 π及y = 1 2
( )

3π +1 2

3π +1 2

D. 2π

6.已知 x > 0, y > 0, lg 2 + lg 8 = lg 2, 则
x y

1 1 + 的最小值是 x 3y
C.4 D.2 3





A.2

B.2 2

7.用数字 0,1,2,3,4, 可以组成没有重复数字, 5 并且比 20000 大的五位偶数共有 ( A.288 个 B.240 个 C.144 个 D.126 个



8.若 ( 2 x ? A.4

1 n 1 1 ) 展开式中含 2 项的系数与含 4 项的系数之比为-5,则 n 等于 ( x x x
B.6 C.8 D.10



9. 在△ABC 中, 2 cos A.直角三角形 C.等腰三角形

B a+c 则△ABC 的形状为 ( = (a, b, c分别为角 A, B, C的对边 ) , 2 2c
B.正三角形 D.等腰三角形或直角三角形



?x ? y + 2 ≤ 0 y ? 10.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ≥ 1 ,则 的取值范围是 x ?x + y ? 7 ≤ 0 ?
A. [ ,6] C. (?∞,3] ∪ [6,+∞)





9 5

B. ( ?∞, ] ∪ [6,+∞) D.[3,6]

9 5

11.设 {a n }是公差为正数的等差数 列, 若a1 + a 2 + a 3 = 15, a1 a 2 a 3 = 105, 则a 7 + a 8 + a 9 = ( A.102 B.35 C.50 12.如图,一个几何体的正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰三角形,俯视图是一个圆及其圆心,当 这个几何体的体积最大时圆的半径是 ( ) A. D.51 )

1

1

1

1

3 3 6 3

B.

1 3 2 3

正视图

侧视图

C.

D.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) = ln

俯视图

1 + ax (a ≠ 2) 为奇函数,则实数 a= 1 + 2x

.

14.曲线 y=x3-2x2-4x+2 在点(1,一 3)处的切线方程是______________________. 15.在 R 上定义运算△:x△y=x(1 —y) ,若不等式(x—a)△(x+a)<1,对任意实数 x . 恒成立,则实数 a 的取值范围是 16.对于任意的两上实数对(a,b)和(c,d) ,规定: (a,b)=(c,d) ,当且仅当 a=c,b=d 时成立. 运算“ ? ”为: (a,b) ? (c,d)=(ac-bd,bc+ad), 运算“ ⊕ ”为: (a,b) ⊕ (c,d)=(a+c,b+d), 现设 p,q ∈ R ,若(1,2) ? (p,q)=(5,0) ,则(1,2) ⊕ (p,q)= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.

17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,设内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m =(cosA, sinA) ,

n = ( 2 ? sin A, cos A) ,若| m + n |=2.
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b = 4 2 ,且 c= 2 a,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 已知,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 的边长为 1 的正方形, PD⊥底面 ABCD,且 PD=1. (1)求证:BC//平面 PAD; (2)若 E、F 分别为 PB、PD 的中点,求证:EF⊥平面 PBC; (3)求二面角 B—PA—C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 设 b 和 c 分别是先后投掷一枚骰子得到的点数,关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0. (Ⅰ)求方程 x + bx + c = 0 有实根的概率;
2

(Ⅱ)求方程 x + bx + c = 0 有两个相等的实根的概率;
2

(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x + bx + c = 0 有实根的概率.
2

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = (1 + x ) 2 ? 2 ln(1 + x ) (1)求 f ( x) 的单调增区间和单调减区间; (2)若当 x ∈ [ ? 1, e ? 1] 时,(其中 e=2.71828…) ,不等式 f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 e

21. (本题满分 12 分) 已知直线 y = ? x + 1与椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点。 a2 b2

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3 1 2 2 ] 2

(2) 若向量 OA与向量OB 互相垂直 (其中 O 为坐标原点) 当椭圆的离心率 e ∈ [ , , 时,求椭圆的长轴长的最大值。

22. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=4an+Sn-1-an-1(n≥2 且 n∈N*). (1)求证: 数列{an}是等比数列; (2)若 bn=n an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn=b1+b2+…+bn ; (3)若 cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1](t>0),且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项, 求实数 t 的取值范围.

宁夏区银川一中 2008 届高三年级第五次月考测试 数学试卷(理科)参考答案
一、选择题 CBDAB, CBBAA,DC 二、填空题: 13.-2; 14.5x+y-2=0; 15. (- , ) ,

1 3 2 2

16. (2,0)

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)|m+n|2= (cos A +

2 ? sin A) 2 + (sin A + cos A) 2

= 4 + 2 2 (cos A ? sin A)

= 4 + 4 cos( A +
∴ 4 + 4 cos( A + ∵ A ∈ (0, π ),

π π
4 4

)

…………3 分 ∴ cos( A +

)=4
∴A=

π
4

) = 0.

π
4

………………5 分

(Ⅱ)由余弦定理知: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A, 即 a = ( 4 2 ) + ( 2a ) ? 2 × 4 2 × 2a cos
2 2 2

π
4

解得 ∴c=8

a=4 2

………………8 分

∴ S ?ABC =

1 2 × 4 2 ×8× = 16. …………10 分 2 2

18.如图,以点 D 为原点 O, 有向直线 OA、OC、OP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, (1)证明:因为 ABCD 是正方形, 所以 BC//AD. 因为 AD ? 平面 PAD,BC ? 平面 PAD, 所以 BC//平面 PAD.……………4 分 (2)证明:因为 EF = (0,

1 1 ,? ), CB = (1,0,0), CP = (0,?1,1) 2 2

且 EF ? CB = 0, EF ? CP = 0, CB I CP = C , 所以 EF⊥平面 PBC……………8 分 (也可以证明 EF 平行于平面 PBC 的一个法向量) (3)解:容易求出平面 PAB 的一个法向量为 r PAB = ( ,0, ). 及平面 PAC 的一个法向量为 rPAB = (1,1,1). 因为 rPAB ?r PAC =

1 2

1 2

1 1 2 + = 1, |r PAC |= , | rPAC |= 3 , 2 2 2

所以 cos < rPAB , rPAC >

2 6

=

6 , 3

即所求二面角的余弦值是

6 .……………12 分 3

19.解:(b,c)的所有可能的取值有: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), 4,6) ,(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), 共 36 种。 (1)要使方程 x2+bx+c=0 有实根,必须满足△=b2-4ac≥0,符合条件的有: (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),共 19 种。 ∴ 方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 P =

19 。 36

……………4 分

(2)要使方程 x2+bx+c=0 有实根,必须满足△=b2-4ac=b2-4c=0,符合条件的有: (2,1), (4,4), 共 2 种。 ∴ 方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 P =

2 1 = 。………8 分 36 18

(3) 后两次出现的点数中有 5 的可能结果有: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 2 (5,5), (5,6), (6,5), 共 11 种。 其中使方程 x +bx+c=0 有实根的结果有: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5), 共 7 种。 ∴在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 P =

7 。 11

…………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)函数定义域为 ( ?1,+∞ )

∵ f ′( x ) = 2[( x + 1) ?

1 2 x ( x + 2) ]= x +1 x +1

由 f ′( x) > 0得x > 0 由f ′( x) < 0得 ? 1 < x < 0 ∴增区间: (0,+∞) ,减区间: (-1,0) (2)由 f ′( x) = 0得x = 0 …………6 分

x

1 ( ? 1,0) e f ′( x) ? f ′( x) 1 e ↓

(0, e ? 1) + ↑

∵ f ( ? 1) =

1 1 + 2, f (e ? 1) = e 2 ? 2,且e 2 ? 2 > 2 + 2 2 e e
2

∴ x ∈ [ ? 1, e ? 1]时,f ( x) max = f (e ? 1) = e ? 2 ∴ m > e ? 2 时, f ( x ) < m 恒成立。
2

1 e

…………12 分

21.解: (1) e =

3 ,2c = 2,∴ a = 3 , c = 1, 则b = a 2 ? c 2 = 2 , 3 x2 y2 + = 1, 3 2
……………2 分

∴ 椭圆的方程为

? x2 y2 = 1, ? + 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 = 0, 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 2 ? y = ? x + 1, ?
则 x1 + x 2 =

6 3 , x1 x 2 = ? 5 5

………4 分

6 12 8 3 ∴| AB |= [1 + (?1) 2 ] ? ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 2 ( ) 2 + = , 分) (6 5 5 5
(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,

Q OA ⊥ OB,∴ OA ? OB = 0,即x1 x 2 + y1 y 2 = 0, ? x2 y2 = 1, ? + 由? a 2 b 2 消去y得(a 2 + b 2 ) x 2 ? 2a 2 x + a 2 (1 ? b 2 ) = 0, ? y = ?x + 1 ?

由 ? = ( ?2a 2 ) 2 ? 4a 2 ( a 2 + b 2 )(1 ? b 2 ) > 0, 整理得a 2 + b 2 > 1 , (8 分)

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 x 2 = 2 , a2 + b2 a + b2 ∴ y1 y 2 = (? x1 + 1)(? x 2 + 1) = x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + 1, 又x1 + x 2 = 由x1 x 2 + y1 y 2 = 0, 得 : 2 x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + 1 = 0, ∴ 2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 +1 = 0, a2 + b2 a + b2
(9 分)

整理得 : a 2 + b 2 ? 2a 2 b 2 = 0,Q b 2 = a 2 ? c 2 = a 2 ? a 2 e 2 , 代入上式得 1 1 1 1 2 1 1 ,∴ a 2 = (1 + ),Q ≤ e ≤ ,∴ ≤ e 2 ≤ , 2 2 2 2 2 4 2 1? e 1? e 1 3 4 1 7 1 ∴ ≤ 1 ? e 2 ≤ ,∴ ≤ ≤ 2,∴ ≤ 1 + ≤ 3, 2 2 4 3 1? e 3 1 ? e2 2a 2 = 1 +
∴ 7 3 ≤ a 2 ≤ , 适合条件a 2 + b 2 > 1 , 6 2
(11 分)

由此得

42 6 42 ≤a≤ ,∴ ≤ 2a ≤ 6 , 6 2 3
(12 分)

故长轴长的最大值为 6 . 22.解: (1) ?

? Sn = 4an + Sn ?1 ? an ?1 a 1 ? 3an = an ?1 ? n = (n ≥ 2, n ∈ N * ) 。 an ?1 3 ?an = Sn ? Sn ?1

1 为公比的等比数列。 …………………………3 分 3 1 n ?1 1 n ?1 (2)由(1)得 an = ( ) , 则 bn = n ( ) 3 3 2 3 n ∴ Tn = 1 + + 2 + ... + n ?1 , ……① 3 3 3 1 2 3 n ?1 n ∴ Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n ?1 + n , ……② 3 3 3 3 3 1 1 ? ( )n 2 1 1 1 n 3 ? n ①-②得, Tn = 1 + + 2 + ... + n ?1 ? n = 1 3 3 3 3 3 3n 1? 3 2 3 n 9 1 n n ∴ Tn = 1 + + 2 + ... + n ?1 = [1 ? ( ) ] ? 。 ……………………7 分 3 3 3 4 3 2 ? 3n ?1
∴{an}是以

(3) cn = t [ n(lg 3 + lg t ) + lg an +1 ] = t [ n lg 3 + n lg t + lg( ) ] = nt lg t 。
n n n n

1 3

由题意 cn +1 ? cn >0 (n=1,2,3,…)恒成立, 即 cn +1 ? cn = ( n + 1)t ∵t>0, ∴tn>0。 ①当 t>1 时,则 lgt>0, ? (n+1)t-n>0 ? n? ∴ 1?
n +1

lg t ? nt n lg t = (lg t )[(n + 1)t ? n]t n >0.对任意自然数 n 都成立。 ?t 对任意 n 恒成立, t ?1

?t 1 ? t ? , ∴t>1。 t ?1 2

……………………………………12 分.


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