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烟台芝罘区数学立体几何证明方法总结及经典3例2016年高三专题复习-立体几何(4)


【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 烟台芝罘区数学立体几何证明方法总结及经典3例 2016年高三专题复习-立体几何(4) 例1:平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法: 三线间平行的传递性,三角形中位线,平行四边形对边平行且相等,梯形的 上下底平行,棱柱圆柱的侧棱平行且相等,两平行面被第三面所截交线平行, 成比例(相似)证平行等等。 线面平行的证明方法: 面外线与面内线平行,两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法: 面内相交线与另面平行则面面平行,三面间平行的传递性等等。 【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一 点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥面BCE.

证法一: 如图(1),作PM∥AB交BE于M, 作QN∥AB交BC于N,连接MN,

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 因为面ABCD∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴ ∴
PM PE QN BQ , . ? ? AB AE DC BD

PM QN . ? AB DC

∴PM∥QN. 四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ? 面BCE,PQ ? 面BCE, ∴PQ∥面BCE. 证法二: 如图(2),连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K,连结EK. ∵AD∥BC, ∴
DQ AQ . ? QB QK

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB,且AP=DQ, ∴
AQ AP .则PQ∥EK. ? QK PE

∴EK ? 面BCE,PQ ? 面BCE. ∴PQ∥面BCE. 例2:垂直类证明

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 【垂直类证明方法总结】 证垂直的几种方法:勾股定理、等腰(边)三角形三线合一、菱形对角线、矩 形(含正方形)、90o、相似三角形(与直角三角形)、圆直径对的圆周角、平 行线、射影定理(三垂线定理)、线面垂直、面面垂直等 【例】如图所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的平 面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G . 求证: AE ? SB , AG ? SD .

证明:∵ SA ? 平面 ABCD, ∴ SA ? BC . ∵ AB ? BC , ∴ BC ? 平面 SAB. 又∵ AE ? 平面 SAB, ∴ BC ? AE . ∵ SC ? 平面 AEFG, ∴ SC ? AE . ∴ AE ? 平面 SBC.

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 ∴ AE ? SB . 同理证 AG ? SD . 例3:向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式 若 a ? ( x1 , y1 , z1 ),b ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

? ? ① a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2 ;
② | a |? x1 ? y1 ? z1 , | b |? x 2 ? y 2 ? z 2 ;
2 2 2 2 2 2

? ? ③ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2
④ cos ? a, b ?? 夹角公式:
cos? ? ? n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 | .
x1 x 2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 x1 ? y1 ? z1 ? x 2 ? y 2 ? z 2
2 2 2 2 2 2

距离公式:

d ?| CD |?

| AB ? n | |n|

【例】已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都为 2,AB=4. (1)证明:PQ⊥平面 ABCD; (2)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (3)求点 P 到面 QAD 的距离.

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师

简解:(1)略; (2)由题设知,ABCD 是正方形,且 AC⊥BD.由(1),PQ⊥平面 ABCD, 故可分别以直线 CA ,DB,QP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如图 1), ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AQ?PB 1 易得 AQ ? (?2 2, PB ?? ???? ??? 0, ? 2), PB ? (0, 2 2, ? 2) , cos ? AQ, ? ? . AQ PB 3
1 所求异面直线所成的角是 arccos . 3

(3)由(2)知,点 D(0, ? 2 2,, 0) AD ? (?2 2, ? 2 2,, 0) PQ ? (0, 0, ? 4) 设 n=(x,y, ???? ? ? 2 x ? z ? 0, ?n?AQ ? 0, ? z)是平面 QAD 的一个法向量,则 ? ???? 得? 取 x=1,得 ? ? x ? y ? 0, ?n?AD ? 0, ? ??? ? PQ?n ?2 2. n = (1 , ?1 , ? 2) .点 P 到平面 QAD 的距离 d ? n

??? ?

??? ?

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 立体几何证明经典习题 平行题目 1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ.

2、如图(1),在直角梯形 P1DCB 中,P1D//BC,CD⊥P1D,且 P1D=8, BC=4,DC=4 6 ,A 是 P1D 的中点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的 位置(如图(2)),使二面角 P—CD—B 成 45°,设 E、F 分别是线段 AB、 PD 的中点. 求证:AF//平面 PEC;

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 垂直题目 3、如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥ 平面 PBC. 求证:BC⊥平面 PAC.

4、如图 2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BE⊥CD,E为 垂足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 向量法解立体几何题目 5、在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥侧面 BB1C1C,E 为棱 CC1 上异于 C、

? C1 的一点,EA⊥EB1.已知 AB ? 2 ,BB1=2,BC=1,∠BCC1= .求二 3
面角 A-EB1-A1 的平面角的正切值.

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 立体几何证明经典习题答案 1、证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴AO=OC.连结OQ,则OQ在平面BDQ内, 且OQ是△APC的中位线, ∴PC∥OQ. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 2、证明:如图,设 PC 中点为 G,连结 FG, 则 FG//CD//AE,且 FG= ∴四边形 AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG, 又∵AF ? 平面 PEC,EG ? 平面 PEC, ∴AF//平面 PEC 3、证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. ∵平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交 于 PC, AD ?平面 PAC,且 AD⊥PC, ∴AD⊥平面 PBC. 又∵ BC ? 平面 PBC, ∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC, BC ? 平面 ABC,

1 CD=AE, 2

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 ∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC. 4、证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC , ∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,(等腰三角形三线合一) ∴ DF ? AB . 又 CF ? DF ? F , ∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF, ∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE ,
C D? B E ? E ,

∴ AH ? 平面 BCD. 5、以 B 为原点,分别以 BB1、BA 所在直线为 y 轴、z 轴,过 B 点垂直于平面

AB1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系.
由于 BC=1,BB1=2,AB= 2 ,∠BCC1=

? , 3

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师 ∴在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 B(0,0,0)、A(0,0, 2 )、

B1(0,2,0)、c ? ?

? 3 1 ? ? 3 ? ? 3 3 ? 1 3 , ? , 0? ,, 0? ,a, 0? 、C1 ? .设 E ? 且? ? a ? , ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ?

??? ? ???? 由 EA⊥EB1,得 EA?EB1 ? 0 ,
? ?? ? 3 3 即? ? , ? a , 2 ? ? , 2 ? a , 0 ? ? ? ? 2 ?? 2 ? ? ?? ?
? 3 3 1? ? 3? ? ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? ? 0 ,∴ ? a ? ?? a ? ? ? 0, ? 4 4 2? ? 2? ?

? 3 1 ? 1 3 , 0?. 或 a ? (舍去).故 E ? ? 2 , 2 ? 2 2 ? ? ??? ? ???? ???? ? ???? 由已知有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 ,故二面角 A-EB1-A1 的平面角 ? 的大小

即a ?

???? ? ??? ? 为向量 B1 A1 与 EA 的夹角.

???? ? ??? ? ??? ? ? ? 3 1 ? ,2 ? 因 B1 A1 ? BA ? (0, 0,2) , EA ? ? ?? 2 , ? 2 ? ? ??? ? ???? ? EA?B1 A1 2 2 故 cos ? ? ??? ,即 tan ? ? ? ???? ? ? 2 3 EA B1 A1


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