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江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修2-1教学案:第2章9抛物线的几何性质


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江苏省泰兴中学高二数学讲义(14)
抛物线的简单几何性质
[目标要求] 掌握抛物线的取值范围、对称性、顶点、离心率. [重点难点] 重点:抛物线的几何性质及其应用; [典例剖析]
2 2 例 1、已知抛物线的顶点为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的中心,椭圆的离心率是抛物线离心 a b



难点:抛物线的几种不同状态下的几何性质.

率的一半,且它们的准线互相平行,又抛物线与椭圆交于点 M ( 2 ,? 2 6 ) ,求抛物线与椭 3 3 圆的方程.

2 例 2、已知抛物线 y ? 2x ,设 A(a,0)( a ?0) , P 是抛物线上一点,且 PA ? d ,试求 d 的

最小值.

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例 3、设 AB 为抛物线 y2=2px( p>0)的一条过焦点的弦,F 为抛物线的焦点, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 求证:(1) AB ? x1 ? x2 ? p ; (2) x1 ? x2 ?

p2 2 1 1 ? , y1 ? y2 ? ? p ; (3) AF BF 4

?

2 . p

(4) 若点 C 在抛物线的准线上,且 BC ? x 轴,证明:直线 AC 经过原点 O .

[学后反思] 性质 x2=―2py 范围 对称性 顶点 离心率
通径端点坐标

焦点坐标

准线方程

[巩固练习] 1、抛物线 y2=―4px( p>0)的焦点为 F,准线为 l,则 p 的几何意义为________________. 2、如果抛物线 y ? ax 的准线是直线 x ? ?1 ,那么它的焦点坐标是
2



2 3 、已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, A,B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为

M (2, 2),则 △ ABF 的面积等于
4、已知双曲线的方程是
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x2 y 2 ? ? 1 ,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物 8 9

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线的准线方程.

江苏省泰兴中学高二数学课后作业(14)
班级: 姓名: 【A 组题】 1、抛物线 x 2 ? ?4 y 的通径为 AB,O 为抛物线的顶点,则通径长为________________,Δ AOB 的面积为___________________. 2、顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线,过点(―2,3),则它的方程是 3、顶点在坐标原点,以 x 轴为对称轴的抛物线截过焦点且垂直于 x 轴的直线所得弦 (抛物线的通径)的长为 8,则抛物线的方程是 4、若双曲线 . . . 学号:

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为 3 p

5、已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2m 时,量得水面宽 8m,当水面升高 1m 后,水面宽 度是 ________m..
2 2

6、抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x +y =9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5 , 求该抛物线的方程,并写出相应的焦点坐标、准线方程.

7、若 A(3, 2) ,F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,P 是抛物线上任意一点,求 PF ? PA 的最小值 以及取得最小值时 P 点的坐标.

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【B 组题】 1、设 AB 为抛物线 y2=2px( p>0)的一条过焦点 F 的弦,若 A、B 在准线上的射影为 A1、B1 ,则

?A1FB1 ?

_______

2、 设 AB 为抛物线 y 2 ? 18 x 的一条过焦点 F 的弦, AB ? 20, AD、BC ? y轴于D、C ,则梯 形 ABCD 的中位线长是 ____

3、抛物线有光学性质,即由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的 方向射出,反之亦然.如图所示,今有抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,一光源在点 M (
41 , 4) 处,由其 4

发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点 P,反射后,又射向抛物线上的点 Q,再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出,途中遇到直线 l : 2 x ? 4 y ? 17 ? 0 上的点 N, 再反射后又恰好射回点 M. (1)设 P、Q 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,证明: y1 y2 ? ? p2 ; (2)求抛物线方程. y P O Q N x M

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