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解三角形和应用复习学案


专题复习---解三角形
一. 基础知识整理:
(1)正弦定理 1.正弦定理: ________________, (其中 R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ②角化边 a ? 2R sin A b ? 2R sin B ③边化角 sin A ?

题型二:三角形面积 例 2、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S (1)已知 a=14 cm, c=24 cm, B=150 ? ;

(2)已知三边的长分别为 a=3 cm,b=4 cm, c=7 cm

c ? 2R sin C
sin C ? c 2R

a 2R

sin B ?

b 2R

b

3.△ABC 中,已知锐角 A,边 b,则 ① a ? b sin A 时,____________; ② a ? b sin A 或 a ? b 时,____________; ③ b sin A ? a ? b 时,____________。 A

b sin A

题型三:三角形中求值问题
例题 3 .设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a ? 2b sin A .

(Ⅰ B 的大小; )求

(Ⅱ cos A ? sin C 的取值范围. )求

4.三角形面积: S?ABC =______________=_____________=_______________。 (2)余弦定理 1.余弦定理: ________________, _______________, _______________。 2.变形:________________, _______________, _______________。 3.三角形的形状 ① a ? b ? c 时,角 C 是___, ② a ? b ? c 时,角 C 是___, a ? b ? c 时,角 C 是 _ . ③
2 2 2 2 2 2 2 2 2

题型四:三角形中的三角恒等变换问题 例 4 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 a ? c ? 2b , 且
2 2

四、典型例题
题型一:正、余弦定理 例 1、 (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c? 3 ? 3 , B? 300 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ? 3cm , b ? 5cm , c ? 6cm ,求最大边的余弦值; (3)已知 A ? 300 , a ? 2, b ? 2 3. 求 B (4) 三角形ABC中,a ? c ? b ? ac, 求B
2 2 2

sin A cos ? 3 cos sin 求 b C A C ,

变式: 在 ?ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.

(Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.(选做) )设
2

??

?

?? ?

例 2 不解三角形,判断下列各题解的情况:
0

(1)a=8,b=16,A=30 (2)a=6,b=5,A=150 (3)a=6,b=9,A=45 (4)b=9,c=10,B=60

0

0

0

0
0

7

0

3

1

1

6

题型五:正、余弦定理判断三角形形状 例 5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 )

三.解答题(10 ? 5=50 分) 11.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 , 行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,求这时船与灯塔的距离。
? ?

D.等边三角形 . .

变式:△ABC 中,① a cos A ? b cos B ,则△ABC 是 ② b cos A ? a cos B ,则△ABC 是

解三角形同步练习
一.选择题(每小题 5 分) 1. 在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 2 : 3 :1 D. 1: 3 : 2
2.在△ABC 中, a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,则 A 等于( A.60° B.45° C.120° ) D.30°

12.a,b,c 为△ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a.


13.在 ?ABC 中,已知 (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin( A ? B) ,判定 ?ABC 的形状.

3.已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( ) A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5 C.2<x< 5 D. 5 <x<5 ? 4. 在 ?ABC 中, ?A ? 60 , a ? 6 , b ? 3 ,则 ?ABC 解的情况( ) A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 不能确定 5.边长为 5 、 7 、 8 的三角形的最大角与最小角之和为( ) ? ? ? ? A. 90 B. 120 C. 135 D. 150 6.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高 为( ) 400 400 3 3 米 ? A. 3 米? B. C. 200 3 米? D. 200 米 7.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A=( A. 90
0

14. 已知函数 f ( x) ? cos

2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)求 f (x ) 的单调递减区间。


15. 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A 3asinC-ccosA

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

1 8.在△ABC 中,A 为锐角,lgb+lg( )=lgsinA=-lg 2 , 则△ABC 为( c



(2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

二.填空题(每小题 5 分) 9.在 ?ABC 中,三边 a 、 b 、 c 所对的角分别为 A 、 B 、 C ,已知 a ? 2 3 , b ? 2 , ?ABC 的面积 S= 3 ,则 C ? ________ 10.在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| =________

AB - AC |

2


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