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(全)基本不等式应用


基本不等式应用
一、知识点:

1.(1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab 2. (1)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? ab
2
2

即: ab ?

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2

即: a ? b

? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )
2

(3)若 a, b ? R ,则 ab ? ( a ? b ) 2 ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=” ) 2 2 注: (1)利用均值不等式求最值的条件是: “一是正数,二为定值,三要有取等号的条件” (2)利用均值不等式求最值:当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最大值,正所谓“积为定值和有最小 值,和为定值积有最大值” . 应用基本不等式求最值的常见题型: 1、直接利用基本不等式求解; 2、若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件进行恒等变形,如构造“1”的代换; 3、若可用基本不等式,但等号不成立,则一般利用函数的单调性求解。 二、求最值 例 1:设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1,若 a x ? b y ? 4, 且 a ? b ? 2 2 ,求

1 1 ? 的最大值。 x y

例 2、 (凑项)已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

例 3、 (凑系数)当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

1

例 4、(构造“1”)若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,求 3x ? 4 y 的最小值。

例 5、( 换元)求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

三、基本不等式与恒成立问题
1 9 例 6、已知 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

例 7 、 已 知 正 实 数 x, y 满 足 x ? y ? 3 ? xy, 若 对 任 意 满 足 条 件 的 x, y , 都 有

?x ? y ?2 ? a?x ? y ? ? 1 ? 0 恒成立,求实数 a 的范围。

2

四、练习: 1、设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当

z 取最小值时, x ? 2 y ? z 的最大值为 xy



)A、0

B、

9 8

C、2

D、

9 4

2、已知 x ? ?0,2? ,函数 y ?

x?8 ? 3x ? 的最大值为

3、若 x ? 1 ? 0 ,则 x ?

1 的最小值为 x ?1

4、设 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? A、1 B、2

1 1 ? 的最小值为( ab a ?a ? b ?
C、3 D、4



5、若直线 ax ? by ? 2 ? 0?a ? 0, b ? 0? 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4, 则 的最小值为

1 1 ? a b

3

线性规划问题:由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 , 并 作 出 可 行 域 , 进 而 通 过 平 移 直
线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ,以 下 五 类 常 见 题 型 。 一、求线性目标函数的取值范围
?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?





A、 [2,6]

B 、 [2,5]

C 、 [3,6]

D、 ( 3,5]

若 z ? x ? 2y 呢 ? 二、求可行域的面积
? 2 x ? y ? 6? 0 ? 例 2、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?





A、 4

B、 1

C、 5

D、 无 穷 大

三、求可行域中整点个数 例 3 、 满 足 |x| + |y| ≤ 2 的 点 ( x , y ) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A 、 9 个 B 、 10 个 C 、 13 个 D 、 14 个



四、求线性规划问题中参数的取值范围
?x ? y ? 5 ? 例 4 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 , 使 z=x+ay(a>0) 取 得 最 小 值 的 ?x ? 3 ?

最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1





4

?x ? 2 ? 例 5 、 设 z ? kx ? y ,其 中 实 数 x, y 满 足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的 最 大 值 为 12 ,求 k 。 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

?x ? y ? 3 ? 0 ? 例 6 、 若 直 线 y ? 2 x 上 存 在 点 ? x, y ? 满 足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 求 实 数 m 的 最 大 值 。 ?x ? m ?

?y ? x ? 例 7 、设 m ? 1,在 约 束 条 件 ? y ? mx 下 ,目 标 函 数 z ? x ? 5 y 的 最 大 值 为 4 求 m ?x ? y ? 1 ?

?x ? 2 y ? 0 ? 例 8 、 设 z ? x ? y , 其 中 实 数 x, y 满 足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的 最 大 值 为 6 , 求 z 的 最 ?0 ? y ? k ?
小值。

5

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 9 、已 知 实 数 x, y 满 足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 目 标 函 数 z ? y ? ax 取 得 最 大 值 时 唯 一 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
最 优 解 是 ?1,3?, 求 实 数 a 的 范 围 。

?x ? 0 ? ?k是常数? 所 表 示 的 平 面 区 域 的 边 界 是 例 10、 若 关 于 x, y 的 不 等 式 组 ? y ? x ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
一个直角三角形,求 k 。

五、求非线性目标函数的最值
? 2 x ? y ? 2? 0 ? 例 1 1 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4? 0 , 则 z=x 2 +y 2 的 最 大 值 和 最 ?3 x ? y ? 3? 0 ?

小值分别是( A、 13, 1

) B 、 13 , 2 C 、 13 ,
4 5

D 、 13 ,

2 5 5

6

? ?x-y+2≤0, y 例 12、 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ? ?x+y-7≤0, 9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞) 9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 例 1 3 、 设 x, y 满 足 ? y ? x ,则 的取值范围是( x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
A 、 ?1,5? B 、 ?2,6? C 、 ?3,10? D 、 ?3,11?





?x ? y ? 4 ? 14 、 设 不 等 式 组 ? y ? x ? 0 表 示 的 平 面 区 域 为 ?x ? 1 ? 0 ?
D, 求 r 的 范 围 。

D , 若 圆

C :

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? r 2 ?r ? 0? 不 经 过 区 域

例 15、已 知 |2x - y + m| < 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0, 0 ) 和 ( - 1,1 ) ,则 m
7

的取值范围是 ( ) A、 ( -3 , 6 ) B 、 ( 0,6 ) C 、 ( 0,3 )

D、 ( -3 ,3 )

例 16、 若点 P ?m,3? 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4, 且点 P 在不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面 区域内,则 m ?

补充例题: 例 17、 已知 A?2,1? ,B?1,?2? ,动点 P ?a, b ? 满足 0 ? OP? OA ? 2 且1 ? OP? OB ? 2 ,
则点 P ?a, b ? 变动形成的区域面积是

?

?

?

?

例 18 、 已 知 ? , ? 是 三 次 函 数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ?a, b ? R ? 的 两 个 极 值 点 , 且 3 2

? ? ?0,1?, ? ? ?1,2? ,求动点 ?a, b ? 所在的区域面积。

例 19、 函数 y ? f ?x ? 为定义在 R 上的减函数, 函数 y ? f ?x ? 1? 的图像关于点 (1,0) 对称,x, y 满足不等式 f x 2 ? 2 x ? f 2 y ? y 2 ? 0 , M ?1,2?, N ?x, y ? ,O 为坐标原点,则 1 ? x ? 4 时,求

?

?

?

?

OM ? ON 的取值范围。

?

?

8


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