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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件:2.2.2《反证法》


2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法

反证法

内容:反证法的概念、步骤
应用:

1.直接证明难以下手的命题
2.“至少”、“至多” 型命题

3.否定性命题

4.某些存在性命题

本课主要学习反证法。反证法

是从否定命题的结论入手, 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑 推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经 证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引 入新课,从生活实例抽象出反证法的概念、步骤. 让学生感受 到了反证法处处可在,也从这些具体的例子中更加熟悉反证法 的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择,以 及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同 ,且本节内容涉及过多以往知识点的应用,建议教师在使用本 课件时灵活掌握. 在讲述反证法的应用时,采用例题与变式结合的方法,通 过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时,改变 其思维方向,从反面进行思考,问题可能解决得十分干脆。通 过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多” 型命题常用反证 法.采用一讲一练针对性讲解的方式,重点理解和巩固反证法 的运用方法.

1.直接证明的两种基本证法:综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点:
综合法 已知条件 分析法
结论

????? 结论 由因导果 ????? 已知条件 执果索因

3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路,再由综合法书写过程

路边苦李 古时候有个人叫王戎, 7 岁那年的某天,他和小伙伴在路 边玩,看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了,小伙 伴们都跑去摘,只有王戎站着没动.他说:“李子是苦的,我不 吃 .”小伙伴摘来一尝,李子果然苦的没法吃 . 小伙伴问王戎: “这就怪了!你又没吃怎么知道李子是苦的啊?” 王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没有 了!李子现在还这么多,所以啊,肯定李子是苦的,不好吃! ”

路边苦李
王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗?是什么方法?

反证法 反证法是我们常见的一种证明方法,它隶属于间接证明,今天 我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.

(1)如果有5只鸽子飞进两只鸽笼,至少有3只鸽子在 同一只鸽笼,对吗? (2)A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、 B都撒谎。则C在撒谎吗?为什么?

分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明 注:反证法是最常见的间接证法,

反证法:假设命题结论的反面成立, 经过正确的推理,引出矛盾,因此说 明假设错误,从而证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法.(归谬法)
反证法的思维方法:正难则反

例1:求证: 2 是无理数。
解析:直接证明难以下手的命题,改变 其思维方向,从反面进行思考,问题可 能解决得十分干脆。

例1:求证: 2 是无理数。
证明:假设 2 是有理数 m 则存在互质的整数m,n使得 2 ?
?m ?
2

2n ? m ? 2n
2

2

n

? m 是偶数,从而m必是偶数, 故设m ? 2k (k ? N )
从而有4k 2 ? 2n2 ,即n2 =2k 2
? n 是偶数,即n是偶数,这与m,n互质矛盾
2

?假设不成立,即 2是无理数.

?反证法的证明过程:
否定结论——推出矛盾——肯定结论, 即分三个步骤:反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理, ````````得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而 肯定原结论成立。 用反证法证明命题的过程用框图表示为:

肯定条件
否定结论





反设
不成立

结论
成立

逻辑矛盾

证明:如果a ? b ? 0, 则 a ? b
证明: 假设

a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以

否定要全面

(1)若 a < b ? a ? b 与已知a ? b ? 0矛盾
与已知a ? b ? 0矛盾 (2)若 a = b ? a = b,
所以假设错误,故原命题

a? b

成立

例2 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证:由于 假设方程 不妨设方程的两根分别为 ,因此方程至少有一个根 至少存在两个根。

= b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 =0 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) ∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知 a ≠ 0 矛盾,故假设不成立,结论成立。
则:ax
1

注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法

例3:已知x>0,y>0,x + y >2,
1? x 1? y 求证: 中至少有一个小于2。 , y x

分析:所谓至少有一个,就是不可能没 有,要证“至少有一个”只要证明它的 反面“所有都”不成立即可.

注:“至少”、“至多” 型命题常 用反证法

常见否定用语
是---不是 有---没有 等---不等 成立--不成立 都是--不都是,即至少有一个不是 都有--不都有,即至少有一个没有 都不是-部分或全部是,即至少有一个是 唯一--至少有两个 至少有一个有(是)--全部没有(不是) 至少有一个不-----全部都

应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论. (3)结论为“至少”、“至多”、“有无 穷多个” 类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

正难则反!

一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下, 经过正确的推理, 最后得出矛盾。 结论不成立), 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法。

三个步骤:反设—归谬—存真

归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。

合情推理
推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明

归纳推理 类比推理

演绎推理
综合法 直接证明 分析法 反证法

已知:整数a的平方能被2整除, 求证:a是偶数。 证明:假设a不是偶数,

则a是奇数,不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数,与已知矛盾。 ∴假设不成立,所以a是偶数。


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