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(课标版)2013年高考数学 原创预测题 专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数 理


专题二:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数(新课标 理科)
一、 选择题 1、若 sin ? +2icos ? =2i,则 ? 的取值为( ) k? ? | ? =k ? ,k ? Z} ? | ? = 2 , k ? Z} { { ? { ? | ? =2k ? , k ? Z} { ? | ? =2k ? + 2 , k ? Z
2cos10? ? sin 20? sin70? 2、 的值是 (


2 2

1 3 3 2 2 ? ? 3、若 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,则(
? ? a?b ? ? a ? ?b


? ? ? ? (a ? b) ? ? (a ? b)

? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b)

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a 、 b、 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则 sin〈 a, b 〉=( c 4、设非零向量
1 .2 1 2

)

.1
? ? ?

.
?

.
?

3 2

5、 设向量 a 与 b 的夹角为θ ,定义 a 与 b 的“向量积”: a ? b 是一个向量,它的模| a ?
? ? ? ? b |= | a |?| b |?sinθ ,若 a = (- ? 3 ,- 1), b = (1, 3

?

?

),则 | a ? b |=

?

?

(

) .
3

.

2 3

.2

.4 ( .[0,3] )

6、函数 y=|sinx|-2sinx 的值域是 .[-3,-1] .[-1,3]

.[-3,0] )

2 7、函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π ,θ ]上的最大值为 1,则 θ 的值是( 3 .0 π . 3 π . 2 π .- 2 )

π 2 8、已知函数 f(x)= cos(ω x+φ )的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=( 2 3 2 .- 3 1 .- 2 . 2 3 1 . 2

9、 sin2θ -1+i( 2cosθ +1)是纯虚数, θ 的值为 若 则

(

)

1

.2kπ +

π (k∈Z) 4

.2kπ —

π (k∈Z) 4

.2kπ ±

π (k∈Z) 4

.

k 2

π π + (k∈Z) 4 10、某人在 点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为 45°,此人沿南偏东 40° 方向前进 10 米到 ,测得塔顶 的仰角为 30°,则塔高为 ( .15 米 .5 米 .10 米 .12 米 )

二、 填空题
1 ? ? ?? ? 2 ,则 cos ? -sin ? =________________ 11、 已知 sin ? ? cos ? = 5 ,且 4

12、设△ 的值为

3 tanA 的内角 , , 所对的边长分别为 a,b,c 且 acos -bcos = c.则 5 tanB . .

7π 13.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )的图象如下图所示,则 f( )= 12

14、 已知向量 a =(2,-1), b =(x,-2), c =(3,y),若 a ∥ b ,( a + b )⊥( b - c ),

?

?

?

?

?

?

?

?

?

???? ? MN 的模为 M(x,y),N(y,x),则向量
三、解答题

.

2 15、 已知 3cos ? +2sin2 ? = ?1 求(1)tan ? 的值 ,(2)3cos2 ? +4sin2 ? 的值

1 π 16、已知函数 f(x)=3sin( x- ),x∈R. 2 4 (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sinx 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 17、 在 ? 中,若 b sin
2 2

+c sin

2

2

=2bc ? cos cos ,试判断三角形的形状

π 18、已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3sinω xsin(ω x+ )+2cos2ω x,x∈R(ω >0),在 y 轴右 2 π 侧的第一个最高点的横坐标为 . 6 π (1)求 ω ;(2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸 6 长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减 区间.

2

19、在△
? n =( 2-sin

中,设内角 , , 的对边分别为 a, b, c ,向量 m =(cos ,sin ),向量 ,cos ),

?? ?

若| m ? n |=2. (1)求角 的大小; (2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ 的面积. ?? ? x x x 20、已知向量 m =( 3sin ,1), n =(cos ,cos2 ). 4 4 4
?? ? ? 2π (1)若 m ? n =1,求 cos( -x)的值; 3

?? ?

?

(2)记 f(x)= m ? n , 在△

?? ? ?

中, 角 , , 的对边分别是 a, c, b, 且满足(2a-c)cos

=bcos , 求函数 f( )的取值范围. 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数(新理) 试题答案 ? =0,cos ? =1,所以 ? 的终边落在 x 轴的正半轴上, 1 解析: 选 , 由复数相等的条件得: sin 故选 ; 2 解 析 : 选 , 原 式
3 cos 20? 3 cos 20? 2cos 30? -20?) sin 20? 2cos30? cos20? ? 2sin30? sin 20? ? sin 20? ( ? ? ? cos 20? = 3 sin70? sin70? = = = sin 70

3









,

?

? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) =(cos ? +cos ? )( cos ? -cos ? )+(sin ? +sin ? )( sin ? -sin ? )
2 2 2 2 =cos ? +sin ? -cos ? -sin ? =0? 选项 正确

?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?2 ?? ? 2 ? ? ?2 c ? a?b a ? b ? c ,∴ a ? 2ab ? b 又 a ? b ? c ∴ 2ab=-b 4 解析:选 ,∵ = ?2 ??? ? ? ? ? b 即 2| a || b |cos〈 a , b 〉=- .∴cos〈 a,b 〉=

1 -2

3 ? ? ? a, b ? = 2 ? sin

5 解析:选 , ? cos ? =

? ? a? b ? ? a ?b

- 3- 3 = 2 ? 2 =-

3 2

1 1 ? sin? ? ,? a ? b ? a ?b ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2. sin 2 2
6 解析: 选 ,当 0≤sinx≤1 时, y=sinx-2sinx=-sinx, 此时 y∈[-1,0]; 当-1≤sinx <0 时,

3

y=-sinx-2sinx=-3sinx,这时 y∈(0,3],求其并集得 y∈[-1,3]. 7 解析:选 ,因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其 2π π 在区间[- ,θ ]上的最大值为 1,结合选项可知 θ 只能取- .,故选 3 2 11 7 2π 2π 2π 8 解析: 选 ,由题意可知, 此函数的周期 T=2( π - π )= , 故 = , ∴ω =3, 12 12 3 ω 3 f(x)= cos(3x+φ ). π 3π f ( )= cos( +φ )= 2 2 1 cos(φ - π ) 4 = 2 2 ( cosφ + sinφ )=0,∴f(0)= cosφ = . 2 3 2 7π sinφ =- .又由题图可知 f( )= 3 12 7π +φ )= 12

cos(3?

? ? ?? ? k? ? 4 , ? k ? Z, ? ?sin 2? ? 1 ? 0, ? 3 ? ?? ? 2k? ? ? . ? ? 2 cos ? ? 1 ? 0. ? ? ? 4 9 解析:选 ,由题意,得
π + ,k∈Z. 4

∴ θ = 2kπ

10 解析:选 ,如图,设塔高为 h,在 Rt△ O 中,∠

O=45°,

则 O =O =h.在 Rt△ O 中,∠ O=30°,则 O = 3h, 在△O 中,∠O =120°, =10, 由余弦定理得:O 2=O 2+ 2-2O ? 2h?10?cos120°, ∴h2-5h-50=0,解得 h=10,或 h=-5(舍). 二 填空题 cos∠O ,即( 3 h)2=h2+102-

2 11 解 析 : cos ? -sin ? = — (cos? ? sin?) = —

cos2 ? ? 2cos? sin ? ? sin 2 ? = —

1? 2?

1 15 ? 5= 5

答案:

?

15 5

3 3 12 解析:由 acos -bcos = c 及正弦定理可得 sin cos -sin cos = sin ,即 5 5 sin cos -sin cos

4

3 = sin( 5



),即 5(sin

cos

-sin

cos

)=3(sin

cos

+sin

cos

),即

sin cos =4sin cos ,因此 tanA tan =4tan ,所以 =4. tanB 答案:4 3 2π π 13 解析:由图象知,函数的周期为 ?T=π ,∴T= . ∵f( )=0, 2 3 4 7π π π π T π ∴f( )=f( + )=f( + )=-f( )=0. 12 4 3 4 2 4
? ? ?

答案:0
? ? ?

14 解析:∵ a ∥ b ,∴x=4,∴b=(4,-2),∴ a + b =(6,-3), b - c =(1,-2-y). ∵( a + b )⊥( b - c ),
? ? ? ?

???? ? ? ? ? ? a + b )?( b - c )=0,即 6-3(-2-y)=0,∴y=-4,故向量 MN =(-8,8), ∴( ???? ?
| MN |=8 2. 三解答题
2 2 2 15 解析:(1)由已知条件得 4cos ? +4sin ? cos ? +sin ? =0,(2cos ? +sin ? ) =0,

答案:8 2

所以 2cos ? =-sin ? ? tan ? =-2
(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 8sin ? cos? ?3tan 2 ? ? 8tan ? ? 3 3 sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1 (2) 3cos2 ? +4sin2 ? = = =-5 16 解析:(1)列表取值:

x
1 π x? 2 4

π 2
0 0

3 π 2 π 2
3

5 π 2

7 π 2 3 π 2
-3

9 π 2

0

π
0

f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

? (2)先把 y=sinx 的图象向右平移 4 个单位,然后纵坐标不变,把所有点的横坐标扩大
为原来的 2 倍,再横坐标不变,把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

5

17 4R sin
2


2


? sin 2


2


2

a b c ? ? sin A sin B sin C
? sin 2
2

=2R











+4R sin

=8R sin sin cos cos cos , 即 cos( + )=0,又 0 ° < + <180°

又 sin sin ≠ 0 ? sin ? + =90°? =90° 故? 是直角三角形. 18 解析:(1)f(x)=

sin

=cos

3 1 3 π 3 sin2ω x+ cos2ω x+ =sin(2ω x+ )+ . 2 2 2 6 2

π π π 令 2ω x+ = ,将 x= 代入可得:ω =1. 6 2 6 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ π 3 1 π 3 )+ .经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ . 6 2 2 6 2

4 5 π 1 π 3 当 x=4kπ + π ,k∈Z 时,函数取得最大值 . 令 2kπ + ≤ x- ≤2kπ + π , 3 2 2 2 6 2 4π 10 即[4kπ + ,4kπ + π ],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3 19 解析: (1) ∵| m ? n |2=(cos + 2-sin )2+(sin +cos )2=4+2 2(cos - π sin )=4+4cos( + ), 4 π π π π π ∴4+4cos( + )=4,∴cos( + )=0,∵ ∈(0,π ),∴ + = ,∴ = . 4 4 4 2 4 (2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos π acos , 4 解得 a=4 2,∴c=8, ∴S△ , 即 a2=(4 2)2+( 2a) 2-2?4 2? 2
?? ?

1 1 2 = bcsin = ?4 2?8? =16. 2 2 2

?? ? ? x x x 3 x 1 x 1 20 解析:(1)∵ m ? n =1,即 3sin cos +cos2 =1,即 sin + cos + =1, 4 4 4 2 2 2 2 2

x π 1 2π 2π π ∴sin( + )= .cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 2 6 2 3 3 3 x π 1 1 =-[1-2sin2( + )]=2?( )2-1=- . 2 6 2 2 (2)∵(2a-c)cos =bcos ,由正弦定理得(2sin -sin )cos =sin cos . ∴2sin cos -cos sin =sin cos ,∴2sin cos =sin( + ), ∵ + + =π , 1 π ∴sin( + )=sin ,且 sin ≠0,∴cos = , = , 2 3 2π π A π π 1 A π ∴0< < .∴ < + < , <sin( + )<1. 3 6 2 6 2 2 2 6
?? ? ? x π 1 A π 1 又∵f(x)= m ? n =sin( + )+ ,∴f( )=sin( + )+ . 2 6 2 2 6 2

6

3 故函数 f( )的取值范围是(1, ). 2

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. c o m 天 星 版 权

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