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函数的奇偶性与单调性学案


函数的奇偶性与单调性的综合学案
题型 1:证明函数的奇偶性与单调性 例 1:已知 f ( x) ?
x ( x ? R) ,讨论函数 f ( x) 的性质,并作出图象. 1 ? x2

题型 4:函数的奇偶性与单调性的综合应用―――解不等式 例 7:若奇函数 f ( x) 的定义域是 ? ?5,5? 上的增函数,当 x ??0,5? 时,满足 f ( x) 的图象如图 所示,则(1)不等式 f ( x) ? 0 的解集是___________________; (2)不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集是___________________
y

5 2

x

例 2:函数 f ( x) 的定义域是 R,对任意的实数 x,y 都有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 , f ( x) ? 0 ,判断函数的奇偶性与单调性。

例 8:设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (??,0) 上是减函数,实数 a 满足不等式 f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围.

例 9:若函数 f ( x) 是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0)]上是减函数,解不等式

f ( x ? 2) ? f (4 ? x2 ) ? 0

题型 2:函数的奇偶性与单调性的综合应用―――求值 例 3:若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,求满足 f ( x2 ? 3) ? f (2x) 的所有 x 的值。

例 4:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 题型 3:函数的奇偶性与单调性的综合应用―――判断增减性求最值 例 5:若奇函数 f ( x) 在[3, 7]上是增函数,且最小值是 1,则它在 [?7, ?3] 上是( ). A. 增函数且最小值是-1 B. 增函数且最大值是-1 C. 减函数且最大值是-1 D. 减函数且最小值是-1 例 6: 若函数 f ( x) ? (m ?1) x2 ? 2mx ? 3 是定义在 R 上的偶函数, 则 f ( x) 在 (-5, -2) ( A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由 m 来决定 )

例 10:函数 f ( x) 是定义在 (0, ?) 上的增函数,且满足 f (a ? b) ? f (a) ? f (b), f (2) ? 1 ,解不等 式: f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 。

课后作业: 1. 已知 f ( x) 是奇函数,在 (0, ??) 是增函数,则下列结论正确的是( A. f (0) ? 0 B. f (?1) ? f (1) C. f (0) ? f (1) D. f (1) ? f (2)

8. 设函数 f ( x) 是定义 (?2, 2) 上的奇函数,且为减函数,解不等式 f (a2 ? 2) ? f (3a ? 2) ? 0 )

2.已知 f ( x) 是定义在 R 上的任意一个增函数, G( x) ? f ( x) ? f (? x) ,则 G ( x) 必定是( ) A.增函数且为奇函数 B. 增函数且为偶函数 C. 减函数且为奇函数 D 减函数且为偶函数 3.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, ?? ) 是增函数,且 f (1) ? 0 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集 为 .

4. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (0, ??) 是增函数,则使 f (? ) ? f (a) 成立的实数 a 的 解集为 .

x 9.若函数 f ( x) 是定义在 (0, ?? ) 上的减函数,且 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,若 f (3) ? 1 ,解不等 y 1 ) ? 2。 式: f ( x) ? f ( x ?8

5.已知函数 f ( x) 是偶函数,且 x ? (0, ??) 时有 f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集____________

6.若函数 f ( x) 在 R 上的奇函数, f (1) ? 2, f ( x ? 3) ? f (? x) , f (2003) =______________. 7.若奇函数 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,且满足 f (?4) =0, (1) 画出一个满足条件的 f ( x) 的图象; (2) 解不等式 f ( x) ? 0 (3) 解不等式 x ? f ( x) ? 0 。
ax ? b 1 2 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,且 f ( ) ? , 2 1? x 2 5 (1)确定 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明: f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数; (3)解不等式: f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 。

10.若函数 f ( x) ?


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