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2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)(导数——三明市数学组供稿)


2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)
导数
三明市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1)设函数 f ( x ) 是定义域为 R 且以 3 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?3 处的切线的斜率
为( )
<

br />(A) ?

1 3

(B)0

(C)

1 3

(D)3 )

(2)设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 y ? 2 x ,则 a 的值为 ( (A)0 (3)函数 (B)1 (C)2 ) (D)4 (D)3

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是(
(B)0 (C)2

(A)-2

(4) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,其导函数 f ?( x ) 的大致图象如图所 示,则下列叙述不正确的是( (A) f (a) ? f (b) ? f (c) (B)函数 f ( x ) 在 x ? c 处取得极大值 (C)函数 f ( x ) 在 x ? e 处取得极小值 (D)函数 f ( x ) 的最小值为 f ( d ) (5)已知函数 f ( x) ? (A) ? )

1 3 x ? x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c 的值为 ( 3
(B)-3 或 1

)

1 1 或 3 3
2 2 或 3 3
2

(C) ?

(D)-1 或

1 3
)

(6)若不等式 2 x ln x ? x ? ax ? 3 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则实数 a 的最小值是( (A) ?4 (B)0 (C)2 (D)4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。 x (7)若曲线 y ? e 上点 P 处的切线平行于直线 x ? y ? 3 ? 0 ,则点 P 的坐标是________.
(8)若函数 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? ax ? 1 恰在 ? ?1, 2? 上单调递增,则实数 a 的值为________. 3 2 1 2 3 x ? 2 x ? ,则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有_____个实根. 2 2
1

(9)设函数 f ( x) ? 3ln x ? 3ln 3 , g ( x) ?

(10)已知

f1 ( x) ? sin x ? cos x ,记 f 2 ( x) ? f1?( x) , f3 ( x) ? f 2?( x) ,…, fn ( x) ? fn??1 ( x)
x 4 x 4 x 4

( n ∈N*, n ≥2),则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2015 ( ) ? ________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)
已知函数 f ( x ) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2 x ,且 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值. 3 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [0,4] 上的最值.

(12)(本小题满分 15 分)

已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x ? 1) x . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性.

(13)(本小题满分 15 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x ) ?
2

1 1 ? x ? b ,且直线 y ? ? 是函数 f ( x ) 的一条切线. x 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)对任意的 x1 ?[1, e] ,都存在 x2 ?[1,4] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 b 的取值范围; (Ⅲ)若方程 f ( x ) ? cx 有两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求证: c ? 0 .

2

2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(文科)
导数 参考答案
三明市数学组

一、选择题。
1.解析:因为 f ( x ) 是 R 上可导偶函数,所以 所以

f ' (0) ? 0 ,又因为 f ( x ) 周期为 3 ,

f ' (?3) ? f ' (0) ? 0 ,所以 y ? f ( x) 在 x ? ?3 处的切线的斜率为 0 ,选(B)
1 ,所以在点(0,0)处切线的斜率为 a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 ,故选(B) x ?1

2.解析:因为 f ?( x) ? a ? 3.解析:

f ' ( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) 当 x ? ( ?1,0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,所以 f ( x)max ? f (0) ? 2 ,选(C) f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,所以 f (c) ? f (b) ? f (a) ,所以 A 正确;当

当 x ? ( ?1,0) 时,

4.解析:当 x ? ( a , c ) 时,

' x ? (b, c ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, 当 x ? (c, d ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, 函数 f ( x )

在 x ? c 处取得极大值,所以 B 正确; 当 x ? ( c, e) 时, f 时,

'

( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,当 x ? (e, ??)

f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,函数 f ( x) 在 x ? e 处取得极小值,所以 C 正确; 当 x ? (d , e) 时,

f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, f (e) ? f ( d ) ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f ( d ) 错误,选(D)
5. 解析:

f ' ( x) ? x2 ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1)

当 x 变化时,

f ' ( x) , f ( x ) 变化如下表:
1
0

x
f ' ( x)
f ( x)

( ??, ?1)

?1
0

( ?1,1)

(1, ??)

?


?


?

2 ? ?c ↗ 3 当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? , 2 ?c 3
因为 f ( ?1) ?

2 2 ? c , f (1) ? ? ? c , 3 3 1 3 x ? x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 3
所以 c ? ?
2

因为函数 f ( x) ?

所以

2 2 ?c ? 0或? ?c ? 0 3 3

2 2 或c ? 3 3

选C .

6.解析:依题意得 ax ? ?2 x ln x ? x ? 3 ,即 a ? ?2 ln x ? x ?

3 , x

3

令 g ( x ) ? ?2 ln x ? x ? 当 x ? (0,1) 时, g 数 g ( x)max
'

3 2 3 ? x 2 ? 2 x ? 3 ( ? x ? 1)( x ? 3) ? , g ?( x) ? ? ? 1 ? 2 ? , x x2 x x x2

( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递增,当 x ? (1, ??) 时, g ' ( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减, 函

? g (1) ? ?4 ,所以 a ? g( x)max ? ?4 , 选(A)

二、填空题。
7.解析:设 P( x0 , e 8.解析:
x0

) ,因为 y ' ? e x

所以 e

x0

? 1 解得 x0 ? 0 所以 P(0,1) .

f ' ( x) ? ? x2 ? x ? a , 因为 f ( x ) 恰在 ? ?1, 2? 上单调递增,
2

所以 ?1,2 是方程 ? x ? x ? a ? 0 的两根,所以 ?1 ? 2 ? ?a , 所以 a ? 2 , 经检验, a ? 2 符合题意. 9.解析:令 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 3ln x ?

1 2 3 x ? 2 x ? 3ln 3 ? 2 2

h?( x) ?

3 ? x 2 ? 2 x ? 3 (? x ? 3)( x ? 1) ?x?2? ? , x x x
' '

当 x ? (0,3) 时, h ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递增,当 x ? (3, ??) 时, h ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递减, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? ,

9 3 h( x )max ? h(3) ? 3ln 3 ? ? 6 ? 3ln 3 ? ? 0 , 2 2
所以 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 只有一个零点 所以方程 f(x)-g(x)=0 只有 1 个实根. 10.解析:令 an ? f n ( )

π 4

则 an 是以 4 为周期的周期函数, 因为 a1 ? a2

? a3 ? a4 ? 0 ,

所以 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2015 ( ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ? ?

π 4

π 4

π 4

(a1 ? a2 ? a3 ) = a1 ? a2 ? a3 = sin
三、解答题。

?
4

? cos

?
4

? 2.

2 11.解: (Ⅰ) f ?( x) ? x ? ax ? 2 ,因为 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值, ' 2 所以 f (2) ? (2) ? a ? (2) ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ,

经检验, a ? 1 符合题意,因此 a ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x , f ?( x) ? x2 ? x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) , 3 2

' 当 x 变化时, f ( x) 、 f ( x ) 变化如下表

x

0

(0,2)

2
4

(2,4)

4

f ' ( x)
f ( x)
由上表知: 当 x ? 4 时, f ( x ) 取到最大值
'

?
0


0

?


?

10 3

16 3

16 10 ;当 x ? 2 时, f ( x ) 取到最小值 ? . 3 3
2

1 1 5ax 2 ? 3x ? 1 12.解: (Ⅰ) f ( x ) ? (2ax ? 1) x ? ( ax ? x ? 1) ? ? = , 2 x 2 x
因为 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,所以
2

5ax 2 ? 3x ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, 2 x
?3 x ? 1 , 5x2

因为 2 x ? 0 , 所以 5ax ? 3x ? 1 ? 0 , 即 a ? 令 g ( x) ? 则 g ?( x) ?

?3x ? 1 , x ? [1, ??) , 5x2

?3 ? (5 x 2 ) ? (?3x ? 1) ?10 x 3x ? 2 ? ?0, 25 x 4 5 x3
4 , 5

所以 g ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增 ,则 g ( x ) min ? g (1) ? ? 所以 a ? ?

4 . 5
2

(Ⅱ) f ( x ) 定义域为 [0, ?? ) , f ?( x) ? (2ax ? 1) x ? (ax ? x ? 1) ? ?
' 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 在 [0, ?? ) 上单调递增,
2 当 a ? 0 时,因为 9 ? 20a ? 0 ,所以方程 5ax ? 3x ? 1 ? 0 有两个根,

1 2

1 5ax 2 ? 3x ? 1 = , 2 x x

x1 ?

?3 ? 9 ? 20a ?3 ? 9 ? 4a ? 0 , x2 ? ?0, 10a 10a

' 当 x 变化时, f ( x) 、 f ( x ) 变化如下表

x
f ' ( x)
f ( x)
由上表知:

0

(0, x2 )

x2
0

( x2 , ??)

?


?


5

f ( x ) 在 (0,
综上所述: 当a ? 0时

?3 ? 9 ? 4a ?3 ? 9 ? 4a ) 上单调递增, 在 ( , ??) 上单调递减, 10a 10a
f ( x ) 在 [0, ?? ) 上单调递增

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, 13.解(Ⅰ)设直线 y ? ?

?3 ? 9 ? 4a ?3 ? 9 ? 4a ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减. 10a 10a

1 与 f ( x ) 相切于点 ( x0 ,ln x0 ? ax02 )( x0 ? 0) , 2

f ?( x )?

1 2 ax 2 ? 1 ? 2 ax ? , x x

? 2ax0 2 ? 1 ? 0, ? x0 ? 1, ? ? ? x0 依题意得 ? 解得 ? 1 a?? . ? ?ln x ? ax 2 ? ? 1 , ? 2 0 0 ? ? 2
所以 a ? ?

1 1 , 经检验: a ? ? 符合题意. 2 2 1 2 x 2
所以 f ( x ) ?
'

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? ln x ?

1 1 ? x2 ?x? x x

' 当 x ? (1, e ] 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [1, e ] 上单调递减,

所以当 x ?[1, e ] 时, f ( x ) min ? f ( e ) ?

1 e 1 ? , f ( x ) max ? f (1) ? ? , 2 2 2

g ?( x) ? ?

1 ?1 ? x 2 ? 1 ? , x2 x2
'

当 x ? (1,4] 时, g ( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [1,4] 上单调递增, 所以当 x ? (1,4] 时, g ( x)min ? g (1) ? 2 ? b , g ( x ) max ? g (4) ?

17 ?b, 4

1 e ? 2 ? b ? ? , ? 1 e 1 17 19 3 e ? 2 2 ? b] ,所 ? ?b?? ? . 依题意得 [ ? , ? ] ? [2 ? b, 解得 ? 2 2 2 4 4 2 2 ? 17 ? b ? ? 1 , ? ? 4 2
(Ⅲ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? ln x ? 令 h( x ) ?

1 2 ln x 1 x ,所以方程 f ( x ) ? cx ,可化为 c ? ? x. 2 x 2

ln x 1 ? x ( x ? 0) .则直线 y ? c 与 h( x ) 图象有两个交点 x 2
6

h?( x) ?

1 ? ln x 1 2 ? 2ln x ? x 2 ? ? , x2 2 2x2
2 ? 2 x ? 0 , t (1) ? 1 , t (e) ? ?e2 , x

设 t( x) ? 2 ? 2ln x ? x2 , 则 t ?( x) ? ?

则存在唯一 x0 ? (1,e) ,使得 t ( x0 ) ? 0 , 当 x ? (0, x0 ) 时, t ( x ) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, t ( x ) ? 0 , 因此,当 x 变化时, h' ( x ) 、 h( x ) 变化如下表

x
h' ( x )
h( x )

(0, x0 )

x0
0

( x0 , ??)

?


?


当 x ? 0 时, h( x ) ? ?? ,当 x ? ?? 时, h( x ) ? ?? , 所以 h( x ) 的值域为 (??, h( x0 )) , 因为直线 y ? c 与 h( x ) 图象有两个交点,所以 c ? h( x0 ) , 因为 t ( x0 ) ? 0 ,即 2 ? 2ln x0 ? x02 ? 0 , 所以 h( x0 ) ?

ln x0 1 2 ? x02 1 1 ? x0 ? ? x0 ? ? x0 , x0 2 2 x0 2 x0
1 1 ? x0 ? ? 1 ? 0 , x0 1

因为 x0 ? (1,e) ,所以 h( x0 ) ? 所以 c ? h( x0 ) ? 0 .

7


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