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江西省赣州十一县市2012-2013届高二上学期期中考试数学(理)试题


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2012—2013 学年第一学期赣州市十一县(市)期中联考 高二年级数学(理科)试卷
一.选择题(每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.已知命题 p: 存 在 m ? R , 3 ? 0 ,则命题 p 的否定是(
m


m

A.不存在 m ? R , 使 3 ? 0
m

B. 存 在 m ? R , 3 ? 0 D. 任 意 m ? R , 3 ? 0
m

C. 任 意 m ? R , 3 ? 0
m

2.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图是 2012 年某校元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的众数和中位数分别为( A. 8 4 , 8 5 C. 8 5 , 8 4 4.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 ) 3 7 B. 8 4 , 8 4 D. 8 5 , 8 5
7
9



8

4 4 6 4 7
3

9

则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? bx ? a 必过定点(

A. (2,2)

B. (1,2)

C. (1.5,4)

D. (1.5,0)

5.一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设 事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则( ) A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件

6.已知 a ? ( ? ? 1, 0 , 2 ? ), b ? ( 6 , 2 ? ? 1, 2 ), 若 a // b , 则 ? 与 ? 的值分别为 A. ,
5 1 1 2

(

)

B.5,2

C. ?

1 5

,?

1 2

D.-5,-2

7.下课以后,教室里最后还剩下 2 位男同学,2 位女同学.如果没有 2 位同学一块儿走,则 第 2 位走的是男同学的概率是( 1 A. 2 1 B. 3 ) 1 C. 4 1 D. 5

1

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8.如果执行右边的程序框图,输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( A.720 B.360 C.240
2



D.60
2

9.若直线 2 a x ? b y ? 2 ? 0 ( a ? 0 , b ? 0 )被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则
[来

1 a

?

1 b

的最小值为(

) C. 2 D.4

A.

1 4

B.

1 2

10.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PD⊥平面 ABCD,且 PD π =AD=1, =2, E 是 AB 上一点, AB 点 当二面角 P-EC-D 的平面角为 时, 4 AE=( ) 1 A.1 B. C.2- 2 D.2- 3 2 二.填空题(每小题 5 分,满分 25 分,把答案填在题中横线上) 11.从 2000 个编号中抽取 20 个号码入样,采用系统抽样的方法,则抽样的间隔为 12.先后抛掷两枚骰子,出现点数之和为 6 的概率是____________ 13.给出下列命题: 2 2 (1)命题“若 b -4ac<0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题 (2)命题“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题 (3)命题“若 a>b>0,则 3 a > 3 b >0”的逆否命题 (4) “若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题 其中真命题的序号为__________. 14.阅读以下程序:INPUT x IF x ? 0 THEN
y ? x ? 3x ? 5
2

ELSE
y ? (x ? 1 )
2

END IF PRINT y END 若输出 y ? 9 , 则输入的 x 值应该是
15. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60° ,则异面直 线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为________. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 75 分, 解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知命题 p :函数 f ( x ) ? lo g ( 2 ? m ) x 在 x ? ( 0 , ? ? ) 为减函数,命题 q :函数

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g ( x ) ? ? ( 4 ? 2 m ) 在 R 上为减函数,若命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,
x

求实数 m 的取值范围.

17.(12 分)为庆祝国庆,某中学团委组织了“歌颂祖国,爱我中华”知识竞赛,从参加考 试的 1000 名学生中抽出 60 名学生,将其成绩(成绩均为整数)分成六段 [ 4 0 , 5 0 ) ,
[5 0 , 6 0 )

,?,[9 0 ,1 0 0 ] 后画出如图的部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列

问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的平均分和参加这次考试 75 分以上的人数;

18.(12 分)已知函数 f ( x ) ? 4 s in x c o s x ? 2 3 c o s 2 x ? 1 ,且给定条件 p :“ (1)求 f ( x ) 在给定条件 p 下的最大值及最小值;

? 4

? x ?

? 2

” 。

(2)若又给条件 q :" | f ( x ) ? m |? 2 " ,且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范 围。

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19.(12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 4 b , a , b ? R (1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素, b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程
f ( x ) ? 0 有两个不相等实根的概率;

(2)若 a 从区间[0,2]中任取一个数, b 从区间[0,3]中任取一个数,求方程 f ( x ) ? 0 没有实 根的概率.

20 . 13 分 ) 如 图 , 三 棱 柱 A B C ? A 1 B 1 C 1 中 , A A 1 ? 平 面 A B C , B C ? A C , (
B C ? A C ? A A 1 ? 2 , D 为 A C 的中点.

B1

B

(1)求证: A B 1 ∥平面 B D C 1 ; (2)求二面角 B ? C 1 D ? C 的余弦值; (3)设 A B 1 的中点为 G ,问:在矩形 B C C 1 B 1 内是否存在点 H , A 1 使得 G H ? 平面 B D C 1 .若存在,求出点 H 的位置,若不存在,说明理由.
C1 G H C D A

21.(14 分)平面直角坐标系 xo y 中,直线 x ? y ? 1 ? 0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长 为 6 (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D , E ,当 D E 长最小时,求直线 l 的 方程; (3)问是否存在斜率为 2 的直线 m ,使 m 被圆 O 截得的弦为 A B ,以 A B 为直径的圆经过 原点.若存在,写出直线 m 的方程;若不存在,说明理由.

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17.解: (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: f 4 ? 1 ? ( 0 .0 2 5 ? 0 .0 1 5 ? 2 ? 0 .0 1 ? 0 .0 0 5 ) ? 1 0 ? 0 .3 .???3 分 直方图如图所示.

????6 分 (2)依题意,利用组中值估算抽样学生的平均分
4 5 ? f 1 ? 5 5 ? f 2 ? 6 5 ? f 3 ? 7 5 ? f 4 ? 8 5 ? f 5 ? 9 5 ? f 6 ? 4 5 ? 0 .1 ? 5 5 ? 0 .1 5 ? 6 5 ? 0 .1 5 ? 7 5 ? 0 .3 ? 8 5 ? 0 .2 5 ? 9 5 ? 0 .0 5 ? 7 1

则估计这次考试的平均分是 71 分??????????????9 分 75 分以上的数为: (
0 .0 3 2 ? 0 .0 2 5 ? 0 .0 0 5 ) ? 1 0 ? 1 0 0 0 ? 4 5 0

所以估计参加这次考试的学生中 75 分以上的人数为 450 人。?????12
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19.解:(1)∵ a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素, b 取集合{0,1,2}中任一个元素, ∴ a ,b 的取值的情况有(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值, 即基本事件总数为 12. 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a≥0,b≥0 时,方程 f ( x ) ? 0 有两个不相等实根的充要条件为 a>2b. 当 a>2b 时,a,b 取值的情况有(1,0),(2,0),(3,0),(3,1), 即 A 包含的基本事件数为 4, ∴方程 f ( x ) ? 0 有两个不相等实根的概率 p ( A ) ?
4 12 ? 1 3

??????6 分

(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果 构成区域 Ω ={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3}, 这是一个矩形区域,其面积 SΩ =2×3=6. 设“方程 f ( x ) ? 0 没有实根”为事件 B,则事件 B 所构成的区域为

M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<2b},
它所表示的部分为梯形,其面积 S ? ? 6 ?
1 2 ? 2?1 ? 5 S? S 5 6

由几何概型的概率计算公式可得方程 f ( x ) ? 0 没有实根的概率 p ( B ) ? 12 分

?

??

20 . 13 分 ) 如 图 , 三 棱 柱 A B C ? A 1 B 1 C 1 中 , A A 1 ? 平 面 A B C , B C ? A C , (
B C ? A C ? A A 1 ? 2 , D 为 A C 的中点.

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(3)以 C 1 为坐标原点, C 1 A1 为 x 轴, C 1 C 为 y 轴, C 1 B 1 为 z 轴建立空间直角坐标系.
依题意,得: C 1 ( 0 , 0 , 0 ) 、 D (1, 2 , 0 ) 、 B ( 0 , 2 , 2 ) 、 G (1,1,1) ,假设存在 H ( 0 , m , n )
???? ???? ? G H ? ( ? 1 , m ? 1 ,n ? ,)C 1 D ? (1, 2 , 0 ) 1 ????

?????

???? ?

?????

, D B ? ( ? 1, 0 , 2 )

由 G H ? 平面 B C 1 D ,得:
???? ???? ? G H ? C 1 D ? ( ? 1, m ? 1, n ? 1) ?(1, 2 , 0 ) ? 0
???? ???? 1 同理,由 G H ? D B 得: n ? 2

∴m ?

3 2

即:在矩形 B C C 1 B 1 内是存在点 H ,使得 G H ? 平面 BDC 距离为
3 2

1

.此时点 H 到 B 1 C 1 的

,到 C 1 C 的距离为

1 2

.??????????????13 分

21.(14 分)平面直角坐标系 xo y 中,直线 x ? y ? 1 ? 0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长 为 6 (1)求圆 O 的方程;

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(2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D , E ,当 D E 长最小时,求直线 l 的 方程; (3)问是否存在斜率为 2 的直线 m ,使 m 被圆 O 截得的弦为 A B ,以 A B 为直径的圆经过 原点.若存在,写出直线 m 的方程;若不存在,说明理由.

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