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高中数学 4-2-3 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第四章
圆的方程

第四章
4.2 直线、圆的位置关系

第四章
4.2.3 直线与圆的方程的应用

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 探索延拓创新

课前自主预习

温故知新 1.解决实际问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际 背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述 中的新名词、新概念,进而把握新信息.在此基础上,分析 出已知什么,求什么,都涉及哪些知识,确定变量之间的关 系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学问 题的转化.

(2)引进数学符号,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及相 关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题, 实现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲 线是圆,则需要建立适当的直角坐标系,设出圆的方程,为 求解方程或计算作准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予 以解答,求得结果. (4)翻译成具体问题.

2.圆(x-1)2+(y-2)2=1与圆(x-3)2+(y-1)2=4的公切 线共有( A.1条 ) B.2条 C.3条 D.4条

[答案] B

[解析]

两圆的圆心分别为(1,2),(3,1),连心线的长为 5 <3,所以两圆相交.故公切线有两

?3-1?2+?1-2?2 = 条.

新课引入

设有半径为3

km的圆形村落,两人同时从村落中心C出

发,A向东,而B向北直进,A出村后不久,改变前进方向,沿 着斜切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇,设A,B两 人的速度都一定,其比为3:1,问A,B两人在何处相遇?带上 这个问题进入本节的学习.

自主预习 阅读教材P130~132,回答下列问题. 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤:
坐标和方程 第一步:建立适当的_______________,用___________ 平面直角坐标系 代数 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为_____问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;
翻译 第三步:把代数运算结果“______”成几何结论.

这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简 称为“一建二算三译”.

用坐标法证明正方形的对角线互相垂直.

[证明]

如图所示,以边长为a的正方形ABCD的边AB为x

轴,A为原点,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a), a-0 a-0 则kAC= =1,kBD= =-1, a-0 0-a ∴kACkBD=-1.∴AC⊥BD. 即正方形的对角线互相垂直.

思路方法技巧

圆的方程的实际应用
学法指导 步骤: 解直线与圆的实际应用问题时,一般按如下

[例1]

有一种大型商品,A、B两地均有出售且价格相

同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里的运费A 地是B地的两倍,若A、B两地相距10 km,顾客选择A地或B

地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点 的居民应如何选择购买此商品的地点?

[解析]

以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,

建立直角坐标系,如上图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐 标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元 /km,则从B地运货到P地的运费为a元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品, 则2a ?x+5?2+y2<a ?x-5?2+y2, 25 2 2 20 2 整理得(x+ 3 ) +y <( 3 ) .

25 2 2 20 2 即点P在圆C:(x+ ) +y =( ) 的内部. 3 3 也就是说,圆C内的居民应在A地购物. 同理可推得圆C外的居民应在B地购物. 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物.

一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预 报,台风中心位于轮船正西70 km处,受到影响的范围是半径 为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如 果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

[解析]

以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立

直角坐标系(如上图所示),其中取10 km为单位长度,则受台 风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对 应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为 x y (7,0),则轮船航线所在直线l的方程为 7 + 4 =1,即4x+7y-28 =0.

|28| 28 圆心(0,0)到直线4x+7y-28=0的距离d= 2 2= , 65 4 +7 而半径r=3, ∵d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影响.

用坐标法证明几何问题
学法指导 坐标法解决几何问题,要先建立适当的坐标

系,用坐标、方程表示出相应的几何元素,如点、直线、圆 等,将几何问题转化为代数问题来解决,通过代数的运算得 到结果,分析结果的几何意义,得到几何结论.其中建立适 当的坐标系是解题的关键,一般建系时要坚持如下原则:

①若有两条互相垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y 轴; ②充分利用图形的对称性; ③让尽可能多的点落到坐标轴上,或关于坐标轴对称; ④关键点的坐标易于求得.

[例2]

如下图所示,在半径为1的圆O上任取C点为圆

心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E, F.求证:EF平分CD. [分析] 建立平面直角坐标系,由圆O和圆C的方程得公

共弦EF的方程,转化为证明CD的中点在直线EF上即可.

[证明]

以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立

平面直角坐标系,如下图所示,则圆O的方程为x2+y2=1. ①

设圆C的圆心为C(x1,y1), 则可得圆C的方程为(x-x1)2+(y-y1)2=y2, 1 即x2+y2-2x1x-2y1y+x2=0. ② 1 ①-②,得2x1x+2y1y-1-x2=0. ③ 1 ③式就是直线EF的方程,设CD的中点为H,其坐标为 y1 (x1, ),将H代入③式,得 2

y1 2 2 2 2x 1 +2y1· -1-x 1 =2x 2 +y 2 -1-x 1 =x 2 +y 2 -1=0,即 1 1 1 1 2 CD的中点H在EF上, ∴EF平分CD.

规律总结:本题证明的思路是:证CD的中点在EF上, 即说明EF平分CD.坐标法可以把一个几何问题转化为代数问题 处理,把图形的推理转化为代数式的运算.

已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方 和. 求证:它们的对角线互相垂直.

[证明]

如图,以CA所在直线为x轴,过点B垂直于AC的

直线为y轴建立直角坐标系,设顶点坐标分别为A(a,0),B(0, b),C(c,0),D(x,y). ∵|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2. ∴a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2, 化简得(a-c)x=0. ∵a=c≠0,∴x=0, ∴D点在y轴上,∴AC⊥BD.

探索延拓创新

对称问题

学法指导

1.在对称问题中,点关于直线的对称是最基

本的也是最重要的对称,解决此类问题要抓住两点:一是以 已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上;二是已知 点与对称点的连线与对称轴垂直.

几种特殊对称: ①关于原点对称:P(x,y)→P′(-x,-y); ②关于x轴对称:P(x,y)→P′(x,-y); ③关于y轴对称:P(x,y)→P′(-x,y); ④关于直线y=x对称:P(x,y)→P′(y,x); ⑤关于直线y=-x对称:P(x,y)→P′(-y,-x).

2.与对称有关的最值问题. 在直线l上找一点P到两定点A,B的距离之和最小,则点P 必在线段AB上,所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的 点. 在直线l上找一点P到两定点A,B的距离之差最大,则点P 必定在线段AB(或BA)的延长线上,所以要将l异侧的点利用对 称转化为同侧的点. 可以简单记为“异侧和最小,同侧差最大”.

[例3]

自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,

其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光 线l所在的直线方程l. [分析] 求出已知圆x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴的对称

圆的方程,则对称圆与点A(-3,3)发出的光线l相切.

[解析]

由已知可得圆C:(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴对

称的C′的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C′(2,- 2).由题知l与圆C′相切, 设l:y-3=k(x+3), |5k+5| ∴ 2=1, 1+k 整理得12k2+25k+12=0, 3 4 解得k=-4或k=-3,

所以所求直线方程为 3 4 y-3=- (x+3)或y-3=- (x+3), 4 3 即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

一光线从点P(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y -3)2=1上,求最短路程. [分析] 根据光学特性可先将圆关于x轴对称,然后转化

为求点P到新圆的圆心距离问题.

[解析]

依题意,当这束光线从P(-1,1)出发,经x轴反射

后恰好经过圆心C时,它反射到圆上的路程最短,圆心C(2,3) 关于x轴的对称点C′(2,-3),可求得PC′=5,所以最短路 程为5-1=4.

规律总结:(1)点P关于x轴的对称点P′然后求P′C, 和求圆心C关于x轴对称点C′然后求PC′结果一样. (2)若P是半径为r的圆C外一点,则圆上的点到P点的距离 的最小值为|PC|-r,最大值为|PC|+r. (3)若P是半径为r的圆C内一点,则过点P的弦中,最长弦 为直径,最短弦为与CP垂直的弦.

基础巩固训练

1.一涵洞的横截面是半径为5 程是( )

m的半圆,则该半圆的方

A.x2+y2=25 B.x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立直角坐标系的变化而变化
[答案] D

[解析] 在不同坐标系下,方程也不同.

2.设直线l过点(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜 率是( ) 1 B.± 2 D.± 3

A.± 1 3 C.± 3
[答案] C

[解析]

设l斜率为k,方程为y=k(x+2),

|2k| d= 2=r=1. 1+k 3 解得k=± 3 ,故选C.

3.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半 径最小的圆的方程是( )

A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=4
[答案] C

[解析]

由已知结合图形得圆心在直线x+y=0上,且在

1 |-1-1-4| 第四象限,r= ( - 2)= 2,故选C. 2 2

4.若集合A={(x,y)|y=1+

4-x2 },B={(x,y)|y=k(x

-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时,实数k的取值范围是 ________.

[答案]

5 3 <k≤ 12 4

[解析]

由A∩B含有四个子集知,A∩B含有两个元素,

5 3 结合图象得: <k≤ . 12 4

5.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中 弦长为整数的共有________条.

[答案]

30

[解析]

圆方程为(x+1)2+(y-2)2=132.

由已知得弦长∈[10,26], 其中弦长为整数的共有30条.

6.圆C:x2+y2+x-6y+3=0上有两个点P和Q关于直线 kx-y+4=0对称,则k=________.
[答案] 2

1 [解析] 由题意得直线kx-y+4=0经过圆心C(- 2 ,3),所以 k -2-3+4=0.解得k=2.

7.如下图所示,已知隧道的截面是半径为4

m的半圆,

车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的 货车能不能驶入这个隧道?

[解析]

如下图所示,以截面半圆的圆心O为坐标原点,

半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系,那么半圆 的方程为x2+y2=16(y≥0).将x=2.7代入,得y= 16-2.72 = 8.71<3, 即在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度.因 此,货车不能驶入这个隧道.

8.如图所示,AB为圆的定直径,CD为另一直径,过D作 AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|,求证直线CP必过 一定点. [分析] 建立坐标系,设C的坐标,求出直线CP的方程,

再根据方程求得直线CP恒过定点的坐标.

[证明]

以线段AB所在直线为x轴,以AB的中点为原点,

建立平面直角坐标系,如下图所示,设圆的方程为x2+y2= r2(r为常数,r>0),直径AB位于x轴上,动直径为CD.

令C(x0,y0), 则D(-x0,-y0), ∴P(-x0,-y0-2r). ∴直线CP的方程为 -y0-2r-y0 y-y0= (x-x0), -x0-x0 y0+r 即y= x x-r.
0

由方程,知直线CP必过定点(0,-r).


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