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解三角形讲义


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解三角形
知识点
1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . sin A sin B sin C

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2.余弦定理: ?b 2 ?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . cos B ? ? 2 ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、 已知两边和他们的夹角, 求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.解题中利用 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的 运算,如: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot . 2 2 2 2 2 2

6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)求解:正确运用正、余弦定理求解; (4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。

练习
1.在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一 定是( ) B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

A.等腰直角三角形

2. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 5, c ? 6 , 则 bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为 A.38 B.37 C.36 3.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题: D.35

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

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其中假命题的是 (A) p1 , p4 (B) p2 , p4 (3) p1 , p3 (4) p2 , p3 )

4.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= (A)1 (B)2 (C) 3 —1

? ,a= 3 ,b=1,则 c=( 3 (D) 3


5 在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C

(A)直角三角形. (B)等边三角形. (C)钝角三角形. (D)等腰直角三角形. o s B? 6. ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 a、 b、 c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则c ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

7.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 8.△ ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列, ∠B=30° ,△ ABC 的面积为 A. 1 ? 3
2

3 ,那么 b=( 2
C. 2 ?
2 3

) D. 2 ? 3 )

B. 1 ? 3

9. 若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形.

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

10. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c= 2 a,则 A.a>b C. a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

11. 在△ ABC 中,A=60° ,a=4 3 3,b=4 2 ,则 B 等于(

)

A.45° 或 135° B.135° C.45° 12. △ ABC 中,a=2bcosC,则此三角形一定是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形
13.在△ ABC 中, cos
2

D. 以上答案都不对 )

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

A b?c ? (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ ABC 的形状 2 2c

为(

) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.正三角形 C.等腰三角形或直角三角形

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14 E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ? ( )

16 A. 27

2 B. 3

C.

3 3

3 D. 4

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,
2 2

则 A= (A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

16.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3
( C.30° 或 150° D.120° ( ) )

17.ΔABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30° ,则∠B 等于 A.60° B.60° 或 120°

18、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° 19、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45°





20、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ΔABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形





21、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根, 那么角 B A.B>60° B.B≥60° C.B<60° D.B ≤60° ( ) ( )

22、满足 A=45° ,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为

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A.4 B.2 C .1 D.不定

23 、 如 图 : D,C,B 三 点 在 地 面 同 一 直 线 上 ,DC=a, 从 C,D 两 点 测 得 A 点 仰 角 分 别 是 β, α(α<β),则 A 点离地面的高度 AB 等于 A. ( A )

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? ? sin ? cos(? ? ? )
D

a sin ? cos ? C. sin(? ? ? )

a cos? sin ? D. cos(? ? ? )

?

?
C

B

24. 已知 ?ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 若 sin A ? 则 a 等于 .

1 ,b ? 3 sin B , 3

25.已知 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc 则∠A=_________________________. 26. 在 ? ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 a ? 2 ,b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 , 则角 A 的大小为 .

27.在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ?

2? ,则 a= 3

。 A+C=2B, 则

28. 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , sinC= .

29. 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

b a ? ? 6 cos C , 则 a b

t a nC tan C ? =_________。 t a nA t a n B
30.A 为 ΔABC 的一个内角,且 sinA+cosA= 31.在 ΔABC 中,若 SΔABC=

7 , 则 ΔABC 是______三角形. 12

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4 31 32.在 ΔABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)= ,则 cosC=_______. 32 cos A b 4 ? ? ,求边 a、b 的长。 cos B a 3

33.在△ABC 中,已知边 c ? 10 ,

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34. 已 知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的 三 内 角 , 且 其 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若

cos Bco s C ?s i n Bs i n C?
(Ⅰ)求 A ;

1 . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

35.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积. 36. 已 知 : △ ABC 中 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c 且

sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin 2C .
(1)求角 C 的大小; (2)若 a, c, b 成等差数列,且 CA ? CB ? 18 ,求 c 边的长.

uur uur

37.已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 m ? ? 4, ?1?

u r

u r r 7 r ? A ? n ? ? cos 2 , cos 2 A ? ,且 m ? n ? . 2 2 ? ?
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 ,试求当 b ? c 取得最大值时 ?ABC 的形状. 38.在 ?ABC中, cos A ? ?
5 4 , sin B ? . 13 5

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 15 ,求 ?ABC的面积. 39..已知 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 1 ? 3 , x ? [0, ⑴ 求 f ( x) 的最大值及此时 x 的值; ⑵ 求 f ( x) 在定义域上的单调递增区间。
40.已知角 ? ? (0, ? ) ,向量 m ? (2,cos ? ) ,

?
2

]

u r

u r r r n ? (cos2 ? ,1) ,且 m ? n ? 1 , f ( x) ? 3 sin x ? cos x 。 (Ⅰ)求角 ? 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ? ? ) 的单调递减区间。

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41.在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 42.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

43. 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

44. ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 AB ? AC . (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13

uu u r uuu r

、 c , 如 果 a2 ? b? b? c 45. △ ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a、 b ? ,求
证: A ? 2 B.

46.在 ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60° ,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB;

sin A ? sin B ④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B). cos A ? cos B ? 47、在 △ ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.
③sinC= 48、在 ? ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c ,若 sin A ?

1 3 , sin B ? ,求 a : b : c 2 2

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49、在 ? ABC 中 a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,若 2sin A(cos B ? cos C) ? 3(sin B ? sin C) , (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 61, b ? c ? 9 ,求 b 和 c 的值。

50、图, AO ? 2 , B 是半个单位圆上的动点,? ABC 是 等 边 三 角 形 , 求 当 ?AOB 等 于 多 少 时 , 四 边 形 OACB 的面积最大,并求四边形面积的最大值.

C

B

E

O

F

A

51 . 已 知 A, B, C 是 三 角 形 ?ABC 三 内 角 , 向 量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A? , 且

??

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan C . cos 2 B ? sin 2 B x x ? x ? x ? 52.已知向量 a ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4
(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π]上的单调区间. 53.设向量 a ? ? sin x, cos x ? , b ? ? cos x, cos x ? ,x∈R,函数 f(x)= a ? (a ? b) . (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f(x)≥

?? ? m ? n ? 1.

?

?

?

r

r

r r r

3 成立的 x 的取值范围. 2

54 已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合。 (2)该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

55 已知 f ? x ? ? a sin2 x ? b cos2 x ? 2a sin x ,其中 a, b ? R 且 a ? 0 ,若 f ? x ? 在 x ? 有最大值为 7,求 a , b 的值。

?时
6

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解三角形应用举例
知 识 1.已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b. 2.已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先 求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角. 3.已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. 4.已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C. 5.方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目 标的方向线所成的角(一般指锐角) ,通常表达成.正北或正南,北偏东××度, 北偏西××度,南偏东××度,南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中 OD、OE 是视线, ?DOC??? 是仰角, ?EOC 是俯角.

7.关于三角形面积问题 1 1 1 ① S?ABC = aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 ② S?ABC = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 ③ S?ABC =2R2sinAsinBsinC.(R 为外接圆半径) ④ S?ABC =
abc ; 4R

1 ? ? ⑤ S?ABC = s(s ? a)(s ? b)(s ? c) , ? s ? (a ? b ? c) ? ; 2 ? ?

⑥ S?ABC = r · s ,( r 为△ABC 内切圆的半径)

问题 1. 如图,为了计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要 在岸上选取 A 和 D 两个测量点,现测得 AD ? CD , AD ? 10 km , AB ? 14 km , ?BDA ? 60? , ?BCD ? 135? ,求两景点 B 与 C 的距离(假设 A, B, C , D 在同一平 面内,测量结果保留整数;参考数据: 2 ? 1.414,

3 ? 1.732,

5 ? 2.236 )

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问题 2. 用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西 方向的上空,分别测得气球的仰角是 α 和 β,已知 B、D 间的距离为 a,测角仪的 高度是 b,求气球的高度.

热 点 考 点
考点 1:测量问题 题型:运用正、余弦定理解决测量问题 [例 1] (2007· 山东) 如图 4-4-12,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行 到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行 多少海里? 2.甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处,乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向南偏 西 60o 方向行驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近?
A

3.在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游 击手的直线成 15°的方向把球击出,根据经验及测速仪的显示,通常情况下球 速为游击手最大跑速的 4 倍,问按这样的布置,游击手能不能接着球?(如图所 示)
B

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考点 2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题 题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质 [例 2] (08 上海高考)如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出 入口设置在点 A 及点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转 角为 120? .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分 钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) .

3 如图, 货轮在海上以 35 公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标 方向线的水平角)为 152o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的 方位角为 122o.半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32o.求 此时货轮与灯塔之间的距离.
北 B
152o 122o


32 o

A

C

2.为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架

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三角形支架形状如图,要求
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?ACB ? 600 ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米

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为了广告牌稳固,

要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少 A 米?

C

B

训练 1. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向 移动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为
西

北 D C
450 30 km

A

40 km

B





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( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时

2.在 ?ABC 中, A : B ? 1: 2 , C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3 : 2 两部分,则 cos A ? ( ) 1 1 3 A B C D 0 3 2 4 3.如图,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的 斜度为 15?, 向山顶前进 100m 后, 又从点 B 测得斜度为 45?, 假设建筑物高 50m, 设山对于地平面的斜度?,则 cos?= .

4.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照 度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 θ 的正弦成正比, 角和这一点到光源 的距离 r 的平方成反比,即 I=k·
sin? ,其中 k 是一个和灯光 r2
r ? R

强度有关的常数,那么电灯悬挂的高度 h= 才能使桌子边缘处最亮.



h

5.(08年韶关市二模) 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中,需 要在 A 、 B 两地之间架设高压电线,因地理条件限制,不能直接测量A、B两地距 离. 现测量人员在相距 3 km 的 C 、 D 两地(假设 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面 上) ,测得∠ ACB ? 75? , ?BCD ? 45? , ?ADC ? 30? , ?ADB ? 45? (如图) ,假 如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是 A 、 4 B 距离的 倍,问施工单位至少应该准备多长的电线? 3
A B

75 ?

45 ?

45 ? 30 ?

C

D

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6. 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测 得一轮船在岛北 30° 东, 俯角为 30° 的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60° 西、俯角为 60° 的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; P 北 (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远? B C
西 D



A

7. 在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠 三角形时, 顶点 A 正好落在边 BC 上, 在这种情况下, 若要使 AD 最小, 求 AD∶AB 的值
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8. 在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船,由于缆绳突然断开, 小船被风刮跑, 其方向与湖岸成 15°角, 速度为 2.5km/h, 同时岸边有一人, 从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速 度为 2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能被人追上的最 大速度是多少?


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