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2018版高二轨迹方程求解方法解题模板(原卷版)


方法一
使用情景:可以直接列出等量关系式 解题步骤:第一步 式等。 ) 第二步

直接法

根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公

根据公式直接列出动点满足的等 量关系式,从而得到轨迹方程。

例 1 已知定点 A, B ,且 AB ? 2c ?c>0 ? ,如果动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值 a?a>0? , 求点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的轨迹。

【变式演练 1】已知圆 C1 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,定直线 l 的方程为 y ? ?1 .动圆 C 与圆 C1 外切,且与
2 2

直线 l 相切. 求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程;

例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,E , F 两点的坐标分别为

(0,1) 、(0, -1) , 动点 G 满足:直线 EG 与直线 FG

1 的斜率之积为 4 .求动点 G 的轨迹方程. ?

【变式演练 2】 已知点 M 到点 F (2, 0) 的距离比到点 M 到直线 x ? 6 ? 0 的距离小 4; 求点 M 的轨迹 C 的方程;

方法二
使用情景:轨迹符合某 一基本轨迹的定义 解题步骤:第一步

定义法

根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹(如圆、椭圆、双 曲线、抛物线等)

第二步

直接根据定义写出动点的 轨迹方程。

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例 3 已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点, 如果延长 F1 P到Q , 使得 PQ ? PF2 那么动点 Q 的轨迹是( A、圆 ) B、椭圆 C、双曲线的一支 D、抛物线

【变式演练 1】 已知点 F ?

1 ?1 ? 直线 l : x ? ? , 点 B 是直线 l 上动点, 若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF ,0 ? , 4 ?4 ?
) D、圆

的垂直平分线交于点 M ,则点 M 的轨迹是( A、双曲线 B、抛物线

C、椭圆

例 2 已知 定点 F(3,0)和动点 P(x,y) ,H 为 PF 的中点,O 为坐标原点,且满足 OH ? HF ? 2 .求点 P 的轨迹方程;

【变式演练 2】在平面直角坐 标系中,已知点 A(1, 0) ,点 B 在直线 l : x ? ?1 上运动,过点 B 与 l 垂直的直线 和线段 AB 的垂直平分线相交于 点 M.求动点 M 的轨迹 E 的方程;

方法三

相关点法(代入法)

使用情景:动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动 解题步骤:第一步 第二步 第三步 例4 判断动点 P ? x, y ? 随着已知曲线上的一个动点 Q x , y 的运动而运动
' '

?

?

求出关系式 x ? f ? x , y ? , y ? g ? x , y ?
' '

将 Q 点的坐标表达式代入已知曲线方程
2 2

定点 A?3, 0 ? 为圆 x ? y ? 1 外一定点,P 为圆上任一点,?POA 的平分线交 PA 于点 Q 的轨迹方程。

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【变式演练 1】已知在平面直角坐 标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F - 3 ,0 ,且右顶 点为 D ?2, 0 ? .设 点 A 的坐标是 ?1, ? 。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程。

?

?

? 1? ? 2?

例5

如图,梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上,原点 O 为 AB 的中点,| AB |?

4 2 4 2 ,| CD |? 2 ? , AC ? BD, M 3 3

为 CD 的中点. (Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 ?0 ,使 MP ? ?0 PN ,且 P 点到 A、B 的距离和为定值,求点 P 的轨迹 E 的方程;

????

????

【变式演练 2】如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2, 0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C .求轨迹 C 的方程;

方法四

参数法

使用情景:动点的运动受另一个变量的制约时 解题步骤:第一步 第二步 引入参数, 用此参数分别表示动点的横纵坐标 x, y ; 消去参数,得到关于 x, y 的方程,即为所求轨迹方程。
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例 6、已知线段 AB 的长为 a , P 点分 AB 为 AP : PB ? 2: 1 两部分,当 A 在 y 轴正半轴运动时, B 在 x 轴 正半轴上运动,求动点 P 的轨迹方法。

【变式演练 1】椭圆的准线垂直于 x 轴,离心率为 程。

1 ,并 且经过点 A ?1,1? , B ? 2, 2 ? 。求椭圆中心的轨迹方 2

方法五

交规法

使用情景:涉及到两曲线的交点轨迹问题 解题步骤:第一步 第二步 解两曲线方程组得到 x ? f ? t ? , y ? g ?t ? 消去动曲线中的参数。

x2 例 7、已知双曲线 ? y 2 ? 1 的左右顶点分别为 A1,A2 ,点 P ? x1 , y1 ?, Q ? x2 , y2 ? 是双曲线上不同的两个动 2
点,求直线 A1 P与A2Q 交点的轨迹 E 的方程。

【变式演练 1 】设抛物线 y ? 2 px ? p>0 ? 的准线为 l ,焦点为 F ,顶点为 O, P 为抛物线上任意一点,
2

PQ ? l于Q ,求 QF与OP 的交点 M 的轨迹方程。

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求轨迹方程练习题
1.已知正方形的四个顶点分别为 O ? 0, 0 ? , A ?1, 0 ? , B ?1,1? , C ? 0,1? ,点 D , E 分别在线段 OC ,

AB 上运动,且 OD ? BE ,设 AD 与 OE 交于点 G ,则点 G 的轨迹方程是(
A. y ? x ?1 ? x ?? 0 ? x ? 1? B. x ? y ?1 ? y ?? 0 ? y ? 1?

).

C. y ? x 2 ? 0 ? x ? 1?

D.

y ? 1 ? x 2 ? 0 ? x ? 1?

2.已知点 A ? ?3, 0 ? , B ? 3, 0 ? ,动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹为(



A. 直线

B. 圆

C. 椭圆

D. 双曲线

3.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是(

)

A. (x-1)2+y2=4

B. (x-1)2+y2=2

C. y2=2x

D. y2=-2x

4.动圆 M 与圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 外切,与圆 C2 : ? x ? 1? ? y ? 25 内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是
2 2 2 2

(

)

x2 y 2 A. ? ?1 8 9

x2 y 2 B. ? ?1 9 8

x2 C. ? y2 ? 1 9

y2 D. x ? ?1 9
2

5. 已知点 P 是圆 F1: (x﹣1) +y =8 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称,线段 PF2 的垂直平分线分别与

2

2

PF1,PF2 交于 M,N 两点.求点 M 的轨迹 C 的方程;

6. 设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5, 0 ? , ? 5, 0 ? , 直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积 ? 求点 M 的轨迹方程;

b2 ?0 ? b ? 5? . 25

7.已知点 A 的坐标为 ? ?2, 0 ? ,圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ,动点 P 在圆 C 上运动,点 M 为 AP 延长线上
2 2

一点,且 AP ? PM .求点 M 的轨迹方程.

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8.已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0, o 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆的切线,设切点为 M.
2 2

若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l的方程 ;求满足条件 |PM| ? |PO| 的点 P 的轨迹方程.

9.两点



,曲线上的动点满足

, 求曲线的方程.

10.已知动点 M ? x, y ? 满足:

? x ? 1?

2

? y2 ?

? x ? 1?

2

? y 2 ? 2 2 .求动点 M 的轨迹 E 的方程;

11.已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 ,D 是 AB 的中点.求动点 D 的轨迹 C 的方程; 12. 已知 F1、F2 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点, 动点 M 在 C 上, 连结 F2 M 并延长 F2 M 至 N 点, 2

使得 MN |? MF1 | ,设点 N 的轨迹为 D .求 D 的方程;

13.已知点 C 在圆 ? x ? 1? ? y ? 16 上, A, B 的坐标分别为 ? ?1, 0 ? ,
2 2

?1, 0? ,线段 BC 的垂直平分线交

线段 AC 于点 M ,求点 M 的轨迹 E 的方程;

14.如图,设 迹曲线的方程:

与定点

的距离和它到直线

的距离的比是常数

,求点

的轨

15.已知动点

到定点

的距离与 到直线

的距离之比为.求点 的轨迹的方程;

16. 已知 A ? ?1, 0 ? , B ? 2, 0 ? ,动点 M ? x, y ? 满足 程;

MA MB

?

1 .设动点 M 的轨迹为 C .求动点 M 的轨迹方 2

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17. 已知点 是平面直角坐标系中的动点, 迹的方程及求 的周长的取值范围;



,在

中,

.求点 的轨

18.在平面直角坐标系 xoy 中, 设点 F (1, 0),直线 l : x ? ?1 , 点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足: RQ ? FP , PQ ? l .求动点 Q 的轨迹的方程;

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