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2009-2010江苏省扬州中学高二数学竞赛练习(4)


2009-2010 江苏省扬州中学高二数学竞赛练习(4)
一、填空题(每小题 6 分,共 60 分) http:// 1.已知全集 I ? { x | x ? R},集合 A ? { x | x ≤1 或 x ≥3},集合 B ? { x | k ? x ? k ? 1 , k ? R}, 且 (CI A) ? B

? ? ,则实数 k 的取值范围是______________

答案: k ≤0 或 k ≥3 2. 求值: tan15 ? cot15 =_______
0 0

答案: 2 ? 3 3. 在△ABC 中,给出下列四个式子①sin(A+B)+sinC ③sin(2A+2B)+sin2C ②cos(A+B)+cosC

④cos(2A+2B)+cos2C,其中为常数的是________②③

4.已知不等式 3|x+1|+2|x-1|+2|x-2|+2a-2<0 的解集非空, 则实数 a 的取值范围为_____________ 答案:a<-3 5. 在 半 径 为 1 的 圆 周 上 按 顺 序 均 匀 分 布 着 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 六 个 点 . 则 ????? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ? ????? ????? ????? A1 A2 ? A2 A3 ? A2 A3 ? A3 A4 ? A3 A4 ? A4 A5 ? A4 A5 ? A5 A6 ? A5 A6 ? A6 A1 ? A6 A1 ? A1 A2 = ▲ . 答案:3
?????? ? 说明:此题中同学容易把两向量的夹角弄错.如改成 12 个点,边长 | Ai Ai ?1 | 的求法就不一

样了,难度会加大. 6.设函数 f(x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在 2? ? 4 [a,b]上的面积,已知函数 y=sin3x 在[0, ]上的面积为 ;函数 y=sinnx 在[0, ]上的 3 3 n

2 ? 4? (n∈N*) ,则 y=sin(3x-π)+1 在[ , ]上的面积为 . n 3 3 2? 2 4 ? 4? 提示:由题意得:y=sin3x 在 [0, ] 上的面积为 ? 2 ? , y ? sin(3x ? ? ) ? 1 在 [ , ] 3 3 3 3 3
面积为 上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为

2 ?? 。 3

7.已知等比数列 a1 , a2 , a3 的和为定值 m ( m >0),且其公比 q <0,令 t ? a1a2 a3 ,则 t 的取 值范围是__________

[- m ,0) 。提示: m ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ( ? 1 ? q) ? a2 ?
3

。∵ q <0 1 1? q ? q 1 m ∴ q ? ≤-2(等号当且仅当 q =-1 时成立)。又 m >0,所以 ?m ? ? 0 ,即- 1 q 1? q ? q 3 3 m ≤ a2 <0,故 t ? a1a2 a3 ? a2 ? [?m , 0] 8.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,交准线于点 C.若

1 q

m

CB ? 2 BF ,则直线 AB 的斜率为
答案:± 3





二、解答题(本大题共 2 小题,每小题 20 分,共 40 分) htt 9.如图,直线 l1:y=kx(k>0)与直线 l2:y=-kx 之间的 阴影区域(不含边界)记为 W,其左半部分记为 W1,右半 部分记为 W2. (1)分别用不等式组表示 W1 和 W2; (2)若区域 W 中的动点 P(x,y)到 l1,l2 的距离之积等于 d2,求点 P 的轨迹 C 的方程; (3)设不过原点 O 的直线 l 与(II)中的曲线 C 相交于 M1,M2 两点,且与 l1,l2 分别交于 M3,M4 两点.求证△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重 合. 解: (1)W1={(x, y)| kx<y<-kx, x<0},W2={(x, y)| -kx<y<kx, x>0}, (2)直线 l1:kx-y=0,直线 l2:kx+y=0,由题意得

| k 2 x2 ? y 2 | | kx ? y | | kx ? y | 2 ? d2 , ? ?d , 即 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1
由 P(x, y)∈W,知 k2x2-y2>0, 所以

k 2 x2 ? y 2 ? d 2 ,即 k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 , 2 k ?1
2 2 2 2 2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 k x ? y ? (k ? 1)d ? 0 ;

(3)当直线 l 与 x 轴垂直时,可设直线 l 的方程为 x=a(a≠0) .由于直线 l,曲线 C 关于 x 轴对称, 且 l1 与 l2 关于 x 轴对称, 于是 M1M2, M3M4 的中点坐标都为 (a, 0) , 所以△OM1M2, △OM3M4 的重心坐标都为(

2 a,0) ,即它们的重心重合, 3

当直线 l1 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=mx+n(n≠0) .

? k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 2 2 2 2 2 2 2 由? ,得 (k ? m ) x ? 2mnx ? n ? k d ? d ? 0 y ? mx ? n ?
由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,可知 k2-m2≠0 且 △= (2mn) ? 4(k ? m ) ? (n ? k d ? d ) >0
2 2 2 2 2 2 2

设 M1,M2 的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2), 则 x1 ? x2 ?

2mn , y1 ? y2 ? m( x1 ? x2 ) ? 2n , k ? m2
2

设 M3,M4 的坐标分别为(x3, y3),(x4, y4), 由?

? y ? kx

? y ? ? kx n ?n 及? 得 x3 ? , x4 ? k ?m k ?m ? y ? mx ? n ? y ? mx ? n
2mn ? x1 ? x2 , k ? m2
2

从而 x3 ? x4 ?

所以 y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2, 于是△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心也重合. 10. (1)原理:如图(1)三角形有面积关系:

B A' P B'
图(1)

S ?PA?B ? PA? ? PB ? 则如图(2)三棱锥有体积关系: ? , S ?PAB PA ? PB

A
B C C' A
图(2)

VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC

.

A'

(2)如图,设 S ? ABCD 是一个高为 3,底面边长为 2 的 P 正四棱锥,K 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB, SD 分别交于 M,N(M,N 可以是线段的端点)。试根据(1) 中原理探求四棱锥 S ? AMKN 的体积 V 的最大值与最小值。 解:(1)一般地: 设 A1 , B1 , C1 分别在三棱锥 S ? ABC 的侧棱 SA, SB,SC 上, A

B' S

N D M B

K

C

又 S ? A1B1C1 与 S ? ABC 的体积分别是 V1 和 V,则

V1 SA1 ? SB1 ? SC1 . ? V SA ? SB ? SC
事实上,设 C, C1 在平面 SAB 的射影分别是 H, H1 .则

S H1 C1 B1 H C B

C1 H1 SC1 , ? CH SC

A1 A



S ?SA1B1 S ?SAB

1 ?C H ? S SA1 ? SB1 V1 3 1 1 ?SA1B1 SA1 ? SB1 ? SC1 ? ,所以 ? . ? 1 SA ? SB V SA ? SB ? SC ? CH ? S?SAB 3

V 所以 P ? A?B ?C ? ? VP ? ABC
(2)设

PA' ? PB ' ? PC ' . PA ? PB ? PC

SM SN 1 ? x, ? y ,因 S ? ABCD 的体积为 V0 ? ? 3 ? 22 ? 4 .于是由上面的事实有 SB SD 3 VS ? AMN VS ? KMN VS ? AMK V S ? ANK V . ? ? ? ? 1 V V V V S ? ABD S ? CBD S ? ABC S ? ADC V0 2 V SM ? SN ? SA SM ? SN ? SK SM ? SK ? SA SN ? SK ? SA 得 ? = ? ? 2 SB ? SD ? SA SB ? SD ? SC SB ? SC ? SA SD ? SC ? SA 1 1 1 x = xy ? xy ? x ? y ,于是 y ? , 2 2 2 3x ? 1 x 1 而由 0 ? y ? ? 1 , x ? 1,得 ? x ? 1 。 3x ? 1 2 x 1 则V ? x ? y ? x ? ,( ? x ? 1 )。 3x ? 1 2
又得 V ? 1 ?
'

1 3x(3x ? 2) 。所以 ? 2 (3x ? 1) (3 x ? 1) 2

1 2 ? x ? 时, V ' ? 0 ,V 为减函数, 2 3 2 ' (2)当 ? x ? 1 时, V ? 0 ,V 为增函数, 3
(1)当 所以得 Vmin ? V
2 x? 3

?

4 3 3 ,又 V 1 ? Vx ?1 ? ,得 Vmax ? V 1 ? Vx ?1 ? . x? x? 2 3 2 2 2


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