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广东省汕头市潮南实验学校高中数学选修2-1课件:1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词 (共19张PPT)


全称量词与存在量词

思考:什么是量词?
? ? ? ? ? ? ①一 ②一 ③一 ④一 ⑤一 ⑥一 纸; 牛; 狗; 马; 人家; 小船

表示人、事物单位的词称为量词

1.4.1 全







下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与 (4)之间有什么关系? (3)(4) 不是 (1)x>3 全称命题 (2)2x+1是整数 不是 (3)对所有的x?R,x>3 是 (4)对任意一个x ?Z,2x+1是整数 是

关系: (3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变
量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 全称量词

一.全称命题
1. 全称量词及表示: 定义:短语“对所有的”、“对任意一个”、 “对一切”、“对每一个”、“任给”、 “所有的”在逻辑中通常叫全称量词。 表示:用符号“ ”表示

?

2. 全称命题及表示: 含有全称量词的命题,叫全称命题。 定义: 表示: 全称命题“对M中任意一个x,有含变量x 的语句p(x)成立”表示为:?x ? M, p(x) 读作:“对任意x属于M,有p(x)成立”。

下列命题中哪些是全称命题?
? ? ? ? ? (1)对所有的实数x,都有x2≥0; (2)存在实数x,满足x2≥0; (3)至少有一个实数x,使得x2-2=0成立; (4)存在有理数x,使得x2-2=0成立; (5)对于任何自然数n,有一个自然数s 使得 s = n × n; ? (6)有一个自然数s 使得对于所有自然数n, 有 s = n × n;

例如:命题(1)对任意的n ?Z,2n+1是奇数; (2)所有的正方形都是矩形 都是全称命题。

例1.用量词“? ”表达下列命题: (1)实数都能写成小数形式; ? x R,x能写成小数形式 π (2)凸多边形的外角和等于2 ? x {x|x是凸n边形},x的外角和等于2?

?

?

(3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数 ? x R,x·(-1)= -x

?

(4)对任意实数x,都有x3>x2 3>x2 x R,x ? (5)对任意角 ? ,都有sin2 ? +cos2? =1 2 2 sin +cos =1 ? ? { 角 }, ?

?

??

例2.设集合S={四边形},P(x):内角和为3600 . 试用不同表述写出全称命题“ ? X S,P(x)” 解:对所有的四边形x,x的内角和为360o 对一切四边形x,x的内角和为360o 每一个四边形x的内角和为360o 任一个四边形x的内角和为360o 凡是四边形x,它的内角和为360o

?

例3.判断下列全称命题的真假(课本22例1)

(1) 所有的素数是奇数; (2) x R, x2+1≥1 (3) 对每一个无理数x,x2也是无理数

??

解:(1)∵2是素数,但不是奇数. ∴全称命题(1)是假命题

(2)∵ ?x ?R,x2≥0,从而x2+1≥1 ∴全称命题(2)是真命题 (3)∵ 2是无理数,但( 2 )2=2是有理数 ∴全称命题(3)是假命题

如何判断全称命题的真假

方法: 若判定一个全称命题是真命题,必须对 限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称命题是假命题,只要能 举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立 即可。

1.4.2 存 在 量 词

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4) 之间有什么关系? 存在量词 (1)2x+1=3 不是 (3)(4) (2)x能被2和3整除; 不是 特称命题 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; 是 (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 是 关系:(3)在(1)的基础上,用短语“存在一 个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成 了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用“至少有一个” 对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了 可以判断真假的语句.

一.特称命题
1. 存在量词及表示: 定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、 “有些”、“有一个”、“对某个”、 “有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示:用符号“?”表示, 2.特称命题及表示: 定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示: 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 可用符号简记为?x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

下列命题中哪些是特称命题?
? ? ? ? ? (1)对所有的实数x,都有x2≥0; (2)存在实数x,满足x2≥0; (3)至少有一个实数x,使得x2-2=0成立; (4)存在有理数x,使得x2-2=0成立; (5)对于任何自然数n,有一个自然数s 使得 s = n × n; ? (6)有一个自然数s 使得对于所有自然数n, 有 s = n × n;

例如:命题(1)有的平行四边形是菱形; ? (2)有一个素数不是奇数 都是特称命题. 例4 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写 出特称命题“?x∈R,q(x)” 解: 存在实数x,使x2=x成立 至少有一个x∈R,使x2=x成立 对有些实数x,使x2=x成立 有一个x∈R,使x2=x成立 对某个x∈R,使x2=x成立

例5 下列语句是不是全称或特称命题
(1) 有一个实数a,a不能取对数 特称命题 (2) 所有不等式的解集A,都是A?R 全称命题 (3) 三角函数都是周期函数吗? 不是命题 (4) 有的向量方向不定 特称命题

例6 判断下列特称命题的真假(课本23页例2)

(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 解:(1)由于?x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2, 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,特称命题(1)是假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是 互相平行的,因此不存在两个相交的平面 垂直于同一条直线. 所以,特称命题(2)是假命题.

如何判断特称命题的真假

方法:
要判断特称命题“?x∈M,p(x)”是真 命题,只需在集合M中找到一个元素x0, 使p(x0)成立即可.

如果在集合M中,使p(x)成立的元素x 不存在,那么这个特称命题是假命题.

自我检测:
下列说法正确吗? 对 ?x ? M , p( x) ? ?x ? M , p( x), 反之则不

成立.

正确


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