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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第五节椭圆(一) 理


第五节 椭 圆 (一) 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 知识梳理 一、椭圆的定义 平 面 内 与 两 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 和 等 于 定 长 2a (2a>|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 ____________,即点集 M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}是椭圆

.其中两定点 F1,F2 叫 做 ___________,定点间的距离叫做 ____________(注意: 2a=|F1F2|时,点的轨迹为线段 F1F2,2a<|F1F2|时,无轨迹). 答案: 椭圆 焦点 焦距 二、椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上: 2+ 2=1(a>b>0);焦点在 y 轴上: 2+ 2=1(a>b>0). 三、椭圆的标准方程、性质 标准方程 x2 y2 a b y2 x2 a b x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 图形 中心 焦点 顶点 轴长 离心率 范围 对称性 a,b,c 的关系 (0,0) (0,0) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) (±a,0),(0,±b) (±b,0),(0,±a) 长轴|A1A2|的长 2a,短轴|B1B2|的长 2b,|B2O|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a c e= (0<e<1) a |x|≤a,|y|≤b |y|≤a,|x|≤b 对称轴方程为 x=0,y=0;对称中心为 O(0,0) c2=a2-b2 基础自测 2 2 1.椭圆 x +4y =1 的离心率为( 3 3 A. B. 2 4 ) 第 1 页 共 5 页 C. 2 2 2 D. 3 2 2 x y 1 3 2 2 2 2 解析:先将 x +4y =1 化为标准方程 + =1,则 a=1,b= ,c= a -b = . 1 1 2 2 4 所以离心率 e= = 答案: A 2.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( ) A. B. C. D. + =1 81 72 + =1 81 9 + =1 81 45 + =1 81 36 c a 3 .故选 A. 2 x2 x2 x2 x2 y2 y2 y2 y2 1 解析:依题意知,2a=18,∴a=9,2c= ?2a,∴c=3, 3 2 2 2 ∴b =a -c =81-9=72, ∴椭圆方程为 + =1.故选 A. 81 72 答案:A 3. (2013?扬州模拟)已知 F1, F2 是椭圆 + =1 的两焦点, 过点 F2 的直线交椭圆于 A, 16 9 B 两点.在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为________. 解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10= 6. 答案:6 4.椭圆 3x +ky =3 的一个焦点是(0, 2),则 k=________. 2 2 x2 y2 x2 y2 y 3 2 2 2 2 2 解析:方程 3x +ky =3 可化为 x + =1,a = >1=b , 3 k k c2=a2-b2= -1=2,解得 k=1. k 答案:1 3 2 第 2 页 共 5 页 1.(2013?新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交

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