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数学(人教A版)必修5课件:3.4.3


3.4.3 基本不等式的实际应用 【学习目标】 a+b 1.理解基本不等式 ab≤ 2 中等号成立时条件. 2.熟练理解并应用基本不等式解决一些简单的应用问题. zxx k 已知 x,y 都是正数, x+y 有最小 (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和______ 2 P 值________. xy 有最小 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积____ S2 值________. 4 练习 1:已知 a>0,b>0,若 ab=9,则 a+b 有最小值为 6 4 ______ ;若 a+b=4,则 ab 有最大值为______. 1 2 练习 2:已知函数 y=x+ x,当 x>0 时,ymin=________. zxx k 【问题探究】 1.你是设计师!春天到了,学校决定用篱笆围一个面积为 100 平方米的花圃种花.有以下两种方案: 圆形花圃:造价 12 元/米;矩形花圃:造价 10 元/米. 你觉得哪个方案更省钱呢? 10 答案:圆形花圃:S 圆=πr =100,r= ,C=2πr=20 π 2 π, 花费约为 425 元; 矩形花圃:设两边为 x,y,C=2(x+y)≥4 x=y 时花费最少为 400 元.显然矩形花圃省钱. zxx k xy=40,故当 2.在问题 1 中,假若现在只有 36 米的篱笆可用,怎么样设 计才能使得矩形花圃的面积最大? 答案:C=2(x+y)=36,x+y=18. ∵x+y≥2 xy,∴18≥2 xy,∴S=xy≤81. 当且仅当 x=y=9 时,面积有最大值为 81 平方米. zxx k 题型 1 基本不等式在(函数)最值中的应用 1 【例 1】 (1)求函数 f(x)= +x(x>3)的最小值; x-3 x2-3x+1 (2)求函数 f(x)= (x>3)的最小值; x-3 9 1 (3)已知 x>0,y>0,且x +y =1,求 x+y 的最小值. zxx k 思维突破:(1)“添项”,可通过减 3 再加 3,利用基本不 a 等式后可出现定值.(2)“拆项”,把函数式变为 y=M+M的形 ?9 1? 9 1 式.(3)“整体代换”,将 1 用x +y 代替,则 x+y=(x+y)?x +y ?, ? ? 再化简,用基本不等式求解. zxx k 解:(1)∵x>3,∴x-3>0. 1 ∴f(x)= +(x-3)+3 x-3 ≥2 1 · ?x-3?+3=5. x-3 1 当且仅当 =x-3,即 x=4 时取等号, x-3 ∴f(x)的最小值为 5. zxx k (2)令 x-3=t,则 x=t+3,且 t>0. ?t+3?2-3?t+3?+1 1 ∴f(x)= =t+ t +3 t ≥2 1 t· t +3=5. 1 当且仅当 t= t ,即 t=1 时取等号,此时 x=4, ∴当 x=4 时,f(x)有最小值为 5. zxx k 9 1 (3)∵x +y =1, ?9 1? 9y x ? ? ∴x+y=(x+y) x +y =10+ x +y ? ? ≥10+2 9y x x· y=16. 9y x 9 1 当且仅当 x =y,且 x+ y=1, 即 x=12,y=4 时取等号. ∴当 x=12,y=4 时,x+y 有最小值为16. zxx k 当式子不具备“定值”条件时,常通过“添 cx2+dx+f 项”达到目的;形如 y= (a≠0,c≠0)的函数,一般 ax+b p 可通过配

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