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高考高频考点2数列


《数
高频考点 考查及问题 数列定义 数 列 的 概 念 项与序号 通项(函数) 前 n 项的和 通项公式 数列的 表示法 周 性 质 期 列表法 图象法 递推法 最大项与最小项 单调性 猜归证 阶差法 通 项 公 构 式 造 法 累加法 累乘法 取倒数法 待定系数法 两边同除法 方程组法 公式法 数 列 求 和 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 奇偶分类讨论求和法 定义及证明 通项公式及函数理解 前 n 项的和及函数理解 等 差 am ? an ? ak ? al ? 2a p 数 列 性 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等比 质
? Sn ? ? ?成等差 ?n?

列》
存在的问题

考查程度 了 了 了 了 掌 了 掌 掌 解 解 解 解 握 解 握 握

1

2

存在的问题

3

存在的问题

灵活应用 灵活应用 灵活应用 掌 掌 掌 掌 了 了 掌 掌 掌 握 握 握 握 解 解 握 握 握 灵活应用

先证(已构造)后用法

灵活应用

灵活应用 灵活应用 掌 掌 握 握

灵活应用 灵活应用 灵活应用 灵活应用 灵活应用

最值问题 m? n ? k ?l ? 2p

灵活应用 灵活应用 灵活应用 灵活应用 灵活应用 灵活应用 灵活应用 1

单调性 等 比 数 列 定义及证明 通项公式及函数理解 前 n 项的和及函数理解 最值问题

《数
高频考点 考查及问题 等 2 am ? an ? ak ? al ? a p 比 性 数 质 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等差 列 单调性 不 综 等 合 式 应 用 求和放缩 放缩求和 其 它
m? n ? k ?l ? 2p

列》
存在的问题

考查程度 灵活应用 灵活应用 掌 握

1

2

存在的问题

3

存在的问题

灵活应用 灵活应用

通项公式(答案见学生版)
类型一、猜想与证明:
①1,2,3,4,5,?, ,? ②2,4,6,8,10,?, ,? ③1,3,5,7,9,?, ,? ④1,2,4,8,16,32,?, ,? ⑤1,4,9,16,25,?, ,? ⑥1,-1,1,-1,?, ,?;-1,1,-1,1,?, ⑦9,99,999,9999,?, ,? ⑧1,0,-1,0,1,0,-1,0,?, ,?

,?

例 1、(1) 1, ,

1 9 17 33 , , ,? 3 35 63 99

,? (4) 7,77,777,7777
(6)

1 1 5 13 29 61 , ,? , ,? , ,? 2 4 8 16 32 64

3 2 5 3 7 4 , ,? , ,? , ,? 7 5 13 8 19 11 (5) 1,3,7,15,31 ,? 3 7 9 (7) ,1, , , ? 2 10 17
(2) ? (9)2,3,2,3,2,3,?

(8)0,1,0,1,0,1,?

例 2、(2004 年春上海)根据下图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有________个点.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

例 3、如图:第 n

?n ? 1,2, 3,? ? ?? 个图形由正 n ? 2 边形“扩展”而来,则第 n ? 2 个图形中共有___个顶点

2

例 4、2014 年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,

在区域{(x,y)|x≥0,y≥0}内植树,第一棵树在 A1(0,1)点,第二棵树在 B1(1,1)点,第三棵 树在 C1(1,0)点,第四棵树在 C2(2,0)点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一棵树, 那么,第 2014 棵树所在的点的坐标是________.(10,44) 类型二、 a n ? ?

S1 ?n ? 1? 适用题型: S n ? f ?a n ? ?S n ? S n?1 ?n ? 2? ?

例 1、已知数列 ?a n ?的前 n 项的和为 S n ,满足 log2 ?1 ? S n ? ? n ? 1,求数列 ?a n ?的通项公式 例 2、满足 a1 ? 1, an?1 ? 3S n ?n ? 1? ,则 ?a n ?的通项公式是_________ 例 3、已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数 x,y 都有 f(x· y)=f(x)+f(y),若数列{an} 的前 n 项和为 Sn, 且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*), 则 an= A. 2
n-1

(

D )

B. n

C. 2n-1

?3? D. ? ? ?2?

n ?1

例 4、(2014 新)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ? 0 , an an ?1 ? ? Sn ? 1,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an? 2

? an ? ? ;

(Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ a n }为等差数列?并说明理由.

例 5、(08 全)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? a , an?1 ? S n ? 3n , n ? N * .
(Ⅰ)设 bn

? S n ? 3n ,求数列 {bn } 的通项公式;
? an , n ? N * ,求 a 的取值范围.

(Ⅱ) 若 a n ?1

1 1 1 例 6、数列{an}满足 a1+ 2a2+?+ nan=3n+1,n∈N*,则 an=___________________. 3 3 3 例 7、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 n ? N ? . (1)证明:数列 ?an ? 1? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ?满足 4 1 ? 4
b ?1 2b2 ?1 n ? ? ? ?4nbn ?1 ? ?an ?1? ,求数列 ?bn ?的通项公式.

?

?

例 8、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ? ? ? ? ?2n ?1?an ? ?n ?1?3n?1 ? 3 n ? N ? ,则数列 ?bn ?的通项公式是 __________.

?

?

?bn ?满足 a1 ? 2,2an ? 1 ? an an?1 , bn ? an ?1 , Tn ? S2n ? Sn . 例 9、 已知数列 ?a n ?, 数列 ?bn ?的前 n 项的和为 S n ,
(1)求数列 ?bn ?的通项公式; bn ?

1 n

(2)求证: Tn?1 ? Tn .

分析:方法 1、 2an ? 1 ? an an?1 ,2an?1 ? 1 ? an?1an 相减,方法 2、 an ? an ? 1 ? an?1an 移项提取公因式. 类型三、利用累加法求通项公式: 若数列 ?a n ?满足 a1 ? m, an ? an?1 ? f ?n?
例 1、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an

? n ? 3n?1 ? an?1 ,求数列 ?a n ?的一个通项公式.

3

例 2、已知数列 ?a n ?满足 a1

n ?1 ? 1? ? 1 , an ?1 ? ?1 ? ?an ? n ,求数列 ?a n ?的一个通项公式. 2 ? n?

类型四、利用累乘法求通项公式: 若数列 ?a n ?满足 a1 ? m,
例 1、已知数列 ?a n ?满足 a1

an ? f ?n ? a n?1

1 2n ? 1 ? , an?1 ? an ,求数列 ?a n ?的一个通项公式. 3 2n ? 1 例 2、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? ?n ?1?an?1 ?n ? 2? ,求数列 ?a n ? 的一个通项公式.
类型五、构造法求通项公式:
题型 1、若数列 ?a n ?满足 a n

?

Aan ?1 解决方法是两边取倒数法 Ban ?1 ? A ? 2a n ,求数列 ?a n ?的一个通项公式. an ? 2

已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ?1 题型 2、构造等比数列: ①满足 an?1

? Aan ? B? A ? 1, B ? 0? ? 3, an?1 ? 2an ? 1 ,求 a n

例 1、在数列 ?a n ?中,若 a1 例 2、在数列 ?a n ?中,若 a1 ②满足 an? 2

? 1, nan?1 ? 2?n ? 1?an ? n2 ? n ,求 a n

? pan?1 ? qan

例:设数列 ?a n ?满足 a1 题型 3、 a n?1

5 5 2 ? 1, a2 ? , an?2 ? an?1 ? an ,求 a n 3 3 3

? can ? g ?n?

例 1、若数列 ?a n ?满足 a1

? 1, an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,求数列 ?a n ?的一个通项公式.
*

例 2、数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N . 求数列 ?a n ? 的一个通项公式. 题型 4、分类讨论构造法: 例:若数列 ?a n ?满足 a1

? 1, an?1 ? an ? 3n ? 1 ,求数列 ?a n ?的一个通项公式.

数列的性质
1、周期数列

①在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an ,则 a 2011 ? _____ ②数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2,且 an+1an+2≠1,S2012=______ 1 ③ 已知 f(x)= , 各项均为正数的数列{an}满足 a1=1, an+2=f(an), 若 a2010=a2012, 则 a20+a11 的值是________. 1+x an+1-1 ④ 数列{an}满足 a1=2,an= ,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=( an+1+1 )

4

1 A. 6 ⑤ a1 ? 2, an?1

1 B. -6 C. 6 D. -6 已知数列 ?an ? 满足 5a ? 13 ?n ? N ? ? ,则数列的前 100 项的和为_______________ 200 ? n 3an ? 7

2、数列的最值项:

? 10 ? ①设数列 ?a n ?的通项 a n ? ?n ? 1? ? ? ? . 试问该数列有没有最大项?若有, 求出最大项和最大项的项数; 若没有, ? 11 ?
说明理由. nπ 16 nπ 2+sin 6

n

② 已知 an=sin + 6
A. 6

(n∈N*),则数列{an}的最小值为 19 D. 3

(

)

B.7

C.8

③ 已知数列{an}中,an=1+

1 (n∈N*,a∈R,且 a≠0). a+2?n-1?

(1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N*,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围. 5 ? 1 ?
3、数列的单调性:

a ?6 2

?( a ? 2 ) x ( x ? 2 ) ? ①设函数 f ( x ) ? ? 1 x , an ? f (n) ,若数列 {an } 是单调递减数列,则实数 a 的取值范围为( ?( 2 ) ? 1( x ? 2) ?

)

A.(-∞,2)

B.(-∞,

13 ] 8

C. (??,

7 ) 4

D .[

13 ,2) 8

②数列 ?a n ?的通项公式为 an ? an2 ? n , 若满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 且 a n ? a n ?1 对 n ? 8 恒成立, 则实数 a 的
取值范围是________

等差数列
一、定义: 例 1、[2014· 大纲全国卷]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1
2 例 2、 【2015 新 1】 S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未找到引用源。.

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 错误!未找到引用源。 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an ?1

3 1 1 例 3、已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= (n∈N*). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.当 n=3 时,an 最小值-1;当 n=4 时,an 最大值 3. 5

例 3、设无穷数列{an}满足:?n∈N*,an<an+1,an∈N*.记 bn ? aan , cn ? aan ?1 (n∈N*). (1)若 bn=3n(n∈N*),求证:a1=2,并求 c1 的值; (2)若{cn}是公差为 1 的等差数列,问{an}是否为等差数列,证明你的结论. 解:(1)an∈N*,①若 a1=1,则 b1=aa1=a1=3,矛盾;②若 a1≥3,设 a1=A1,则 b1=aA1=3. ∵an<an+1,∴aA1≥a3.∴a3≤3 与 a3>a1 矛盾.综上可知,a1=2. ∴b1=aa1=a2=3,b2=aa2=a3=6, c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? 6 . (2)设 h>k 且 h,k∈N*,则 ah>ak,且 ah-ak≥1(an∈N*). 当 ah-ak=1 时,不妨设存在 m∈N*,使 h>m>k 成立,则 ah-am≥1,am-ak≥1, 则 ah-ak≥2,与 ah-ak=1 矛盾.则 h-k=1. 由题意知 cn+1-cn=1,即 aan?1 ?1 ? aan ?1 ? 1 .则 (an?1 ? 1) ? ?an ? 1? ? 1 ,即 an+1-an=1. 即{an}是公差为 1 的等差数列. 二、性质及基本量法 1、等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值是( C ) A. 20 B. 22 C. 24 D. -8 )

分析:特值 d ? 0 ;基本量;性质 2、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=( B A. 63 B. 45 C. 36 D. 27

分析:基本量(两种) ;性质

与上题比较得出上题可用特值 S4 S6 3、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 =4,则 =( A ) S2 S4 A. 9 4 B. 3 2 C. 5 3 D. 4

分析:特值 S 2 ? 1, S 4 ? 4 ;性质(两种) 4、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( C ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

分析: am ? 2, am?1 ? 3, d ? 1, Sm ? 0 ? a1 ? ?2 5、 (1)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时,{an}的前 n 项和最大.8 (2)等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 10,11

(3)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围 为________. ? ? 1,?

? ?

7? ? 8?

a11 (4)已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最大值为( B ) a10 A. 11 B. 19 C. 20 D. 21

6、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 6

7、已知等差数列{an},公差 d>0,前 n 项和为 Sn,且满足 a2a3=45,a1+a4=14. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; Sn 1 (2)设 bn= ,若{bn}也是等差数列,试确定非零常数 c,并求数列{ }的前 n 项和 Tn. n+c bn· bn+1

等比数列
一、定义: 1、 【2015 广东】数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? nan ? 4 ? (1) 求 a3 的值; (3) 令 b1 ? a1 , bn ?

n?2 ?n ? N * ? , 2n ?1

(2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ;

Tn ?1 ? 1 1 1? 证明: 数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 ? 2 ln n . ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? , n ? 2 3 n?

二、性质及基本量法 1、等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.5 2、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( C ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
2

2 2 3、数列{an}中,已知对任意 n∈N*,a1+a2+a3+?+an=3n-1,则 a2 ) 1+a2+a3+?+ an 等于( B

A. (3n-1)2

1 B. (9n-1) 2

C. 9n-1

D.

1 n (3 -1) 4

4、已知 ?an ?, ?bn ?分别为等差数列与等比数列, a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,则下列结论成立的是 ( A ) A a2 ? b2 B a3 ? b3 C a5 ? b5 D a6 ? b6

5、求和 Sn ? 1 ? 2a ? 3a 2 ? ? ? ? ? nan?1

5 15 9 1 1 1 1 6、在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= ,a8· a9=- ,则 + + + =________. ? 8 8 a7 a8 a9 a10 3
7、公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=( A. 1 B. 2 C. 4 ) D. 8

数列求和与不等式
1、分组求和:
n 2 ?n为奇数? ,且 a ? f ?n? ? f ?n ? 1? ,则 a ? a ? ? ? ? ? a ? _________ 100 例、已知函数 f ?x ? ? ? n 1 2 100 ? 2 ?? n ?n为偶数?

2、并项求和:

?1? n 例 1、 在数列 ?a n ?中, 记 Tn ? a1 ? 4a2 ? 42 a3 ? ? ? ? ? 4n?1 an , 则 5Tn ? 4 an ? __ n a1 ? 1, an ? an?1 ? ? ? , n ? N ? , ? 4?
例 2、求和 Sn ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? ? ? ??1? ? n
n

n

?

?

3、错位相减法 例、 【2015 天津】已知数列 {an } 满足 an ? 2 ? qan ( q为实数,且q ? 1),n ? N *, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
7

(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 n 项和. a2 n ?1
1 n+ n+1 C. 120
2

4、裂项相消求和: 例 1、已知数列{an}的通项公式是 an= A. 11 B. 99 ,若 Sn=10,则 n 的值是 D. 121 分析: a n ? 1 ? ( C )

?2n? 22 42 例 2、求和 S n ? ? ? ??? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 1? 3 3 ? 5
(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1

2 例 3、 【2015 新 1】 S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未找到引用源。.

1 1 1 ? Tn ? . 错误!未找到引用源。 ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,求证: 15 6 an an ?1

例 4、已知 ?a n ?是等差数列,数列 ?bn ?是正项的等比数列,且满足 a1 ? 1, b1 ? 4 , a2 ? b2 ? 10, a26 ? b3 ? 10 . (1)求数列 ?a n ?、 ?bn ?的通项公式; an ? 2n, bn ? 2 n (2)设 c n ? a n bn ,求数列 ?

? cn?2 ? ? 的前 n 项的和 S n . ? c n c n ?1 ? ax 例 5、已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? . x ?1
(1)求函数 f ?x ? 的单调区间和极值; (2)求证: ln?n ? 1? ?

cn? 2 1 1 ? ? n ?1 cn cn?1 n ? 2 ?n ? 1?2 n

1?

1 ?n ? 1? ? 2 n

1 ?1 2 ?1 3 ?1 n ?1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 n ? N ? . 1 1 2 3 n

?

?

当 a ? ?1 时, 函数 f ?x ? 在 ?0,??? 上是单调增函数; 则 ln? x ? 1? ?

x 1 1 1 n ?1 ? 1? , 则 ln?1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 x ?1 n ? n ? n ?1 n n

例 6、已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;an=2n-1. (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1
-1

分析:(2)bn=(-1)n

1 1 ? 4n 4n n ?1 ? - ? =(-1)n 1 = ?? 1? ? ? anan+1 ?2n-1??2n+1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

Tn ?

2n ? 1 ? ?? 1? 2n ? 1

n ?1

例 7、 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn , 再令 an ? lg Tn, n ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tanan ? tanan?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 5、倒序求和: 8

例 1、已知函数 f ? x ? ?

x ,则 1? x

?1? f ? ?? ? 3?

?1? f ? ? ? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? _______ ?2?

(2)已知函数 f ?x ? ? (3)已知函数 f ?x ? ?

2x ,则 f ?? 3? ? f ?? 2? ? f ?? 1? ? f ?0? ? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? _______ 1? 2x

1 1 , f ?x ? ? x ,则 f ?? 2? ? f ??1? ? f ?0? ? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? _______ 4 ?2 2 ? 2
x

(4)已知函数 f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ,则 f ?

? 1 ? ? 2 ? ? 4025? ?? f ? ? ? ??? ? f ? ? ? __________ ? 2013? ? 2013? ? 2013?

0 1 2 n?1 例 2、(1) Cn =_________; ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? ? ? nCn 0 1 2 n (2) Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? ?2n ? 1?Cn ? ?n ? 1?2 n

解 1:倒序相加法
n

k k k 解 2:分组求和 ?2k ? 1? ? Cn ? 2k ? Cn ? Cn

0 1 2 2 n n 解 2: ?1 ? x? ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? ? ? Cn x 求导,将 x 换成 1
0 1 n 引申:设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列.求和: S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn

6、分类讨论求和: 例: 7、数列与不等式 例 1、 【2014 新 II】 (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

.

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

例 2、 【2015 浙江】已知数列 ?an ? 满足 a1 = (1)证明:1 ?

1 2 且 an ?1 = an - an ( n? N* ) 2

an ; ? 2( n? N* ) an ?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 S n ,证明

? ?

S 1 1 ( n ? N * ). ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)
2n?2

例 3、 【2015 安徽】设 n ? N * , xn 是曲线 y ? x (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式;
2 2 (Ⅱ)记 Tn ? x12 x3 ? x2 n ?1 ,证明 Tn ?

? 1 在点 (1, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标.

1 . 4n

9

数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③ 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应 的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. ◆ 对本部分的考查,选择填空重点考查等差、等比数列的性质; ◆ 解答题中重点考查通项公式、求和(重视求和的错位相减法、裂项相消法; ◆ 递推数列也是考察的重点,只局限于最基本的形式。 题型示例 1.在等差数列 ?a n ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B 2.等差数列 ?a n ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 C
A 130 B 170 C 210 D 260 3.数列 ?a n ? 、 ?bn ? 都是等差数列,它们的前 n 项的和为 为 (A)

S n 3n ? 1 ? ,则这两个数列的第 5 项的比 Tn 2n ? 1 ( C )

49 28 34 (B) (C) (D)以上结论都不对 29 17 19 4.公比为 2 的等比数列{ a n } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 =
10

(A) 1 【答案】A

(B)2 (C) 4 (D)8 2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1 1 2 5.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? ,则 a1a3 . a5 ? 2 1 1 1 2 2 4 ? , a1a3 a5 ? a3 ? 答案: a2 a4 ? ? a3 2 2 4 6.等比数列 {an } 的前 n 项的乘积记为 Tn ,若 Tn ? 1, T2 n ? 2 ,则 T3n =_8______. 7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? 3 2 1 (A) 2 n ?1 (B) ( ) n ?1 (C) ( ) n ?1 (D) n?1 2 3 2 1 1 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? S1 ? 2 2 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① ①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 Sn?1 ? 2an ② , 3 an?1 ? an , 2 1 3 故该数列是从第二项起以 为首项,以 为公比的等比数列,故数列通项公式为 2 2 ?1 (n ? 1) ? , an ? ? 1 3 n?2 ( n ? 2) ? ( ) ?2 2 1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 3 2 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( )1?1 ,故选答案 B 3 2 2 1? 2 8.设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。 解: (1)由 am = a1 +(n-1)d 及 a1=5,aw=-9 得{ 数列{am}的通项公式为 an=11-2n。 (2)由(1) 知 Sm=na1+ 9.若数列{an}, a1 ?
a1 ? 2 d ?5 a1 ?9 d ??9

解得{

a1 ?9 d ??2

n(n ?1) d=10n-n2。 因为 Sm=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时,Sm 取得最大值。 2

2 1 , 且a n ?1 ? a n ? (n∈N), 则通项 a n =_7n+1/6n+6_______. 3 (n ? 2)(n ? 1) n ?1 10.设 {an } 是 a1 =1 的正项数列,且 an ? an?1 ,求 a n . n 2 2 变式:设 {an } 是 a1 =1 的正项数列,且(n+1) an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 ,求 a n . a a 2 2 解:在等式(n+1) an (n+1) n ?1 ? n n +1=0 ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 两边同除 an ?1an 得: an a n ?1 a 1 令 n ?1 = t (t>0),则(n+1) t ? n +1=0 ,∴(n+1) t 2 ? t ? n ? 0 an t a n n ∴[(n+1) t -n][ t +1]=0 ? t +1 ? 0, ∴ t = 即 n ?1 = an n ? 1 n ?1 a a an a a 1 a 2 3 4 n?2 n ?1 ? ∴ 2 ? , 3 ? , 4 ? , 5 ? ,?, n ?1 ? , a1 2 a 2 3 a3 4 a4 5 an?2 n ? 1 a n ?1 n
11

将以上(n-1)个式子左右两边分别相乘,得

11.设数列 ?a n ?的前项 n 和为 S n ,已知 a1 ? a, an?1 ? S n ? 3n , n ? N * ,设 bn ? S n ? 3n , 求数列 ?bn ?的通项公式; 解:依题意, S n?1 ? S n ? an?1 ? S n ? 3n ,即 S n?1 ? 2S n ? 3n , 由此得 S n?1 ? 3n?1 ? 2(S n ? 3n ) ∴ S n ? 3n 是以 S1 ? 3 ? a ? 3 为首项以 2 为公比的等比数列. 因此所求通项公式为 bn ? S n ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N * 12.已知数列{ a n }的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 a n =4log2bn+3,n∈N ﹡. (1)求 a n ,bn; (2)求数列{ a n ·bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1) 由 Sn= 2n 2 ? n ,得 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

an 1 1 ? ,又 a1 =1 ∴ a n = a1 n n

?

?

2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1 ,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n ,
2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )] ? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡. 13.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 1(n ? N ? ) , bn ? log2 4an .

(Ⅱ)求数列 ?a n ? bn ?的前 n 项和 Tn .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和 ?bn ? 的通项公式;

.解: (1) n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ,?an ? 2an?1 ,则 公比为 2,由 n ? 1时, a1 ? 2a1 ?1?a1 ? 1,?an ? 2n?1 , bn ? n ? 1 (2) an ? bn ? (n ? 1) ? 2n?1
? Tn ? 2 ? 2 0 ? 3 ? 21 ? 4 ? 2 2 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 2Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? 4 ? 2 3 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9

an ? 2 ,数列 ?a n ? 为等比数列, a n?1

2(1 ? 2 n ?1 ) ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n ? ?n ? 2 n 1? 2 n ? Tn ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12
1 2 n ?1 n

14.设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。 解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d 及 a3 ? 5 , a10 ? ?9 得 a1 ? 9, d ? ?2 ;
12

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 11 ? 2n (Ⅱ) Sn ? 10n ? n2 ? ?(n ? 5)2 ? 25 ,所以 n ? 5 时 S n 取得最大值。 15.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
2 3 2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4

1 1 。由条件可知 a>0,故 q ? 。 9 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3 n(n ? 1) (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an = ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 2n 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? bn b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

高频考点 数列的定义;数列的通项;分析写出常见数列的通项公式。 [数列的前 n 项和] S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? an [数列的前 n 项和 S n 与通项 a n 之间的关系] a n ? ? 1 1 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
?a ? S (n ? 1)

数列的前 n 项和:数列 ?a n ?中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 称为数列 ?a n ?的前 n 项和,记为 S n . S 1 表示前 1 项之和: S 1 = a1 ; S 2 表示前 2 项之和: S 2 = a1 ? a 2 ;?? S n ?1 表 示 前 n-1 项 之 和 : S n ?1 = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 S ; n 表 示 前 n 项 之 和 :
S n = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an .

∴当 n≥1 时 S n 才有意义;当 n-1≥1 即 n≥2 时 S n ?1 才有意义. S n 与 a n 之间的关系:由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S 1 = a1 ;当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 ,

n ?1 ?S 即 an ? ? 1 说明:数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种方法. ?S n ? S n?1 n ? 2 应用 1 已知数列 ?a n ?的前 n 项和,求数列的通项公式:
⑴ S n =n 2 +2n; ⑵ S n =n 2 -2n-1. 解:⑴①当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 =(n 2 +2n)-[(n-1) 2 +2(n-1)]=2n+1; ②当 n=1 时, a1 = S 1 =1 2 +2×1=3;③经检验,当 n=1 时,2n+1=2×1+1=3, ∴ a n =2n+1 为所求. ⑵①当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 =(n 2 -2n-1)-[(n-1) 2 +2(n-1)-1]=2n-3; ②当 n=1 时, a1 = S 1 =1 2 -2×1-1=-2; ③经检验,当 n=1 时,2n-3=2×1-3=-1≠-2,
13

?? 2(n ? 1) ∴ an = ? 为所求. ?2n ? 3(n ? 2) 说明: 由数列的前 n 项和公式求其通项公式时, 必须验证当 n=1 时 a1 = S 1 是否符合当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 .若符合写在一起,即: a n = S n - S n ?1 (n≥1)

(n ? 1) ?S 若不符合必须写成分段的,即: a n = ? 1 (n ? 2) ?S n ? S n?1 应用 2.已知下列各数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 的公式,求 ?a n ?的通项公式
(1) Sn ? 2n 2 ? 3n (2) S n = 3 n ? 2 .

王新敞
奎屯

新疆

解:(1) a1 =-1, a n = S n - S n ?1 =2n 2 -3n-[2(n-1) 2 -3(n-1)]=4n-5, 又 a1 符合 a1 =4·1-5, ∴ a n =4n-5; (2) a1 =1, a n = S n - S n ?1 = 3 n -2-( 3 n ?1 -2)=2· 3 n ?1 ,
n ?1 ? 1 ∴ an = ? n ?1 n?2 ?2 ? 3 应用 3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? 3 2 1 (A) 2 n ?1 (B) ( ) n ?1 (C) ( ) n ?1 (D) n?1 2 3 2 1 1 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? S1 ? 2 2 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① ①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 Sn?1 ? 2an ② , 3 an?1 ? an , 2 1 3 故该数列是从第二项起以 为首项,以 为公比的等比数列,故数列通项公式为 2 2 ?1 (n ? 1) ? , an ? ? 1 3 n?2 ( n ? 2) ( ) ? ?2 2 1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 3 2 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( )1?1 ,故选答案 B 3 2 2 1? 2 等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列 ?a n ?的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 。 [说明]该公式整理后是关于 n 的一次函数。 [等差数列的前 n 项和] n(n ? 1) d d? n(a ? a ) ? d ? n 2 ? ? a1 ? ?n 错误!未找到引用源。 1. S n ? 1 n 2. S n ? na1 ? 2 2 2 2? ? [说明]对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项]

如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A ?
14

a?b 或 2A ? a ? b 2

[说明]:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项

与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的判定方法] 1.定义法:对于数列 ?a n ?,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?a n ?是等差数列。 2.等差中项:对于数列 ?a n ?,若 2an?1 ? an ? an? 2 ,则数列 ?a n ?是等差数列。 3. 通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d ) 是关于 n 的一次函数。 4. 前 n 项和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d? ? d ? n 2 ? ? a1 ? ?n 是关于 n 的没有常数项的二次函数。 2 2 2? ?

[等差数列的证明方法] 1. 定义法:对于数列 ?a n ?,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?a n ?是等差数列。 2. 中项法:对于数列 ?a n ?,若 2an?1 ? an ? an? 2 ,则数列 ?a n ?是等差数列。 [等差数列的性质] 1. 等差数列任意两项间的关系: 如果 a n 是等差数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项, 且 m ? n, 公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d 2.对于等差数列 ?a n ?,若 n ? m ? p ? q ? 2k ,则 an ? am ? a p ? aq ? 2ak 。
a1 ? an ???? ? ????? ? 2 , a3 ,?, an?2 , an ?1 , an 也就是: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ,如图所示: a1 , a ? ?? ? ???? ?

练习①(04 年)在等差数列 ?a n ?中,若 a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 则 S 20 ? B ; A 160 B 180 C 200 D 220 练习②若一个等差数列的前 3 项和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列的项数为 A A 13 B 12 C 11 D 10 练习③ 若一等差数列前四项的和为 124,后四项的和为 156,又各项的和为 350,则此数列共有 ( A ) (A)10 项 (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项 练习④ 在等差数列中,若 a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 20, 则 S 20 等于 ( D ) (A)60; (B)40; (C)80; (D)100. ? ? a a 练习⑤ 等差数列 n 中,S15=90,则 8 = ( C ) (A)3 (B)4 (C)6 练习⑥.在等差数列 ?a n ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d , 3.若数列 ?a n ?是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数 列。 (即连续相等项的和构成的数列也成等差数列) 。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ?

a2 ? an ?1

(D)12

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B

练习① 在等差数列 ?a n ?中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 12 , a4 ? a5 ? a6 ? 18 则 a7 ? a8 ? a9 ? __________ .D A -12 B 6 C 0 D 24 练习② 等差数列 ?a n ?中,a1+a2+??a10=15,a11+a12+??a20=20,则 a21+a22+??a30=( B (A)15 (B)25 (C)35 (D)45 练习③等差数列 ?a n ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 C
15

Sk

S 2k ? S k

S 3k ? S 2 k

)

A 130 B 170 C 210 D 260 4.对于等差数列 ?a n ?中,序号成等差,对应的项也成等差。

练习:若 ?a n ?是等差数列, a15 ? 10 , a45 ? 90 ,则 a 60 ? 130 ; ' 5.若等差数列 ?a n ?的前 2 n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2 n ? 1 项的和为 S 2 n ?1 , 则
a n S 2n?1 。 ? ' bn S 2 n ?1

练习①数列 ?a n ? 、 ?bn ? 都是等差数列,它们的前 n 项的和为 的比为 49 (A) 29
34 19

S n 3n ? 1 ? ,则这两个数列的第 5 项 Tn 2n ? 1 ( C )

(B)

(C)

5n ? 3 ,则它们的第 9 项之比为 8/3 ; 2n ? 1 等差数列前 n 项和的最值问题 应用 1、 设等差数列{ a n }的前 n 项和为 Sn.已知 a1 ? 0 , S 4 ? S 9 .当 n 为何值时,S n 最小。?n ? 6或7 ? 应用 2、设等差数列{ a n }的前 n 项和为 Sn.已知 a1 ? 25 , S9 ? S17 .当 n 为何值时, S n 最大. ?n ? 13?
练习②两个等差数列,它们的前 n 项和之比为 应用 3、已知数列{ a n }是一个等差数列,且 a2 ? 1, a5 ? ?5 (1)求此等差数列{ a n }的通项 a n ;(2)设数列{ a n }前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;

28 17

(D)以上结论都不对

答案: an ? 5 ? 2n; ?Sn ?max ? 4 n?2 应用 4、数列{ a n }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变为负的, 回答下列各问: (1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是正数时, 求 n 的最大值. 答案:d=-4 ?Sn ?max ? S6 ? 78 nmax ? 12 应用 5、设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。 解: (1)由 am = a1 +(n-1)d 及 a1=5,aw=-9 得{ 数列{am}的通项公式为 an=11-2n。 (2)由(1) 知 Sm=na1+
a1 ? 2 d ?5 a1 ?9 d ??9

解得{

a1 ?9 d ??2

n(n ?1) d=10n-n2。 因为 Sm=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时, Sm 取得最大值。 2

等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 [等比中项] 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是,如果 G 是 a , b 的等比中项,那么 [等比数列的前 n 项和]
16
G b 2 ? ,即 G ? ab 。 a G

① Sn ?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

② Sn ?

a1 ? an q (q ? 1) 1? q

③当 q ? 1 时, S n ? na1

[等比数列的通项公式] 如果等比数列 ?a n ?的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 an ? a1q n?1 。 [等比数列的判定方法] 1.定义法:对于数列 ?a n ?,若
2 2.等比中项:对于数列 ?a n ?,若 an an?2 ? an ?1 ,则数列 ?a n ? 是等比数列。 [等比数列的证明方法]

an?1 ? q(q ? 0) ,则数列 ?a n ?是等比数列。 an

1.

定义法:对于数列 ?a n ?,若

2 2.中项法:对于数列 ?a n ?,若 an an?2 ? an ?1 ,则数列 ?a n ? 是等比数列。 [等比数列的性质] 1. 等比数列任意两项间的关系: 如果 a n 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项, 且 m ? n,

an?1 ? q(q ? 0) ,则数列 ?a n ?是等比数列。 an

公比为 q ,则有 a n ? a m q n?m

2.对于等比数列 ?a n ?,若 n ? m ? p ? q ? 2k ,则 an ? am ? a p ? aq ? ak

2

a1?an ???? ? ????? ? 2 , a3 ,?, an ?2 , an ?1 , an 也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? 。如图所示: a1 , a ? ?? ? ???? ? a2 ?an ?1

练习① 在等比数列 {an } 中, an ? 0 且 a2 ? a4 ? 2a3 ? a5 ? a4 ? a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 ? _5_____ 练习② 在等比数列 {an } 中, an ? 0 ,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? __10___

练习③ 已知等比数列 ?a n ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a15 ? 1024 ,则 a5 a8 a11 等于=__4___________________ 练习④ 等比数列 {an } 中, a3a4 a5 ? 8 ,则 a2 a3a4 a5a6 ? __32______. 练习⑤.公比为 2 的等比数列{ a n } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 【答案】A (B)2 (C) 4 (D)8 2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1 1 2 练习⑥.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? ,则 a1a3 . a5 ? 2 1 1 1 2 2 4 ? , a1a3 a5 ? a3 ? 答案: a2 a4 ? ? a3 2 2 4 3.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列 (即连续相等项的和构成的数列也成等比数列) 。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ?

练习① 在等比数列 ?a n ?中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 12 , a4 ? a5 ? a6 ? 18 则 a7 ? a8 ? a9 ? __________ . 27 练习② 等比数列{an}的前 m 项和为 20, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为___420__________. 练习③ 等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 30, a5 ? a6 ? 120 ,则 a7 ? a8 ? _ ? 240 ______. 练习④ 等比数列 {an } 中, S10 ? 5, S20 ? 15, 则 S30 ? _35___. 4. 对于等比数列 ?a n ?中,序号成等差,对应的项成等比。 练习:若 ?a n ?是等比数列, a15 ? 10 , a45 ? 90 ,则 a 60 ? ? 270

Sk

S 2k ? S k

S 3k ? S 2 k



5. 对于等比数列 ?a n ?中,连续相等项的积构成的数列也成等比数列 练习① 在等比数列 {an } 中, a3 a4 a5 ? 3 , a6 a7 a8 ? 24 则 a9 a10 a11 ? __192________.
17

练习② 等比数列 {an } 的前 n 项的乘积记为 Tn ,若 Tn ? 1, T2 n ? 2 ,则 T3n =_8______. 等差等比数列连续几项的巧妙设法 应用 1、有四个数,前三个数成等比数列,其和为 19,后三个数为等差数列,其和为 12,求此四 个数。(9,6,4,2)or(25,-10,4,18) 应用 2、有四个正数,前三个数成等差数列,其和为 48,后三个数为等比数列,其最后一个数为 25,求此四个数。(12,16,20,25)or(52,16,-20,25) 递推公式与通项公式的关系 数列的通项公式:如果数列 ?a n ?的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的通项公式. 递推公式:如果已知数列 ?a n ?的第 1 项(或前几项) ,且任一项 a n 与它的前一项 a n ?1 (或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 说明:1.递推公式、通项公式都是给出数列的一种方法 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项) 之间的关系. 3.递推式的给出形式多样,最多的是通过关系式,如: f (an , an?1 ) ? 0 或 f (an , S n ) ? 0 ,
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

只有对上述关系式进行适当的变形,才能得到递推关系的基本形式. 求递推数列的通项公式的方法较多,也比较灵活,但就高考而言,主要应掌握一些常见的方 法,其解题的基本思想方法是:把问题转化为等差数列或等比数列的问题加以解决. 重点掌握三种类型的递推公式 I.递推公式为: an?1 ? an ? f (n) 时,若 f (n) 是常数,则数列是等差数列;否则,可以用垒 加法; (源于等差数列的通项求法) 应用 1.在数列 ?a n ?中, a1 =0, a n ?1 = a n +(2n-1) (n∈N);求通项公式 a n . 解:由 a n ?1 = a n +(2n-1)得:
a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 3 , a4 ? a3 ? 5 ,? an?1 ? an?2 ? 2n ? 5 , an ? an?1 ? 2n ? 3 ;

将以上(n-1)个式子左右两边分别相加,得: an ? a1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 3 ,又∵ a1 ? 0 ,∴ a n =(n-1) 2

应用 2.在数列 ?a n ?中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 n (n∈N);求通项公式 a n . an ? 2n ?1 2 1 应用 3.若数列 ?a n ?, a1 ? , 且a n ?1 ? a n ? (n∈N), 则通项 a n =_7n+1/6n+6_______. 3 (n ? 2)(n ? 1) a II.当递推公式为: n ?1 ? f (n) 时,若 f (n) 是常数,则数列是等比数列;否则,可以用垒积 an 法; (源于等比数列的通项求法) n ?1 应用 4.设 {an } 是 a1 =1 的正项数列,且 an ? an?1 ,求 a n . n 2 2 变式:设 {an } 是 a1 =1 的正项数列,且(n+1) an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 ,求 a n . a a 2 2 解:在等式(n+1) an (n+1) n ?1 ? n n +1=0 ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 两边同除 an ?1an 得: an a n ?1 a 1 令 n ?1 = t (t>0),则(n+1) t ? n +1=0 ,∴(n+1) t 2 ? t ? n ? 0 an t a n n ∴[(n+1) t -n][ t +1]=0 ? t +1 ? 0, ∴ t = 即 n ?1 = an n ? 1 n ?1 a a an a a 1 a 2 3 4 n?2 n ?1 ? ∴ 2 ? , 3 ? , 4 ? , 5 ? ,?, n ?1 ? , a1 2 a 2 3 a3 4 a4 5 an?2 n ? 1 a n ?1 n a 1 1 将以上(n-1)个式子左右两边分别相乘,得 n ? ,又 a1 =1 ∴ a n = a1 n n
18

?

?

n?2 an 。 3 (Ⅰ)求 a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 n?2 解: (1)由 a1 ? 1 与 Sn ? an 可得 3 2?2 3? 2 2 S2 ? a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 3 故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 。 n?2 n ?1 (2)当 n ? 2 时, Sn ? an ① Sn?1 ? an?1 ② 3 3 n?2 n ?1 Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 ① - ② 可 得 3 3 a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1
应用 5.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn ? 故有 an ? 而



an an?1 a n ?1 n 3 n2 ? n ? ??? 2 ? a1 ? ? ??? ?1 ? an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2

12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2 III.当递推公式为:an?1 ? pan ? q ( p, q 是常数)时,可以用构造等比数列的方法; (构造一:

待定系数法实际是给出配凑的理论依据;构造二:再写一项作差法) 应用 5.在数列 ?a n ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 , ?n ? 1? , 则该数列的通项 an ? 解: (法一) 由 an?1 ? 2an ? 3 , ?n ? 1?得: an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? ∴
a n ?1 ? 3 ? 2 ∴ ?a n ? 3?是以 a1 ? 3 ? 4 为首项以 2 为公比的等比数列. an ? 3

∴ an ? 3 ? 4 ? 2 n?1 ∴ an ? 2 n?1 ? 3 (法二)由 an?1 ? 2an ? 3 ,得

an ? 2an?1 ? 3 两式作差得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) ∴ ?an ? an?1 ? 是以 a 2 ? a1 为首项以 2 为公比的等比数列. 又 a1 ? 1 , a2 ? 2a1 ? 3 ? 5
∴ an ? an?1 ? 4 ? 2 n?2 , 又∵ an ? 2an?1 ? 3 ,∴ an ? 2 n?1 ? 3 应用 6.在数列 ?a n ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 , ?n ? 1? , 则该数列的通项 an ? 应用 7.设数列 ?a n ?的前项 n 和为 S n ,

?a

n

? 2 ? 3n?1 ?1

?

已知 a1 ? a, an?1 ? S n ? 3n , n ? N * ,设 bn ? S n ? 3n , 求数列 ?bn ?的通项公式; 解:依题意, S n?1 ? S n ? an?1 ? S n ? 3n ,即 S n?1 ? 2S n ? 3n , 由此得 S n?1 ? 3n?1 ? 2(S n ? 3n ) ∴ S n ? 3n 是以 S1 ? 3 ? a ? 3 为首项以 2 为公比的等比数列. 因此所求通项公式为 bn ? S n ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N * 应用 8、设数列{ a n }的前 n 项和 S n .已知首项 a1 =3,且 S n ?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通项公式 a n 及 前 n 项和 S n .
19

?

?

解: S n ?1 + S n =2 a n ?1 =2( S n ?1 - S n )∴ Sn ? 3n

应用 9、设数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ,且 S n ? 2an ? 3, (n ? N * ) ,求此数列{ a n }的通项 a n ; 说明:要有 S n 与 a n 之间的转化的意识, S n 与 a n 的关系主要体现在: ①当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 , ② a n 转化为 S n ,直接用; S n 转化为 a n ,一般是写出两个关于 S n 与 S n ?1 的式子,通过做差 得到. 应用 10. 【2012 高考广东文 19】 设数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N* . (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1 。因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1 ,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ?1, 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 ① 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2n ? 1 ② ② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 , a ?2 a ?2 ? 2 (n ? 2) ,求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则 2 ?2。 所以 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即 n ?1 an ? 2 a1 ? 2
n ? N* 。

?an ? 2 ? 3n?1

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 , 所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ,

? 公式法 ? 倒序求和法 ? ?错位相减法 数列求和的常用方法 ? ?裂项相消法 ? ? ?分组求和法

1 1 1 1 ? ? ??? n? N* 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n?n ? 1? 1 1 1 ? ??? (n ? N ? ) 推广:求和 1 ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n 1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 解:? a n ? 1 ? 2 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1 这样,数列的每一项均可写成这个形式,相邻项抵消,再求和. ? 1 1 1 ? ∴ S n ? 2? ? ??? n(n ? 1) ? ?1 ? 2 2 ? 3 ? 2n 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 ? n ?1 n ?1 ? 1 1 1 1 ? 则其前 n 项和 Sn=_n/2n+4_______. 应用 2.已知数列 , , ,?, 6 12 20 (n ? 1)(n ? 2) 1 应 用 3 . 数 列 {an} 的 通 项 公 式 a n ? , 已 知 它 的 前 n 项 和 为 Sn=9 , 则 项 数 n= n ?1 ? n ( C ) (A)9 (B)10 (C)99 (D)100 1 3 5 2n ? 1 应用 4.求 S n ? ? ? ? ? ? 2 4 8 2n ?1? 分析:此数列中,各项是由一个等差数列{ 2n ? 1}与一个等比数列 ? n ? 对应项乘积组成,可 ?2 ?

应用 1.求和

?

?

20

用错位相减法求和. 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? n ?1 (乘 的目的是什么?) 解: S n ? ? ? ? ? n 2 4 8 2 2 2 将两式相减,得 1 1 2 2 2 2n ? 1 (1 ? ) S n ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 4 8 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 2n ? 1 1 2 ? 2n ? 1 ? 1 即 S n ? 2( ? ? ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? 2 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2 1 2n ? 1 S n ? 3 ? n?2 ? n 2 2 2 3 4 应用 5.求 1a ? 2a ? 3a ? 4a ? ?? nan , a ? 0且n ? N * 1 1 1 1 1 应用 6.求 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n n 2 4 8 16 2 应用 7.【2012 高考浙江文 19】已知数列{ a n }的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn} 满足 a n =4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 a n ,bn;

?

?

(2)求数列{ a n ·bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (2) 由 Sn= 2n 2 ? n ,得 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1 ,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )] ? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡. 应用 8. 【2012 高考江西文 17】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2 ? 4, a6 ? 8a3

(1)求 a n ;

(2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn。 【解析】(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )

a6 c 6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c 2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 (2) nan ? n2n ,则

综上所述 an ? 2n (n ? N * )

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2 n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

(1)-(2)得 ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1 Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1 注意首项 a1 和公差 d 及公式的直接应用;注意首项 a1 和公比 q 及公式的直接应用 1 1.已知 ?a n ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,若 a1 ? , S 2 ? a3 ,则 a 2 =______, S n =_____。 2
21

【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 2 1 n ? n 4 4
1 1 ? a2 ? a1 ? d ? 1 , Sn ? n(n ? 1) 。 2 4

【解析】? S2 ? a3 ,所以 a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? 2.首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【解析】 : S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2 3.等比数列{ a n }的前 n 项和为 Sn,若 S 3 +3 S 2 =0,则公比 q=_______

【解析】当 q =1 时, S 3 = 3a1 , S 2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ a n }是等比数列矛盾,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q 4.等比数列{ a n }的前 n 项和为 Sn, 公比不为 1。 若 a1 =1, 且对任意的 n ? N* 都有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 , 则 S5=_________________。 【答案】11【解析】由已知可得公比 q=-2,则 a1=1 可得 S5。 1 1 5. 已知等比数列 ?a n ? 中, a1 ? , q ? , 3 3 1 ? an (1) s n 为数列 ?a n ? 前 n 项的和,证明: sn ? 2 (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a 2 ?? ? log3 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? an 1 1 1 解: (1)?a n ? ? ( ) n?1 ? n ,? s n ? 3 3 2 3 n(n ? 1) (2) ? bn ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 an ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? 2 6.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30 求 a n 和 S n
故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,

?a1q ? 6, ?a ? 3, ?a1 ? 2, 【解析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,由题 ? 解得 ? 1 或? 2 q ? 2, 6 a ? a q ? 30, ? ?q ? 3. ? 1 1 n a (1 ? q ) 所以 a1 ? 3, 则 an =a1qn?1 ? 3? 2n?1. Sn = 1 ? 3 ? 2n ? 3 1? q a (1 ? q n ) a1 ? 2, 则 an =a1qn?1 ? 2 ? 3n?1. Sn = 1 ? 3n ? 1 1? q 7.设 ?an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 s n 。 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 , 即 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1 (舍去) ,因此 q ? 2. 所以 {an } 的通项为

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ).
2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. ? 2n ?1 ? n 2 ? 2. 1? 2 2 8.已知{错误!未找到引用源。 }是等差数列,其前 n 项和为错误!未找到引用源。 , { bn 错误!

(II) Sn ?

未找到引用源。 }是等比数列,且 a1 ? b1 =2,错误!未找到引用源。, S 4 ? b4 =10 求数列{错误!未找到引用源。 }与{ bn 错误!未找到引用源。 }的通项公式; 【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ;

22

? 2 ? 3d ? 2q 3 ? 27 ?a4 ? b4 ? 27 ?d ? 3 ?? ?? 则 ? 3 ?q ? 2 ? S 4 ? b4 ? 10 ?4a1 ? 6d ? 2q ? 10

得: an ? 3n ?1, bn ? 2n

23


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