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2016年高考理科数学总复习解析几何8-8


高考调研

新课标版 ·数学(理) ·高三总复习

第九章 解析几何

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第九章

解析几何

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第8课时

双 曲 线 (二)


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第九章

解析几何

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1.掌握双曲线的几何性质.

2.了解直线与双曲线的位置关系.
请注意 以曲线为载体考查圆锥曲线的处理思想、方法、规律, 也是高考命题的特点,此部分多以选择、填空题形式考查.

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第九章

解析几何

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课 前 自 助 餐

授人以渔

题 组 层 级 快 练

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课前自助餐

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直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系 x2 y2 ? ? 2- 2=1, 联 立 ?a b 得 ? ?y=kx+m, (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. ①相切:b2-a2k2≠0,Δ=0. ②相交:b2-a2k2≠0,Δ>0. ③相离:b2-a2k2≠0,Δ<0.
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1. 如 果 直 线

y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个 ) 5 5 B.- <k< 2 2 5 D.- <k<1 2

公共点,求k的取值范围( 5 A.1<k< 2 5 C.- <k<-1 2

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解析几何

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答案 A
解析

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联立消去y得(1-k2)x2+2kx-5=0,

此方程有两个不等的正根,则有 ?4k2+20?1-k2?>0, ? ?- 2k 2>0, ? 1-k ? -5 ? 2>0, ?1-k 5 所以1<k< 2 .故选A.
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? ?- 5<k< 5, 2 ? 2 即? ?k>1或-1<k<0, ? ?k>1或k<-1,

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解析几何

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2. 若 双 曲 线 kx(k> 0 ) , 离 心 率 为 x2 y2 A.a2-4a2=1 x2 y2 C.4b2-b2=1
答案 C

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x2 y2 - 2 =1的 一 条 渐 近 线 方 程 为 a2 b e= 5k, 则 双 曲 线 方 程 为 x2 y2 B.a2-5a2=1 x2 y2 D.5b2-b2=1 ( )

y=

b 解析 由已知k=a,e= 5k,得c= 5b,所以a=2b.

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3.过双曲线x2-y2=4上任一点M(x0,y0)作它的一条渐近 线的垂线段,垂足为 N , O 是坐标原点,则△ MON 的面积是

(

)
A.1 C.4 答案 A
|x0-y0| |x0+y0| 解析 渐近线方程y=± x,d1d2= · = 2 2

B.2 D.不确定

2 |x2 - y 0 0| 2 =2,注意两条渐近线垂直,所以S=1.

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4.若双曲线x2-y2=1的右支上一点P(a,b)到直线y=x 的距离为 2,则a+b的值为( 1 A.-2 C.- 2 答案 B 1 B.2 D. 2 )

|a-b| 解析 由点到直线的距离为 = 2 ,点在双曲线右 2

支上,则a2-b2=1,且(a,b)在x-y=0下方,∴a-b>0.于 1 是上式相除得到a+b= . 2
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5. 过 双 曲 线

x2 y2 0 ) 的 右 顶 点 A作 斜 率 为 a2 - b2 =1(a>0,b>

-1的 直 线 , 该 直 线 与 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 1→ → B,C.若AB=2BC, 则 双 曲 线 的 离 心 率 是 A. 2 C. 5 B. 3 D. 10 ( )

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答案 C

解析 对于A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,直线与 -ab a2 ab a2 两渐近线的交点为B,C,B( , ),C( , ), a+b a+b a-b a-b
2 2 2 a b 2 a b ab ab → → 则有BC=( 2 , ), 2,- 2 2),AB=(- a -b a -b a+b a+b

→ =BC → ,∴4a2=b2,∴e= 5. ∵2AB

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授人以渔

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题型一

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直线与双曲线的位置关系

例1 已 知 双 曲 线

x2 2 C: 3 -y =1.

(1)若l1:y=kx+m(km≠0)与双曲线C交于不同的两点 M,N,且M,N都在以A(0,-1)为圆心的圆上,求实数m 的取值范围; (2)若将(1)中的“双曲线C”改为“双曲线C的右支”, 其余条件不变,求m的取值范围.

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【 解 析 】
? ?y=kx+m, ? 2 2 ? x - 3 y =3, ?

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( 1 ) 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由 消去y,得(1-3k2)x2-6kmx-3(1+m2)=0.

∵l1与C有两个交点,
2 ? ?1-3k ≠0, ∴? 2 2 ? Δ = 12· ? 1 + m - 3 k ?>0. ?



-3?m2+1? 6mk ∵x1+x2= ,x x = , 1-3k2 1 2 1-3k2

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设MN的中点为G(x0,y0),则 3km m x0= ,y = . 1-3k2 0 1-3k2 1+m-3k2 ∵AG⊥MN,∴ 3km · k=-1. ∴3k2=4m+1 .② 1 由①②式,得- <m<0或m> 4 . 4

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( 2 ) ∵l1与 双 曲 线 右 支 有 两 个 不 同 的 交 点 , ? ? 6mk 2>0, ?1-3k ∴? 2 - 3 ? m +1? ? 2 >0. ? 1 - 3 k ? 4. ③

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由①②③④式,得m> ④

1 【答案】 (1)-4<m<0或m>4 (2)m>4

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探究1

(1)①本题中第一问由于直线与双曲线有两交点,

因而用判别式Δ求范围; ②由于直线与双曲线右支有两个不同交点,因而除Δ判别 式外,还要限制x1+x2>0,x1x2>0. (2)凡是涉及到直线与圆锥曲线的公共点,一般要由判别 式得不等关系,并且应注意判别式的适用范围,若圆锥曲线 不完整时,应加强限制.

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思考题1

过点(0,2)的直线l与双曲线x2-y2=2相 2 ,求直线l

交于不同两点E,F,若△OEF的面积不小于2 的斜率的取值范围.

【解析】

根据题意可设直线l的方程为y=kx+2,代入

双曲线C的方程,得x2-(kx+2)2=2,即(1-k2)x2-4kx-6=0. 因为直线l与双曲线C相交于不同两点E,F,

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2 ? ?1-k ≠0, 则? 2 2 ? Δ = ? - 4 k ? + 4 × 6 ? 1 - k ?>0, ?

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? 1, ?k≠± 即? ? ?- 3<k<

3.

设点E(x1,y1),F(x2,y2), 4k 6 则x1+x2= ,x x =- . 1-k2 1 2 1-k2 所以|EF|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x1-x2?2= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2
2 2 2 3 - k = 1+k2· . 2 |1-k |

2 又原点O到直线l的距离d= 2, 1+k
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所 以 S△O E F 2 2 3-k2 . |1-k2|

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2 2 2 3 - k 1 1 2 2 = 2 d· |EF|= 2 · · 1 + k · = 2 2 |1-k | 1+k

2 2 3-k2 因为S△OEF≥2 2,则 ≥2 2 ? 2 |1-k | k4-k2-2≤0,解得- 2≤k≤ 2. 综上可得,直线l的斜率的取值范围是 [- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2].
【答案】 [- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2]
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题型二

弦中点、中点弦问题

例2 已知双曲线方程2x2-y2=2. (1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程; (2)求过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1, Q2 两点,且点B是弦Q1Q2 的中点?这样的直线l 如果存在,求

出它的方程;如果不存在,说明理由.
【思路】 求”的策略. 对于 “ 中点弦 ” 问题,往往采用 “ 设而不

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【解析】 ( 1 ) 设以A( 2 1 ,)

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为中点的弦两端点分别为

P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有x1+x2=4,y1+y2=2 . 又据对称性知x1≠x2, y1-y2 所以 是中点弦P1P2所 在 直 线 的 斜 率 , 因 此 不 必 求 x1-x2 出点P1,P2的 坐 标 , 只 要 确 定 比 值 决.由P1,P2在 双 曲 线 上 , 则 有 两式相减,得
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y1-y2 x1-x2

,问题就可解

2 2 2 2x2 - y = 2 2 , x - y . 1 1 2 2=2

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2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0. ∵x1+x2=4,y1+y2=2.∴=4. 所求中点弦所在直线方程为 y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.

严格地讲,求出的这个直线方程只是满足了必要性,因
为是我们假定过 A 点的直线与双曲线交于 P1(x1 , y1) 与 P2(x2 , y2) 两点,因此还必须验证充分性,即所求直线确定与双曲线 有两个交点.为此只要将直线方程与双曲线方程联立消 y( 或 x),得Δ>0就可断言充分性成立.事实上,从2·22-12=7>2,

也可判定A(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域).
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(2)可假定直线l存在,采用(1)的方法求出l的方程为y-1 =2(x-1),即2x-y-1=0.
2 2 ? ?2x -y =2, 联立方程组? ? ?2x-y-1=0,

消y,得2x2-4x+3=0.

∵Δ=(-4)2-4· 2· 3=-8<0,无实根,因此直线l与双曲 线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.

【答案】 (1)4x-y-7=0 (2)不存在

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探究2 ( 1 ) 点差法:

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即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将 y1-y2 两式相减,式子中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量, x1-x2 这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点坐标公式 即可求得斜率. ( 2 ) 根与系数的关系: 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元 二次方程后由根与系数的关系求解.
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注意:中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与 系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问

题;点差法在确定范围方面略显不足.

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高考调研 思考题2

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2 y 已知双曲线x2- =1上存在两点M, 3

N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=18x 上,则实数m的值为________.

【解析】 设M(x1,y1),N(x2,y2),
2 ? 2 y1 ?x1- =1, ① 3 ? ? 2 y2 2 MN的中点P(x0,y0),则?x2- 3 =1, ② ? ?x1+x2=2x0, ③ ? ?y1+y2=2y0, ④
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1 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= 3 (y2-y1)(y2+y1), 显 然 x1≠x2. y2-y1 y2+y1 y0 ∴ · =3, 即 kMN· x0=3. x2-x1 x2+x1 ∵M,N关 于 直 线 y=x+m对 称 , ∴kMN= - 1,∴y0= - 3x0.又∵y0=x0+m, m 3m ∴P(- , ), 代 入 抛 物 线 方 程 , 得 4 4 9 2 m 8 ( · - 4 ). 解 得m=0或 - 8, 经 检 验 都 符 合 . 16m =1 【答案】 0或-8
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题型三 双曲线中最值、范围问题
例3 ( 2 0 1 4 · >0)的 右 焦 点 为 江 西 理 )如 图 , 已 知 双 曲 线 x2 C: 2 -y2=1(a a AF⊥x

F.点A,B分 别 在 C的 两 条 渐 近 线 上 , ).

轴 , AB⊥OB,BF∥OA(O为 坐 标 原 点

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( 1 ) 求 双 曲 线 C的 方 程 ; x0x ( 2 ) 过C上 一 点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线l: a2 -y0y=1与直 3 线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N.证明:当点P在C 2 |MF| 上移动时, |NF| 恒为定值,并求此定值.

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【思路】

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(1)结合双曲线的几何性质,利用方程思想求

解;(2)先确定直线方程并求解相应的交点坐标,再代入化简

求值.
【解析】 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c= a2+1 .直

1 1 线OB方程为y=- x,直线BF的方程为y= (x-c), a a

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c c 解得B(2,-2a). 1 又直线OA的方程为y=ax, c c a-?-2a? 3 c 则A(c,a),kAB= c =a. c- 2

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3 1 又因为AB⊥OB,所以a· (-a)=-1,解得a2=3 . x2 2 故双曲线C的方程为 -y =1 . 3
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( 2 ) 证 明 : 由 ( 1 ) 知a= 3, 则 直 线 l的 方 程 为 x0x-3 x0x -y0y=1(y0≠0), 即 y= . 3 3y0 因 为 直 线 AF的 方 程 为 x=2, 所 以 直 线 2x0-3 M(2, 3y ); 0 3 x -3 3 3 2 0 直 线 l与 直 线 x=2的 交 点 为 N(2, 3y ). 0 l与AF的 交 点

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?2x0-3?2 ?2x0-3?2 ?3y0?2 |MF|2 则 |NF|2 = ?3 ? =9y2 9 0 2 2 ? x0-3? + ? x 0-2? 4 4 1 ?2 ? + 4 ?3y0?2
2 4 ?2x0-3? = · 2 . 3 3y0+3?x0-2?2

x2 0 因为P(x0,y0)是C上一点,则 -y 2 0 =1,代入上式,得 3 ?2x0-3?2 |MF|2 4 2 |NF|2 =3· x2 - 3 + 3 ? x - 2 ? 0 0
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2 4 ?2x0-3? 4 = · 2 = . 3 4x0-12x0+9 3

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所 求 定 值 为

|MF| 2 2 3 = = . |NF| 3 3

x2 2 2 3 【答案】 (1) 3 -y =1 (2) 3

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探究3

求圆锥曲线中的最值问题的基本思路是建立目标

函数或寻找几何特征.而求圆锥曲线中的范围问题的关键是

建立目标不等式,根据目标不等式求范围.

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思考题3

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已知中心在原点的双曲线C的右焦点

为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+ 2 与双曲线C恒有两个不同的交点 →· → >2(其中O为原点),求实数k的取值范围. A和B,且OA OB x2 y2 【解析】 (1)设双曲线C的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
由已知得a= 3,c=2,再由c2=a2+b2,得b2=1. x2 2 所以双曲线C的方程为 3 -y =1.
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x2 2 ( 2 ) 将y=kx+ 2代入 3 -y =1中, 整理,得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

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2 ? ?1-3k ≠0, 由题意得? 2 2 2 ? ?Δ=?6 2k? +36?1-3k ?=36?1-k ?>0.

1 2 故k ≠3且k <1.①
2

6 2k 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB= ,xAxB= 1-3k2 -9 → OB → >2,得x x +y y >2. 2.由OA· A B A B 1-3k
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xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2 )(kxB+ 2 )=(k2+1)xAxB+
2 - 9 3 k +7 6 2 k 2 2k(xA+xB)+2=(k +1)· , 2 + 2 k· 2 +2= 2 1-3k 1-3k 3k -1

3k2+7 -3k2+9 1 2 于是 2 >2,即 2 >0,解得3<k <3.② 3k -1 3k -1 1 2 由①②得 <k <1. 3 3 3 所以k的取值范围为(-1,- 3 )∪( 3 ,1).

x2 2 3 3 【答案】 (1) 3 -y =1 (2)(-1,- 3 )∪( 3 ,1)
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直线与圆锥曲线位置关系,是解析几何中的重点,弦 长、弦中点、最值、范围等方法都要认真体会.

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题组层级快练

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