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解析几何初步检测试题 (1)


第二章 解析几何初步检测试题
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中为真命题的是 A.平行直线的倾斜角相等 C.互相垂直的两直线的倾斜角互补 B.平行直线的斜率相等 D.互相垂直的两直线的斜率互为相反 ( ) ( )

2. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a

正确的是
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D. ( )

3.已知点 A(1, 2) 、 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5

4.如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 为 A. ?





3 2

B. ? 6

C. ? 3

D.

2 3


5. 过直线 3x ? y ? 1 ? 0 与 x ? 2 y ? 7 ? 0 的交点, 且与第一条直线垂直的直线 l 的方程是 ( A. x ? 3 y ? 7 ? 0
2 2

B. x ? 3 y ? 13 ? 0

C. 2 x ? y ? 7 ? 0

D. 3x ? y ? 5 ? 0 ( )

6.与圆 x ? y ? 4 y ? 2 ? 0 相切,并在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线共有 A.6 条 B.5 条 C.4 条 D.3 条

2 7.直线 x ? 2 被圆 x ? a) ? y 2 ? 4 所截得的弦长等于 2 3 ,则 a 的值为 (





A、-1 或-3
2

B、 2或 ? 2
2

C、1 或 3
2 2

D、 3

8.已知 ? O1 : x ? y ? 4x ? 6 y ? 0 和 ? O2 : x ? y ? 6x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 的垂直 平分线的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 3x ? y ? 9 ? 0 ( )

D. 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 ( )

9.两点 A(a ? 2, b ? 2) 、B (b ? a, ? b) 关于直线 4 x ? 3 y ? 11对称,则

1

A. a ? ?4, b ? 2

B. a ? 4,

b ? ?2

C. a ? 4, b ? 2

D. a ? 2, b ? 4 ( D. 86 )

10.空间直角坐标系中,点 A(?3, 4, 0) 和点 B(2, ?1, 6) 的距离是 A. 2 43 B. 2 21 C. 9

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.直线 y ? 2 x 关于 x 轴对称的直线方程为 . ,

12.已知点 P(1,1) 和直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 ,则过 P 与直线 l 平行的直线方程是 过点 P 与 l 垂直的直线方程是 .

13.直线 l 经过直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 7 ? 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等,则 直线 l 的方程是_____ _.

14.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4) , B(0, ?2) ,则圆 C 的方程 为 .

15.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 16.经过 A(2,?1) 和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆的方程为_____________ _________ __________ .

第Ⅱ卷

2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上) 11.________________________ 13._________________________ 15._________________________ 12._______________________ 14.______________________ 16._______________________

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(12 分)求经过点 A(1,2) 且到原点的距离等于 1 的直线方程.

18. (14 分) 已知一曲线是与两个定点 O(0, 0) 、 A(3, 0) 距离的比为 求此曲线的方程.

1 的点的轨迹,则 2

19.(14 分) 求垂直于直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 , 且与两坐标轴构成周长为 10 的三角形的直 线方程

3

20.(15 分) 自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在 直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程.

21(15 分)圆 x 2 ? y 2 ? 8 内有一点 P(?1, 2) , AB 为过点 P 且倾斜角为 ? 的弦, (1)当 ? =1350时,求 AB ; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线 AB 的方程; (3)设过 P 点的弦的中点为 M ,求点 M 的坐标所满足的关系式.

参考答案及评分标准
4

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1 A

2 C

3 B

4 B

5 B

6 D

7 C

8 C

9 C

10 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

11. y ? ?2 x .

12. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 . 14. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 15. 3

13. 3x ? 4 y ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0
16. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(12 分) (1)当过点 A(1,2) 的直线与 x 轴垂直时,则点 A(1,2) 到原点的距离为 1,所以 x ? 1
为所求直线方程. (2)当过点 A(1,2) 且与 x 轴不垂直时,可设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 即: kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,由题意有 故所求的直线方程为 y ? 2 ? …………5 分

| ?k ? 2 | k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

3 , 4

…………10 分

3 ( x ? 1) ,即 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 4
…………12 分

综上,所求直线方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .

18.(14 分) 解:在给定的坐标系里,
设点 M ( x, y ) 是曲线上的任意一点,则

| OM | 1 ? . | AM | 2

…………4 分

由两点间的距离公式,点 M 所适合的条件可以表示为

x2 ? y2 ( x ? 3) ? y
2 2

?

1 , …………8 分 2

两边平方,得

x2 ? y2 1 ? ,化简整理有: x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 , 2 2 4 ( x ? 3) ? y
2 2

化为标准形式: ( x ? 1) ? y ? 4 , 所以,所求曲线是以 C(-1,0)为圆心,2 为半径的圆

…………12 分 …………14 分

19.(14 分)解:由所求直线能与坐标轴围成三角形,则所求直线在坐标轴上的截距不为 0,故可
设该直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a, b ,又该直线垂直于直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ,且与两坐标

5

?b 4 ? ? 轴构成周长为 10 的三角形,故有 ? a 3 , ?| a | ? | b | ? a 2 ? b 2 ? 10 ?

…………9 分

5 5 ? ? ?a ? 2 ?a ? ? 2 ? ? 解得: ? 或? , ?b ? 10 ?b ? ? 10 ? 3 ? 3 ? ?
所以所求直线方程为 4x ? 3y ? 10 ? 0 或 4x ? 3y ? 10 ? 0 .

…………12 分

…………14 分

20. (15 分)

解法一:,已知圆的标准方程是:(x-2)2+(y-2)2=1, 它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1. 设光线 L 所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) , 由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d= 整理得:12k2+25k+12=0,解得 k= - 或 k= - . 故所求直线方程是 y-3= 4 4 (x+3),或 y-3= - (x+3), 3 3 3 4 4 3

…………5 分
|5k ?5| 1?k 2

=1.

…………10 分 …………13 分

即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0.

…………15 分

解法二:已知圆的标准方程是:(x-2)2+(y-2)2=1, 设光线 L 所在的直线的方程是:y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) , 由题意知 k≠0,则 L 的反射点的坐标是(所以反射光线 L? 所在直线的方程为 y= -k(x+
3(1? k ) ,0) ,因为光线的入射角等于反射角, k 3(1? k ) ), k

即 y+kx+3(1+k)=0.这条直线与已知圆相切,故圆心到直线的距离为 1,即 d= 一

|5k ?5| 1?k 2

=1.以下同解法

0 21(15 分)解: (1)过点 O 做 OG ? AB 于 G ,连结 OA ,当 ? =135 时,直线 AB 的斜率为-1,

6

故直线 AB 的方程 x+y-1=0,∴OG=d=

0 ? 0 ?1 2

?

2 , 2

…………2 分

又∵r= 2 2 , ∴ OA ? 8 ?

1 15 30 ,∴ ? ? 2 2 2

AB ? 2 OA ? 30 ,
1 , 2

…………5 分

(2)当弦 AB 被 P 平分时, OP ? AB ,此时 KOP= ?

),即 x ? 2 y ? 5 ? 0 . ∴ AB 的点斜式方程为 y ? 2 ? (x ? 1

1 2

…………10 分

) ? y ? 2 ? k(x ? 1 ? (3)设 AB 的中点为 M ( x, y ) , AB 的斜率为 K, OM ? AB ,则 ? , 1 ?y ? ? k x ?
消去 K,得: x 2 ? y 2 ? 2 y ? x ? 0 ,当 AB 的斜率 K 不存在时也成立,故过点 P 的弦的中点的 轨迹方程为: x 2 ? y 2 ? 2 y ? x ? 0 . …………15 分

7


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