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高中数学课件 柱体、锥体、台体的表面积与体积


1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式. 2.掌握柱体、锥体、台体的体积的计算. 3.会利用表面积和体积公式解决一些简单的实际问题.

1.柱体的表面积 S侧+2S底 (1)棱柱的表面积:S表=_________. ①其中底面周长为C,高为h的直棱柱的侧面积: Ch S侧=___; ②长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积: 2(ab+ac+bc) S表=____________; 6a2 ③棱长为a的正方体的表面积:S表=___.

(2)圆柱的表面积:底面半径为r,母线长为l的圆柱的侧面 2π rl 2π r(r+l) 积:S侧=_____,表面积:S表=_________.

2.锥体的表面积 S底 (1)棱锥的表面积:S表=S侧+___; 底面周长为C,斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的
1 Ch? 正棱锥的侧面积:S侧=_____. 2

(2)圆锥的表面积:底面半径为r、母线长为l的圆锥的侧面积 π rl π r(r+l) S侧=____,表面积:S表=________.

3.台体的表面积 S侧+S上底+S下底 (1)棱台的表面积:S表=_____________. (2)圆台的表面积:两底面半径分别为r′,r,母线长为l的圆 π (r′+r)l 台的侧面积:S侧=__________, π (r′2+r2+r′l+rl) 表面积:S表=__________________.

4.柱体、锥体、台体的体积

Sh (1)柱体的体积:V柱体=___(S表示柱体的底面面积,h表示柱
体的高).
1 Sh 3 (2)锥体的体积:V锥体=_____(S表示锥体的底面面积,h表示

锥体的高).
1 (S? ? S?S ? S)h (3)台体的体积:V台体=______________(S′,S分别表示台体 3

的上、下底面面积,h表示台体的高).

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.( )

(2)若一棱柱的底面周长为C,侧棱长为l,则该棱柱的侧面积等 于C·l.( )
2

(3)一个圆柱的高伸长为原来的2倍,底面半径缩短为原来的 1 , 体积不变.( ) )

(4)简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关.(

提示:(1)正确.多面体的表面积是几何体表面的面积,因此表 面积=侧面积+底面积.故此说法是正确的. (2)错误.只有直棱柱的侧面积才等于底面周长C与侧棱长l的

乘积,故此说法是错误的.
(3)错误.因为圆柱的体积为πr2h,所以体积变为原来的.

(4)正确.根据几何体的体积计算公式,可知该说法正确.
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的体积为 (2)圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的体积为 . .

(3)圆柱的一个底面面积为S,高为h,则这个圆柱的侧面积等 于 .

【解析】(1)根据长方体的体积计算公式得V=abc. 答案:abc (2) V ? 1 ? ?? 12 ? 2 ? 2? .
3 2 答案: ? 3 3

(3)设圆柱的底面半径为r,则S=πr2,所以 r ? S,
?

所以侧面积为 2? S ? h ? 2 ?Sh .
?

答案: ?Sh 2

一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 探究1:直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是什么图 形? 提示:直棱柱的侧面展开图是矩形;正棱锥的侧面展开图是由 各侧面的三角形组成的;正棱台的侧面展开图是由各侧面的等 腰梯形组成的.

探究2:对于一个多面体,如果沿不同
的棱将它剪开,然后展开,那么得到的

展开图相同吗?其表面积是否相等?

探究提示:从几何 体的侧面展开图考 虑探究

提示:由于剪开的棱不同,同一个多面体的表面展开图可能不

是全等的多边形,但是无论如何剪开,同一个多面体的表面展
开图的表面积是一样的.

【探究提升】对棱柱、棱锥、棱台的表面积的两点说明 (1)求棱柱、棱锥、棱台的侧面积是将它们的侧面展开后放到 一个平面内来求,这种将空间图形问题转化为平面图形问题来 求解的方法,在立体几何中经常用到. (2)求棱柱、棱锥、棱台的表面积可以先求侧面积,再求底面 积.

二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 探究1:观察下面几个几何体的侧面展开图,思考下面的问题:

(1)圆柱的侧面展开图为
为 ;圆台的侧面展开图为

;圆锥的侧面展开图
.

提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别为矩形、扇形、 扇环. 答案:矩形 扇形 扇环

(2)圆柱的侧面展开图中长和宽分别由圆柱的哪些量确定? 提示:圆柱的侧面展开图中长是圆柱的底面圆周长2πr,宽是 圆柱的母线长l.

(3)圆锥的底面半径为r,母线长为l,则其展开图扇形的半径和

弧长各是多少?
提示:其展开图扇形的半径为圆锥的母线长l,弧长为圆锥底

面圆的周长2πr.

探究2:仔细观察圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式说出它们之

间具有什么关系?
提示:根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征,不难得到它们的侧

面积的关系,具体如下.

【探究提升】对圆柱、圆锥、圆台的表面积的两点说明 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积, 所以弄清它们的侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段或 曲线段与原旋转体的关系是掌握它们侧面积公式及解有关问 题的关键. (2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积先求侧面积,再求底面积,其 和即为该几何体的表面积.

【拓展延伸】圆锥、圆台侧面展开图中扇形、扇环的圆心角 (1)圆锥的侧面展开图的圆心角为:θ= r ·360°(r表示圆锥
l

的底面半径,l表示圆锥的母线长).

(2)圆台的侧面展开图的圆心角为: ? R ? r ·360°(R表示圆 ?
l

台下底面半径,r表示圆台上底面半径,l表示圆台的母线长).

三、柱体、锥体、台体的体积 V柱体=Sh,V锥体=
1 Sh,V台体= 1 (S′+ 3 3

S?S +S)h

探究1:柱体的体积与哪些量有关? 提示:柱体的体积仅与它的底面积和高有关,而与底面的形 状以及是斜棱柱或直棱柱无关.

探究2:对于三棱锥在求体积时,底面固定吗?怎样确定哪个 面为底面? 提示:不固定,三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面, 关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出,就选哪个面为 底面.

探究3:若圆台的上底面半径为r′,下底面半径为r,高为 h,则圆台的体积如何用上述量表示? 提示:由台体的体积计算公式V台体= 1 (S? ? S?S ? S)h
3

其中S′=πr′2,S=πr2,
S?S ? ?r?2 ??r 2 ? ?r?r,

V圆台= 1 (?r?2 ? ?r?r ? ?r 2 ) ? 1 ?(r?2 ? r?r ? r 2 ).
3 3

【探究提升】求几何体体积应注意的问题
(1)求柱体的体积关键是求柱体的底面积和相应的高. (2)求锥体的体积的时候,要明确锥体的底面是个什么图形, 如果是多边形,则是棱锥,如果底面是圆,则是圆锥.无论是 正棱锥,还是斜棱锥,体积公式都是相同的. (3)台体可以看作是由一个平行于底面的平面去截取一个锥 体,截去小锥体后,剩余的部分即为台体.故台体的体积可以 由大锥体的体积减去小锥体的体积,也可以利用体积公式 V台体= 1 (S? ? S?S ? S)h 计算.
3

类型 一

柱体、锥体、台体的表面积

试着解答下面的问题,总结求解柱体、锥体、台体的表面
积的思路. 1.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧 面积是底面积的(
A.4倍

)
C. 2倍 D.2倍

B.3倍

2.如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正 方体,若在其中一个面的中心位置上,挖 一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞,

求挖洞后几何体的表面积是多少?
(π 取3.14)

【解题指南】1.根据圆锥的侧面积公式和底面积公式,只需 找出圆锥的母线长与底面半径的关系. 2.因为正方体的棱长为4 cm,而洞深只有1 cm,所以正方体 没有被打透.这样打洞后所得几何体的表面积等于原来正方 体的表面积,再加上圆柱的侧面积.

【解析】1.选D.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则由已 知得l=2r,所以
S侧 S底 = ?rl l = =2. 2 ?r r

2.因为正方体的棱长为4 cm,而洞深只有1 cm,所以正方体 没有被打透.所以几何体的表面积等于原来正方体的表面 积,再加上圆柱的侧面积.因为这个圆柱的高为1 cm,底面圆 的半径为1 cm,正方体的表面积为4×4×6=96(cm2), 圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(cm2), 所以挖洞后几何体的表面积为96+6.28=102.28(cm2).

【技法点拨】求几何体表面积的解题思路 (1)求棱柱、棱锥、棱台的表面积关键是它们的基本量的求解, 即求出它们的底面边长,高或者斜高,然后代入公式即可. (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积求解的关键是利用好它们的轴 截面,这样可以将空间的问题转化为平面问题.

【变式训练】1.一个圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方
形,那么该圆柱的侧面积为( )

A.4π S

B.2π S

C.π S

D. 2 3 ?S
3

【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,母线长为l,

则S=πr2,所以 r ? S .
?

又圆柱的侧面展开图是正方形,所以l=2πr, 故圆柱的侧面积为S圆柱侧=2πrl=(2πr)2= 4?2 S ? 4?S.
?

2.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为 8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,则表面积为_______cm2. 【解析】由已知可得四棱台侧面梯形的高为
18 ? 8 2 h ? 132 ? ( ) ? 12(cm), 2 所以S侧=4× 1 ×(8+18)×12=624(cm2), 2

S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),
于是表面积为S=624+64+324=1 012(cm2).

答案:1 012

类型 二

柱体、锥体、台体的体积

试着解答下面的问题,总结求解简单几何体体积的关键 点.

1.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是
(
A.6 3 B.3 6 C.11 D.12

)

2.(2012·山东高考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为________.

3.把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个
圆柱的体积.

【解题指南】1.设出长方体的共顶点的三条棱的长,根据各面 的面积,建立关于各棱的长的方程,再由体积公式求解. 2.本题考查利用变换顶点法来求三棱锥的体积,根据三棱锥 A-DED1的体积与三棱锥E-ADD1的体积相等求解. 3.要注意讨论底面周长为6和3两种情况.

【解析】1.选A.设长方体共顶点的三条棱的长为a,b,c,且 ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108, 所以 V=abc=6 3. 2.因为三棱锥A-DED1的体积与三棱锥E-ADD1的体积相等,又 以△ADD1为底面的三棱锥的高为1, 故 V ? 1 ?1 ? ? ? ? 1 . 111
3 2 1 答案: 6 6

3.如图所示,当BC为底面周长时,
半径 r1= 3 ,
2?

则体积 V=?r 2 ?AB=?( 3 ) 2 ? 6= 27 ; 1
2? 2?

当AB为底面周长时,半径 r 2= 6 = 3 ,
2? ? ?

则体积 V=?r22 ?BC=?( 3 ) 2 ? 3= 27 .
?

【技法点拨】求解简单几何体体积的关键 (1)求解柱体的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高, 对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求的量转化到 轴截面内求. (2)求解锥体体积关键是明确锥体的底面是什么图形,特别是 三棱锥,哪个三角形作为底面是解题的关键点.

(3)台体的体积计算既可以利用体积计算公式,也可以转化为
两个锥体体积之差求解.

【拓展延伸】锥体体积公式的推导

如图所示,设三棱柱ABC-A′B′C′的底面(即三角形ABC)的

面积为S,高为h,则它的体积为Sh,沿平面A′BC和平面 A′B′C,将这个三棱柱分割为3个三棱锥.其中三棱锥1,2的

底面积相等(S△A′AB=S△A′B′B),高也相等;三棱锥2,3也

有相等的底面积(S△B′BC=S△B′C′C)和相等的高.因此,这三
个三棱锥的体积相等,每个三棱锥的体积是 1 Sh,这说明三
3

棱锥的体积等于它的底面积乘高的三分之一.
对于任意的锥体,设它的底面积为S,高为h,那么它的体积

应等于一个底面积为S,高为h的三棱锥的体积,即这个锥体
的体积为V锥体= 1 Sh.
3

【变式训练】如图所示,三棱柱ABC-A′B′C′

中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC′B′F
将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A′C′B′

的体积),V2的两部分,那么V1∶V2=

.

【解析】设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,
则V=V1+V2=Sh. 因为E,F分别为AC,AB的中点, 所以S△AEF= S, 所以 V=1 h(S+ 1 S+ S?S )= 7 Sh, 1
3 4 4 12
1 4

V2=V-V1= 5 Sh .所以V1∶V2=7∶5.
12

答案:7∶5

类型 三

根据三视图求几何体的表面积及体积

通过解答下面的问题,体会由三视图求几何体表面积及体 积的方法. 1.如图是一个几何体的三视图,其中 正视图和侧视图都是一个两底长分 别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该 几何体的侧面积是( A.6π C.18π ) B.12π D.24π

2.(2012·新课标全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6

B.9

C.12

D.18

3.已知某几何体的三视图如图,求该几何体的表面积. (单位:cm)

【解题指南】1.先根据三视图,得出几何体的形状,再求解. 2.由三视图想象出几何体的直观图,由直观图求得体积. 3.由三视图可知该几何体为组合体,下面为正四棱柱,上面为 正四棱锥,画出直观图求解.

【解析】1.选B.该几何体是两底面半径分别为1,2,母线长 为4的圆台,则其侧面积是π(1+2)×4=12π.

2.选B.由题意知,此几何体是三棱锥,其高h=3,相应底面面
1 1 积为S= ×6×3=9,所以V= Sh= 1 ×9×3=9. 2 3 3

3.由三视图可知该几何体为组合体,

下面为正四棱柱,上面为正四棱锥,
因此该几何体的直观图如图.

其中正四棱柱的底面边长为4 cm,
高为2 cm,与其同底的正四棱锥的斜高
4 所以其表面积为: h? ? ( ) 2 ? 22 ? 2 2(cm), 2 1 S ? 42 ? 4 ? 4 ? 2 ? ( ? 4 ? 2 2) ? 4 ? 48 ? 16 2(cm 2 ). 2

【互动探究】题3条件不变,求该几何体的体积. 【解析】由三视图可知该几何体为组合体,下面为正四棱 柱,上面为正四棱锥,且正四棱柱的底面边长为4 cm,高为 2 cm,与其同底的正四棱锥高为2 cm,所以该几何体的体积

为:V=V正四棱柱+V正四棱= 4 ? 4 ? 2 ? 1 ? 4 ? 4 ? 2 ? 128 (cm 3 ).
3 3

【技法点拨】由三视图求解几何体表面积和体积的方法
(1)首先根据三视图确定几何体的结构特征,若该几何体是简

单组合体的要将其分解为柱、锥、台等简单几何体.
(2)根据相应的表面积和体积公式计算.

提醒:将三视图还原为直观图,是解题的关键.

【变式训练】(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图
所示,则该几何体的体积为_______.

【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积求法,解答本题 的关键是正确地想象出直观图,再代入体积公式求解,根据三 视图可知该几何体为三个圆柱组合而成.

【解析】由本题的三视图可知,该几何体是由三个圆柱组合 而成,其中左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2,高为1), 中间一个圆柱(底面圆半径为1,高为4),故该几何体的体积 为V=2×π×22×1+π×12×4=12π. 答案:12π

1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( A. 48 6 B.64 C.16

) D.96

【解析】选B.设正方体的棱长为a,则6a2=96,所以a=4,因 此体积为43=64.

2.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正 方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积为( )

A. 3?
2

B.2π

C.π

D.4π

【解析】选A.由三视图可知,该几何体是底面圆半径为 1 ,
2

高为1的圆柱,故其表面积 S=2?? ( 1 ) 2+2?? 1 ? 1= 3? .
2 2 2

3.边长为6 cm的正方形ABCD,BC,CD的中点 分别为E,F.现沿AE,AF,EF折叠,使B,C,D 三点重合,构成一个三棱锥,则这个三棱 锥的表面积为________. 【解析】因为折叠后棱锥的表面均由原正方形的各部分围 成,且没有重叠,因此棱锥的表面积就是正方形的面积. 答案:36 cm2

4.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形,则这个圆
柱的表面积为_________;体积为______.

【解析】设圆柱的底面半径为r,则h=4=2πr,所以r= 2 ,
?

所以圆柱的表面积为4×4+2π×( 2 )2=16+ 8 ;
? ?

体积为πr2h=π×( 2 )2×4= 16 .
? ?

答案: ? 8 16

?

16 ?

5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为________.

【解析】由三视图知,该几何体由一个高为1,底面边长为2 的正四棱锥和一个高为2,底面边长为1的正四棱柱组成,则 体积为2×2×1×1 +1×1×2= 10 .
3 3 10 答案: 3

6.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个三 棱锥C-A′DD′,求三棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体 积之比.

【解析】设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3,三棱锥

C-A′DD′的体积为 1 ? 1 ? a ? a ? a ? 1 a 3,
3 2 6

所以剩余部分的体积为 a 3 ? 1 a 3 ? 5 a 3,
6 6
3 所以两部分之比为 1 a ∶5 a 3 ? 1 5 ∶.

6

6


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