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2015-2016学年(人教版必修四)同步练习第三章 3.1 3.1.1 两角差的余弦公式(含答案)


数学· 必修 4(人教 A 版)

第三章
3.1

三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

基 础 提 升 1.cos 27° cos 57° -sin 27° cos 147° 等于( A. 3 2 B.- 3 2 1 C. 2 ) 1 D.- 2

-33° 解析:原式=cos 27° cos 57° -sin 27° cos(180° ) =cos 27° cos 57° +sin 27° cos 33° =cos 27° cos 57° +sin 27° sin 57° -27° =cos(57° )=cos 30° = 答案:A 3 .故选 A. 2

?π ? ?π ? 2.sin?2-α?cos(α+β)+sin αcos?2-(α+β)?等于( ? ? ? ?

)

A.cos β

B.cos α

C.sin β

D.sin α

解析:原式=cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β) =cos[α-(α+β)]=cos(-β)=cos β.故选 A. 答案:A

π π 3. 3cos +sin 的值是( 12 12 A.0 B.- 2

) C. 6+ 2 2 D.2

解析:原式=2?

? 3 π 1 π? cos + sin ? 12 2 12? ?2 ?

? π π π π? =2?cos6 cos12+sin6sin12? ?

π =2cos 12
?π π? =2cos?3-4? ? ? ? ? π π π π? =2?cos3 cos4+sin3sin4? ?

=2×

2+ 6 6+ 2 = .故选 C. 4 2

答案:C

?π ? ?3π ? 1 4 4.若 α,β 都是锐角,且 cos?2+β?=- ,sin? 2 -α?=- ,则 3 5 ? ? ? ?

cos(α-β)的值是(

)

8 2-3 A. 15

B.

8 2+3 15

C.

-8 2-3 15

D.

-8 2+3 15

?π ? 1 解析:∵cos?2+β?=-sin β=- , 3 ? ?

1 ∴sin β= ,又 α,β 都是锐角, 3 ∴cos β= 2 2 . 3

?3π ? 4 ∵sin? 2 -α?=-cos α=- , 5 ? ?

4 ∴cos α= . 5 3 又 α,β 都是锐角,∴sin α= , 5 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 4 2 2 3 1 = × + × 5 3 5 3 = 8 2+3 .故选 B. 15

答案:B

? π? 1 1 5. 已知 α, β∈?0,2?, sin α= , cos β= , 则 α-β 等于( ? ? 5 10

)

A.-

π 4

B.

3π 4

C.

π 4

π π D.- 或 4 4

? π? 1 1 解析:∵α,β∈?0,2?,sin α= ,cos β= , ? ? 5 10

∴cosα=

2 3 ,sin β= 5 10.

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 2 1 1 3 2 × + × = .又 sin α<sin β, 5 10 5 10 2 π π ∴- <α-β<0,故 α-β=- .故选 A. 2 4 答案:A

巩 固 提 高 1 47 6.若 cos α= ,cos(α+β)=- ,且 α,β 都是锐角,则 cos β 17 51 的值为( A.- 1 7 ) B. 1 3 C. 403 867 403 D.- 867

解析:∵β=(α+β)-α, 又 cos α= 1 47 ,cos(α+β)=- , 17 51

α,β 都是锐角, ∴α+β 是钝角, ∴sin α= 12 2 14 2 ,sin(α+β)= . 17 51

∵cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, ∴cos β=- 47 1 14 2 12 2 × + × 51 17 51 17



-47+336 289 1 = = . 51×17 51×17 3

答案:B

3 4 7.已知 cos α+cos β= ,sin α+sin β= ,则 cos(α-β)的值为 5 5 ( ) A.-1 B.- 1 2 1 C. 2 D. 3 2

3 4 解析:∵cos α+cos β= ,sin α+sin β= , 5 5 9 ∴ =cos2α+cos2β+2cos αcos β, 25 16 =sin2α+sin2β+2sin αsin β, 25 两式相加得 1=2+2cos αcos β+2sin αsin β =2+2cos(α-β), 1 ∴cos(α-β)=- .故选 B. 2 答案:B

?3π ? ? π? 12 ? π? 3 8. 已知 α, β∈? 4 ,π?, sin(α+β)=- , sin?β-4?= , 则 cos?α+4? 5 ? ? ? ? 13 ? ?

=________.
?3π ? 3 解析:α,β∈? 4 ,π?,sin(α+β)=- , 5 ? ?

? π? 12 sin?β- 4?= , ? ? 13 ?3π ? π ?π 3π? ∴α+β∈? 2 ,2π?,β- ∈?2, 4 ?, 4 ? ? ? ? ? π? 4 5 ∴ cos(α+β)= ,cos?β- 4?=- , 5 13 ? ? ? π? ? ? π?? 则 cos?α+4?=cos ??α+β?-?β- 4?? ? ? ? ? ?? ? ? ? π? ? π? =cos(α+β)cos?β-4?+sin(α+β)sin?β- 4? ? ?

4 ? 5 ? ? 3? 12 56 ?- ?+?- ?· =- . = · 5 ? 13? ? 5? 13 65 答案:- 56 65

9.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)(x∈R)的最大值是 1,
?π 1? 其图象经过点 M?3,2?. ? ?

(1)求 f(x)的解析式;

解析:(1)∵-1≤sin(x+φ)≤1,A>0, ∴[f?x?]max=A=1,
?π 1? ∵f(x)的图象经过点 M?3,2?, ? ? ?π? ?π ? 1 ∴f?3?=sin?3+φ?= , ? ? ? ? 2

π π 4π 由 0<φ<π,得 < +φ< , 3 3 3

π 5π π ∴ +φ= ,解得 φ= . 3 6 2
? π? ∴f(x)=sin?x+2?=cos x. ? ?

? π? 3 12 (2)已知 α,β∈?0,2?,且 f(α)= ,f(β)= ,求 f (α-β)的值. 5 13 ? ?

3 12 解析:(2)由 f(α)= ,f(β)= , 5 13
? π? 3 12 得 cos α= ,cos β= ,又 α,β∈?0,2?, 5 13 ? ?

4 ∴sin α= 1-cos2α= , 5 sin β= 1-cos2β= 5 , 13

∴f(α-β)=cos(α-β) =cos α· cos β+sin α· sin β 3 12 4 5 56 = × + × = . 5 13 5 13 65


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