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2.2.2 椭圆的简单几何性质专项练习与答案


2.2.2 椭圆的简单几何性质专项练习
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 的方程为( ) y2 B.x2+ =1 3 x2 y2 D. + =1 2 3 6 ,则椭圆 C 3

x2 A. +y2=1 3 x2 y2 C. + =1 3 2

c 6 x2 解析: 因为 = ,且 c= 2,所以 a= 3,b= a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 + a 3 3 y2=1.故选 A. 答案: A x2 y2 x2 y2 2.曲线 + =1 与曲线 + =1(k<9)的( 25 9 25-k 9-k A.长轴长相等 C.离心率相等 )

B.短轴长相等 D.焦距相等

解析: 可知两个方程均表示焦点在 x 轴上的椭圆,前者焦距为 2c=2 25-9=8,后 者焦距为 2c=2 ?25-k?-?9-k?=8.故选 D. 答案: D x2 y2 3.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点, a b 若∠F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( A. 2 2 ) B. 3 3

1 C. 2

1 D. 3

b2 -c,± ?,再由∠F1PF2=60° 解析: 因为 P? , a? ? 有 3b2 c 3 =2a,从而可得 e= = ,故选 B. a a 3

答案: B 4.(2014· 惠州调研)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为( x2 x2 A. + =1 4 9 x2 y2 B. + =1 9 4 ) 3 ,且椭 2

x2 y2 C. + =1 36 9

x2 y2 D. + =1 9 36

x2 y2 解析: 依题意设椭圆 G 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12, ∴2a=12,∴a=6. a2-b2 36-b2 3 3 3 ∵椭圆的离心率为 ,∴ = ,∴ = , 2 a 2 6 2 x2 y2 解得 b2=9,∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) x2 y2 5. F1, F2 是椭圆 C: + =1 的焦点, 在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为________. 8 4 解析: 当 P 在短轴端点时, ∠F1PF2 为直角, 从而在椭圆上存在 2 个位置使 PF1⊥PF2. 答案: 2 7 6.在△ABC 中,|AB|=|BC|,cos B=- ,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭 18 圆的离心率 e=________. 7 解析: 设|AB|=|BC|=1,又 cos B=- , 18 则|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|· |BC|· cos B= 25 , 9

5 5 8 2c 3 所以|AC|= ,则 2a=1+ = ,2c=1,e= = . 3 3 3 2a 8 答案: 3 8

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标. y2 解析: 椭圆方程可化为 x2+ =1,∴椭圆的焦点在 y 轴上,且 a2=25,b2=1,∴c2 25 =a2-b2=24, ∴c=2 6,a=5,b=1, ∴长轴长为 10,短轴长为 2,焦点为(0,± 2 6),顶点坐标为(± 1,0),(0,± 5). 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)长轴长是 6,离心率是 ; 3 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6.

x2 y2 解析: (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0) a b y2 x2 或 2+ 2=1(a>b>0). a b 由已知得 2a=6,∴a=3. c 2 又 e= = ,∴c=2. a 3 ∴b2=a2-c2=9-4=5. x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 5 9 5 (2)由题意知焦点在 x 轴上, x2 y2 故可设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),且两焦点为 F′(-3,0),F(3,0). a b 如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形,

OF 为斜边 A1A2 的中线, 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=3. ∴a2=b2+c2=18. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9

x2 y2 (10 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,若在椭圆上存在一点 P,使∠ a b F1PF2=60° ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 解析: 由余弦定理得

cos 60° =

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|· |PF2|



?|PF1|+|PF2|?2-2|PF1|· |PF2|-|F1F2|2 2|PF1|· |PF2|

1 = . 2 解得|PF1|· |PF2|=4a2-2|PF1|· |PF2|-4c2, 4b2 即|PF1|· |PF2|= , 3 ∵|PF1|· |PF2|≤?

?

|PF1|+|PF2|?2 2 2 ? =a ,

c 1 ∴3a2≥4(a2-c2),解得 ≥ . a 2 又∵椭圆中 0<e<1, 1 ∴所求椭圆离心率 e 的取值范围为 ≤e<1. 2


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