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四川省成都外国语学校2016届高三数学4月月考试题 理


成都外国语学校 2016 届高三 下期 4 月月考 数 学(理工类)

一.选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x | y ? (1 ? x)(x ? 3) , B ? ?x | log2 x ? 1? ,则 A ? B ? ( A. ?x | ?3 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x | ?3 ? x ? 2?

?

?



D. ?x | x ? 2? )

2.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 z ? i ? 3 ? 4i ,则 z 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限
2

C.第三象限

D.第四象限

3.已知命题 p : 函数 f ( x) ?| 2cos x ?1| 的最小正周期为 ? ; 命题 q : 若函数 f ( x ? 2) 为奇函数, 则 f ( x ) 关于 (?2,0) 对称.则下列命题是真命题的是 ( ) A.

p?q

B.

p?q

C. ( ? p) ? ( ?q)

D. p ? ( q)

?

4.在某市举行“市民奥运会”期间.组委会将甲,乙, 丙,丁四位志愿者全部分配到 A,B,C 三个场馆执勤.若每 个 场馆至少分配一人,则不同分配方案的种数是 ( ) A 96 B 72 C 36 D 24

x?0 ? 2x ? y ? 2 ? y?x 5.已知实数 x , y 满足 ? ,则 的最小值为( ) x ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 6.公元 263 年左右, 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时, 多边 形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” ,利用“割圆术”刘徽得到了圆周 率精确到小数点后两位的近似值 3.14 , 这就是著名的 “徽率” . 如图是利用刘徽的 “割 圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为______
? ? (参考数据: sin 15 ? 0.2588, sin 7.5 ? 0.1305)

A.22

B.23

C.24

D.25

7.某四面体的三视图如右图所示,正视图.俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形, 侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的外接球的体积是( ) A. 12? B. 4 3? C. 48? D. 32 3?

8.已知 f ? x ? ? a sin x ? b cos x, 若 f ? 为( ) A.

?? ? ?? ? ? x ? ? f ? ? x ? , 则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角 ?4 ? ?4 ?
C.

? 4

B.

? 3

2? 3

D.

3? 4

x 2 y2 2 2 2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F(-c,0)(c>0)作圆 x ? y ? a 的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物 线 a b
??? ? 1 ??? ? ??? ? y2 ? 4cx 于点 P, 若 OE ? (OF ? OP) ,则双曲线的离心率为 2
1

A.

3? 5 2

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

1? 3 2


10.设函数

f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x ? R ,有(
x x

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2
则 f (2016) ? A. 2
2016

,若

f (0) ? 2016,

? 2015
2

B. 2 2015

? 2016

C. 2

20114

? 2015

D. 2

2013

? 2014
.

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知抛物线 y ? 4 x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5,则 ?PFO 的面积为 12.已知 ( x ? 2)(x ?1)4 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ______ 13.设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=4,则 S12= .

14.在 ?ABC 中 AB ? 2a, AC ? 3b ,设 P 为 ?ABC 内部及其边界上任意一点,若 AP ? ?a ? ?b ,则 ?? 的最大值 为 .

??? ?

? ??? ?

?

??? ?

?

?

15.定义:若对定义域 D 内的任意两个 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? ,均有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 成立,则称函数 y ? f ?x ? 是 D 上 的“平缓函数” ① f ( x) ? ? ln x ? x 为 ? 0, ?? ? 上 的“平缓函数”;② g ( x) ? sin x 为 R 上的“平缓函数” ③ h( x) ? x 2 ? x 是为 R 上的“平缓函数”;④已知函数 y ? k ( x) 为 R 上的“平缓函数”,若数列 {x n } 对 ?n ? N * 总有
xn ?1 ? xn ? 1 1 , 则 k ( xn ?1 ) ? k ( x1 ) ? . 2 (2n ? 1) 4

则以上说法正确的有__________________ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 函数 f ( x) ? 2 cos x sin(x ? A) ? sin A( x ? R)

5 处取得最大值. 12 ? (1)当 x ? (0, ) 时,求函数 f ( x) 的值域; 2
在x? (2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求 ?ABC 的面积. 14

17.(本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-AMC 中,AC=AM=PM,AM⊥AC,PM⊥平面 AMC, B,D 分别为 CM,AC 的中点. (Ⅰ)在 PD 上确定一点 N,使得直线 PM∥平面 NAB,并说明理由;
2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面 NAB 和平面 PAC 所成 锐二面角 α 的大小.

18. (本小题满分 12 分)某公司从大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生 的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) .公司规定:成绩在 180 分以上者到甲部门工作,180 分以下者到乙部门工作, 另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任助理工作. (1)如果用分层抽样的方法从甲 部门人选和乙部门人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那么至少有一人是甲部 门人选的概率是多少? (2)若从所有甲部门人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任助理工作的人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望. 8 6 5 4 5 3 8 3 4 2 男 6 2 2 1 16 17 18 19 女 8 6 5 6 0 2

19.(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 4Sn ? ? an ? 1?
2

?n ? N ? .
?

(I)求 ?an ? 的通项公式;

?an , n ? 2k ?1, ? n ? (II)设 f ? n ? ? ? ? n ? (其中 n, k ? N ) , bn ? f ? 2 ? 4 ? , ? f ? 2 ? , n ? 2k . ? ? ?
求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? n ? 3? .

20.(本小题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A 和 B 分别是椭圆 C1:

x2 y 2 x2 y 2 和 C2 : ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? n ? 0) 上的动点,已知 C1 的 焦距为 a 2 b2 m2 n2
2,点 T 在直线 AB 上,且 的焦点时,点 A 恰在双曲线 (I)求椭圆 C1 的标准方程;
3

= AB ? OT =0,又当动点 A 在 x 轴上的射影为 C1 的渐近线上.

(Ⅱ)若 m,n 是常数,且

.证明|OT|为定值。

21.(本小题满分 14 分)已知 f1 ( x) ?| 3x ?1|, f 2 ( x) ?| a ? 3x ? 9 | (a ? 0), x ? R , 且 f ( x) ? ?

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) . ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)当 2 ? a ? 9 时,设 f ( x) ? f 2 ( x) 所对应的自变量取值区间的长度为 l (闭区间 [ m, n] 的长度定义为 n ? m ),试 求 l 的最大 值; (Ⅲ)是否存在这样的 a ,使得当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ( x) ? f 2 ( x) ?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4

成 都 外 国 语 校 4 月 月 考理数答案 一选择题 1-5 BDBCC, 二、填空题 11、2. 三、解答题 16、 (1) f ?x ? ? 2 cos x sin(x ? A) ? sin A ? 2 cos x sin(x ? A) ? sin?x ? ( x ? A)? 6-10 CBDBA 12、1, 13、5, 14、3/2, 15、_(2)(4)

? 2 cos x sin(x ? A) ? sin x cos(x ? A) ? cos x sin(x ? A) ? sin x cos(x ? A) ? cos x sin(x ? A)

? sin?2 x ? A?
因为函数在 x ?

5? 5? ? ? ? A ? ,得 A ? 处取得最大值,所以 2 ? 12 3 12 2

所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?
? 3 ? ? ? ? ,则函数值域为 ? ? 2 ,1? ? ? ?

因为 x ? (0,

?

? ? ? ? 2? ? ) ,所以 ? 2 x ? ? ? ? ? , 2 3? ? 3 3 ?

(2)因为

a b c 7 14 ? ? ? ? sin A sin B sin C 3 3 2
3b 3c 3b 3c 13 3 ,则 sin B ? sin C ? , sin C ? ? ? 14 14 14 14 14

所以 sin B ?

所以 b ? c ? 13
2 2 2 由余弦定理得 b ? c ? 2bc cos A ? a

所以 ?b ? c? ? 2bc?1 ? cos A? ? a 2 ,又因为 b ? c ? 13 , a ? 7 ,所以 bc ? 40
2

则面积 ?

1 bc cos A ? 10 3 . 2

17、解: (Ⅰ)N 为 PD 靠近 D 的三等分点.理由如下: 取 PC 的中点 E,连接 BE, 由于 B,E 分别为 CM,PC 的 中点,所以 BE∥PM, 又 BE ? 平面 ABE,PM ? 平面 ABE, 所以直线 PM∥平面 ABE, 连接 AE,交 PD 于 N 点,即为满足条件的点. 由于 AE,PD 分别是△PAC 的边 PC,AC 上的中线, 所以 AE 和 PD 的交点 N 为△PAC 的重心, 故 N 为 PD 靠近 D 的一个三等分点. ···················· 6 分 (Ⅱ)因为 AC=AM,AM⊥AC,所以 ∠AMC=45°,在平面 AMC 内作 My ⊥MC 于 M,可知 MC,My,MP 两两垂直,建立如 图所示的空间直角坐标系,设 AC=AM=PM=2,则 MC= 2 2 , 所以 C( 2 2 ,0,0),P(0,0,2),A( 2 , 2 ,0),
5

??? ? ???? 即 PC ? (2 2,0, ?2) , AC ? ( 2, ? 2,0) ,
因为 PM⊥平面 AMC,由(Ⅰ)知 BE∥PM, 所以 BE⊥平面 AMC,则 CM⊥BE. 又 AC=AM,B 为 CM 的中点,则 CM⊥AB, 所以 CM⊥平面 NAB, 所以可取平面 NAB 的一个法向量为 m ? (1,0,0) , 设平面 P AC 的法向量 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ?2 2 x ? 2 z ? 0, ?n ? PC ? 0, ? 由 ? ???? 得? 取 x=1,则 y=1,z= 2 , x ? y ? 0, ? n ? AC ? 0, ? ? ? 可得平面 PAC 的一个法向量 n ? (1,1, 2) , 由 cos m,n ?
m ?n 1 ? ? ,得 m,n ? , | m || n | 2 3

所以平面 NAB 和平面 PAC 所成锐二面角 α 的大小为

? . ··········· 12 分 3

18 、试题解析: (1)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是错误!未找到引用源。 , 根据茎叶图,甲部门入选 10 人,乙部门入选 10 人,所以选中的甲部门人选有错误!未找到引用源。4 人,乙部门人选有错误!未找到引用源。 4 人.事件 A 表示至少有一名甲部门人选被选中,则 P ( A) ? 错误!未找到引用源。 ,因此至少有一人是甲部门人选的 概率是错误!未找到引用源。 .

19、

6

7

21、 【解析】

f (1) ? 2 ,
故所求切线方程 为 y ? 2 ? (3ln 3)( x ? 1) ,即 (3ln 3) x ? y ? 2 ? 3ln 3 ? 0

8

(Ⅲ)“当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ( x) ? f 2 ( x) ”等价于“ f 2 ( x) ? f1 ( x) 对 x ? ? 2, ?? ? 恒成立”, 即“ | a ? 3x ? 9 |?| 3x ?1|? 3x ?1 (*)对 x ? ? 2, ?? ? 恒成立”
log3 9 x ①当 a ? 1 时, log 3 ? 2 ,则当 x ? 2 时, a ? 3 ? 9 ? a ? 3 a ? 9 ? 0 ,则(*)可化为 a 9

a ? 3x ? 9 ? 3x ? 1 ,即 a ? 1 ?

8 8 ,而当 x ? 2 时, 1 ? x ? 1 , x 3 3

所以 a ? 1 ,从而 a ? 1 适合题意 当 0 ? a ? 1 时, log 3 (1)当 x ? log 3

9 ?2. a

9 8 8 x x 时,(*)可化为 a ? 3 ? 9 ? 3 ? 1 ,即 a ? 1 ? x ,而 1 ? x ? 1 , a 3 3

所以 a ? 1 ,此时要求 0 ? a ? 1

9 9 x 时,(*)可化为 0 ? 3 ? 1 ? ? 1 ,所以 a ? R ,此时只要求 0 ? a ? 1 a a 9 10 10 1 x x 1 ,即 a ? x ? 1 ,而 x ? 1 ? , (3)当 2 ? x ? log 3 时,(*)可化为 9 ? a ?3 ?3 ? a 3 3 9 1 1 1 所以 a ? ,此时要求 ? a ? 1 由⑴⑵⑶,得 ? a ? 1 符合题意要求. 9 9 9
(2)当 x ? log 3
9

综合①②知,满足题意的 a 存在,且 a 的取值范围是

1 ? a ?1 9

10


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