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【创新设计】2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)习题:第3章 空间向量与立体几何 章末总结


章末总结 知识点一 空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似,是平面向量的拓展,主要考 查空间向量的共线与共面以及数量积运算,是用向量法求解立体几何问题的基础. → → → 例 1 沿着正四面体 O-ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于 1、2 和 3 的三个力 f1,f2,f3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值. 知识点二 证明平行、垂直关系 空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一,利用空间向量证明平 行和垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关 于平行和垂直的定理,再通过向量运算来解决. 例2 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为 AB、B1C 的中点. (1)用向量法证明平面 A1BD∥平面 B1CD1; (2)用向量法证明 MN⊥面 A1BD. 例3 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m. 试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 60° . 例 4 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:平面 AED⊥ 平面 A1FD1. 知识点三 空间向量与空间角 求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,一般有两种方法:即几何法和向 量法, 几何法求角时, 需要先作出(或证出)所求空间角的平面角, 费时费力, 难度很大. 而 利用向量法,只需求出直线的方向向量与平面的法向量.即可求解,体现了向量法极大 的优越性. 例5 如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=5,AD=8,AA1=4,M 为 B1C1 上一点 且 B1M=2,点 N 在线段 A1D 上,A1D⊥AN. → → (1)求 cos〈A1D,AM〉 ; (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的余弦值; (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值. 知识点四 空间向量与空间距离 近年来,对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离,两点间的距离可以 直接代入向量模的公式求解,点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解,或 者利用等积求高的方法求解. 例6 如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,PA=AD=2,M、N 分别是 AB、PC 的 中点. (1)求二面角 P—CD—B 的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD; (3)求点 P 到平面 MND 的距离. 章末总结 重点解读 例1 解 → → → 如图所示,用 a,b,c 分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量, 则 f1=a,f2=2b,f3=3c, 则 f=f1+f2+f3 =a+2b+3c, ∴|f|2=(a+2b+3c)(a+2b+3c) =|a|2+4|b|2+9|c|2+4a· b+6a· c+12b· c =14+4cos 60° +6cos 60° +12 cos 60° =14+2+3+6=25, ∴|f|=5,即所求合力的大小为 5. 2 b+3a· c f· a |a| +2a· 且 cos〈f,a〉= = |f|· |a| 5 3 1+1+ 2 7 = = , 5 10 4 9 同理可得:cos〈f,b〉= ,cos〈f,c〉= . 5 10 例2 证明 (1)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, → → → → → → BD=

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