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等比数列概念及通项公式


等比数列

猜一猜
给你一张足够大的纸,假设 其厚度为0.1毫米,那么当你 把这张纸对折了51次的时候, 所达到的厚度有多少?

把一张纸折叠51次, 得到的大约是地球与 太阳之间的距离!

忆一忆
1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10


(1) (2)

,

2 10

,

3 10

,

4 10

, ? ? ? . (3)

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一 项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。

回顾与复习 1、等差数列定义: 如果一个数列从第二项开始,每一项与 前一项的差等于同一个常数,这个数列 叫做等差数列。 数学表达式d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
2、等差数列的通项公式: an=a1+(n-1)d (n∈N*) 3、等差数列通项公式的推导公式: an=am+(n-m)d (n,m∈N*)

1.出门见九堤,每堤有九木,每木有九巢,每巢有九
鸟,每鸟有九雏,每雏有九毛,每毛有九色,问共有几 堤,几木,几巢,几鸟,几雏,几毛,几色?(《孙 子算经》)

堤、木、巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列:
7

9,92,93,94,95,96,

9

2.某种汽车购买时的价格是36万元,每年的折旧率是 10%,求这辆车各年开始时的价格(单位:万元)。

各年汽车的价格组成数列:

36,36×0.9,36×0.92,36×0.93,…

比一比
(1)

1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

(2)

9,92,93,94,95,96,

9

7

(3)

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点?从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。

形成概念
定义 一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。(q≠0) 其数学表达式:

an ? q ( n ? 2) an ?1



an ?1 * ? q(n ? N ) an

类比思想
名称 等差数列 等比数列

如果一个数列从第2 项起,每一项与前 一项的差都等于同 定 义 一个常数,那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差,用d 表示

如果一个数列从 第 2 项起,每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 , 那么这个数列 叫做等比数列. 这个常数叫做等比 数列的公比,用 q表示.

注意

1. 公比是等比数列,从第2项起,每一 项与前一项的比,不能颠倒。

2.对于一个给定的等比数列,它的公比 是同一个常数。

课堂练习 1、判断下列数列是否是等比数列,是等 比数列的求出公比
(1)1,-1/3, 1/9 ,-1/27,… (2)1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, … (4)1,1,1,… ,1 (5)a,a,a,…,a
不一定,当a≠0时是等比数列,q=1;当a=0时非等比数列。

(3)数列{an}的通项公式为an=3n/2, (n∈N*)√

√ ×

q=-1/3



q=1

q=3

思考探究(一)
在等比数列中 (1)公比q为什么不能等于0?首项能等于0吗? (2)公比q=1时是什么数列?

说明:
(1)公比q≠0,则an≠0(n∈N+); (2)既是等差又是等比数列的非零常数列;

对定义的理解
1. 各项不能为零,即 2. 公比不能为零,即

an ? 0 q?0

3. 当q>0,各项与首项同号

当q<0,各项符号正负相间
4. 数列

a, a , a , …

a?0
a

时,既是等差数列 又是等比数列; ? 0 时,只是等差数列 而不是等比数列.

推测下列等比数列的通项公式
(1)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

,2

63

(2)
(3) (4)

9,92,93, 94,95,96,

9

7

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…
(1) (3)

an ?

2n ?1

(2)

an ?

??
1 2

n

an ? 9n

(4) an

? 36 ? 0.9n ?1

已知等比数列的首项为a1,公比为q,求第 n项an a2 ? q, 方法1:归纳法 方法2:累乘法 a1 a a 3 a2=a1q n ? q, … ? q , a2 2 an ?1 a3=a2q=(a1q)q=a1q a4=a3q=(a1q2)q=a1q3

……
an=a1 qn-1

an an n?1 a2 a3 a4 ? ? ? ???? ? ? q a1 a2 a3 an?1 a1
n?1

? an ? a1 ? q

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

四、等比数列的图像


数列:1,2,4,8,16,… 2


n

● ● ●

y?2
4 5 6 7 8 9

x

1

2

3

10

思考探究(二) 在等比数列{an}中,若已知某一项为am, 公比为q,能够求出该数列的任意项an吗?

等比数列通项公式的推广公式:
an=amqn-m

(am≠0,an ≠ 0,m,n∈N*)

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

(2)数列:


1 1 1 8, 4,2,1, , , , ? 2 4 8



● ● ●

1 x y ? a *( ) 2


?an ?的图象是其对应的 结论: 等比数列
函数的图象上一些孤立 的点

1

2

3

4

5

6



7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象3

数列:4,4,4,4,4,4,4…





















1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象4
数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,…











1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


试一试
求出下列等比数列中的未知项. 1 (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 2
a 8 解: ( 1 )根据题意,得2 ? a 解得
a=4或a=-4

( 2 )根据题意,得

c ?b ?- 4 ? b ? ?1 ?2 c ? ? ?c b

解得

?b ? 2 ? ?c ? ?1

等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就 会成为一个等比数列:

(1)1, ±, 39

(2)-1, ,-4 ±2

(3)-12, ± , 6 -3 (4)1, ,1 ±1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比 数列,那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

23

典例剖析
例1 一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18,求
它的第3项。

方法1:利用通项公式
设等比数列第1项为a1,公比为q,则
?a1 q ? 18 18 9 3 2 ?a q3 ? 18 ? q ? ? ,? q ? ? 8 4 2 ? 1 3 3 (1)若q ? ,则a 3 ? a 2 q ? 8 ? ? 12 2 2 3 3 (2)若q ? ? ,则a 3 ? a 2 q ? 8 ? (? ) ? ?12 2 2

方法2:利用定义

设等比数列为?an ?, a3 a4 由定义 ? , a2 a3 则a3 2 ? a2 a4 ? 144, a3 ? ?12

例2 已知?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,求证:

?an ? bn ? 是等比数列
证明:设数列?an ?的首项是a1,公比为p; ?bn ?的首项为b1,公比q,那么数列?an ? bn ? 的第n项与第n ? 1项分别为: a1 ? pn?1 ? b1 ? q n?1与a1 ? p n ? b1 ? q n 即为a1b1 ( pq )n?1 与a1b1 ( pq )n an?1 ? bn?1 a1b1 ( pq )n ? ? pq. n ?1 an ? bn a1b1 ( pq )

方法2:
an?1bn?1 an p ? bnq ? ? pq anbn anbn
??an ? bn ?为等比数列

它是一个与n无关的常数,所以?an ? bn ? 是一个以pq为公比的等比数列

3、

等差数列

等比数列

如果一个数列从第2项起, 如果一个数列从第2项起, 定义 每一项与它前一项的差等于 每一项与它的前一项的比等于 同一个常数,那么这个数列 同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列。 就叫做等差数列。 an+1 数学 an+1-an= d(常数) 表达 an = q(常数) 符号 首项a1, 公差d 首项a1, 公比q(q≠0) 表示 d>0 {an }递增 q>0 {an }中各项同号 d与{an}

d<0
q与{an}

{an }递减
{an }为常数列

q<0
q=1

{an }中的项正负相间
{an }为非零常数列

d=0

通项 公式 等比 中项

an= a1+(n-1)d
a,A,b成等差数列, 2A=a+b

a n= a 1· qn-1
a,G,b成等比数列,G2=ab

知识小结

1、等比数列的定义 符号语言:q=an/an-1 ,(n≥2)

2、等比数列的通项公式 an=a1qn-1 ,(n∈ N* ) 推导方法: (1)归纳法(2)累乘法
公式的认识:

(1)函数的观点(2)方程的思想

作业布置

课本:

P53A组1(2)(4)、3 B组1


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