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第2讲 圆锥曲线基础知识、题型、方法大总结1


网络课程 内部讲义

圆锥曲线基础知识、 题型、方法大总结

教 师:司马红丽

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圆锥曲线基础知识、题型、方法大总结

【知识要点归纳】

一、基础知识总结
1、椭圆、双曲线、抛物线 椭圆 图形 双曲线 抛物线

定义式

标准方程

a,b,c 关系 离心率及范围

无 无

渐近线 准线

无 无 无



2、点、线和圆锥曲线的位置关系 判断方法 点和曲线的位置关系 点在椭圆内 ? 点在椭圆上 ? 点在椭圆外 ? 判断方法 点在双曲线内 ? 点在双曲线上 ? 点在双曲线外 ? 判断方法 点在抛物线内 ? 点在抛物线上 ? 点在抛物线外 ?

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直线和曲线的位置关 系

相交 ?

相交 ?

相交 ?

相切 ?

相切 ?

相切 ?

相离 ?

相离 ?

相离 ?

二、基础题型总结

【经典例题】 例 1:求解下列问题 (1)判断方程

x2 y2 ? = 1 所表示的曲线。 9?k k ?3

(2)设 a ≠ 0,a∈ R,则抛物线 y = 4ax2 的焦点坐标为( (A) (a,0) (B) (0,a) (C) (0,

) (D)随 a 符号而定

1 ) 16a

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例 2:求解下列问题

x2 y2 + = 1 的焦点为 F1 和 F2, 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是 12 3 |PF2|的( ) (A)7 倍 (B)5 倍 (C)4 倍 (D)3 倍
(1)椭圆

(2)已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? = 1 的焦点,PQ 是过焦点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角为 600,那么 16 9

PF2 + QF2 ? PQ 的值为 ________

(3)已知平面内有一固定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA| - |PB| = 3,则|PA|的最小值为( (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5



例 3:求解下列问题 (1) 过双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、 两点, N a2 b2

以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 A,则双曲线的离心率等于_______。

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(2)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直 角三角形,则椭圆的离心率是________。

例 4:求解下列问题 (1)求与双曲线

x2 y2 ? = 1 共渐近线且过 A(3 3 ,?3) 的双曲线的方程。 16 9

(2)已知双曲线的渐近线方程为 y = ±

1 x ,且过点 (2 2 ,1) 2

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例 5:已知椭圆 C 与椭圆 x 2 + 37 y 2 = 37 的焦点 F1 , F2 相同,且椭圆 C 过点(10, 0). (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 P ∈ C ,且 ∠F1 PF2 =

π
3

,求 ΔF1 PF2 的面积.

拓展: 已知椭圆

x2 y2 F ∠ + = 1(a > b > 0) , 1 , F2 是椭圆的两个焦点, 为椭圆上一点, F1 PF2 = θ P a 2 b2
2

求证: ΔF1 PF2 = θ 的面积 S = b tan

θ
2

.

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【课堂练习】
1、方程 mx2+ ny2+ mn = 0(m < n < 0)所表示的曲线的焦点坐标是( (A) (0, ± m ? n ) (B) (0, ± n ? m ) (C) ± m ? n ,0) ( ) (D) ± n ? m ,0) (

2、若方程

x2 y2 + = 1 表示双曲线,其中 a 为负常数,则 k 的取值范围是( 3k + a 4k ? a
a a ,- ) 3 4 a a , ) 3 4



(A) (

(B) (

a a ,- ) 4 3 a a )∪(- ,+ ∞) 4 3

(C) (- 3、已知椭圆

(D) (-∞,

x2 y2 + = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若角 PF2F1 是直角,则点 P 16 9 到 x 轴的距离为( )

(A)

9 5

(B)3

(C)

9 7 7


(D)

9 4

4、下列方程中,以 x ± 2y = 0 为渐近线的双曲线方程是(

x2 y2 ( A) ? =1 16 4

x2 y2 ( B) ? =1 4 16

x2 (C ) ? y2 = 1 2

y2 ( D) x ? =1 2
2

5、如图一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合, 然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于 P,则点 P 形成的图形是( ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆

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三、基础方法总结
1、公式法

2、几何法

3、韦达定理法:弦长问题、面积问题、定值问题、最值问题、向量问题、其他

4、点差法

【经典例题】

例 1:P 为双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上一点,若 F 是一个焦点,以 PF 为直径的圆与圆 a2 b2
) (C)外切或内切 (D)无公共点或相交

x 2 + y 2 = a 2 的位置关系是(
(A)内切 (B)外切

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例 2:设 P 是抛物线 y = 4 x 上的一动点,
2

(1)求点 P 到点 A( ?1,1) 的距离与点 P 到直线 x = ?1 的距离之和的最小值;

(2)若 B (3, 2) ,求 | PB | + | PF | 的最小值.

例 3: 过平面内任一点 P 作直线与双曲线

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 只有一个交点, 这样的直线有几条? a 2 b2

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例 4:探求平面内任一直线与双曲线

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的位置关系。 a 2 b2

例 5:已知椭圆的焦点 F1 (?3, 0) 、 F2 (3, 0) ,且与直线 x ? y + 9 = 0 有公共点,求其中长轴最短的椭 圆方程.

例 6:直线 y = kx + 1 与双曲线 x ? y = 1 的左支交于 A, B 两点,直线 l 经过点 ( ?2, 0) 及 AB 中点,
2 2

求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围。

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例 7:过抛物线 y = 4 x ( a > 0) 的焦点 F ,作相互垂直的两条焦点弦 AB 和 CD ,求 | AB | + | CD | 的 最小值。

例 8: 已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y = x + 1 与椭圆交于 P 和 Q, OP⊥OQ, 且 |PQ| =

10 ,求椭圆方程。 2

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例 9: (北京 2010 高三期末考试海淀文)已知圆 C 经过点 A( ?2, 0), B (0, 2) ,且圆心在直线 y = x 上, 且,又直线 l : y = kx + 1 与圆C相交于 P 、 Q 两点。 (I)求圆C的方程; (II)若 OP iOQ = ?2 ,求实数 k 的值。

2 例 10:椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离 2 为 1- 2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP =λ PB . (1)求椭圆方程; (2)若 OA+λ OB = 4OP ,求 m 的取值范围。

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例 11:已知椭圆 要使

的焦点分别是



,过中心

作直线与椭圆相交于



两点,若

的面积是 20,求该直线方程。

例 12:如图所示,抛物线 y2 = 4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0) ,倾斜角为

π
4

的直线 l 与线段

OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求 △AMN 的最大面积.

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2 2

例 13: (08 北京卷 19)(本小题共 14 分)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x + 3 y = 4 上,对 . 角线 BD 所在直线的斜率为 1。

1) (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程;
(Ⅱ)当 ∠ABC = 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值。

例 14: (2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分)已知,椭圆 C 以过点 A(1,

3 ) ,两个焦点为(-1,0) 2

(1,0) 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜 率为定值,并求出这个定值。

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例 15: (2009 湖北卷文)如图,过抛物线 y = 2PX(P > 0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向准线 L 作垂线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥ FN1; 、 、 、 , (Ⅱ)记△FMM1、 、△FM1N1、△FNN1 的面积分别为 S1 S2 S3,试判断 S22 = 4S1S3 是否成立, 并证明你的结论。

例 16: (2009 全国卷Ⅱ文)已知椭圆 C:

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的 2 3 a b
2 2

直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ)求 a, b 的值;

(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。







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例 17:求以椭圆

x2 y2 + = 1 内的点 A(2, ?1) 为中点的弦所在直线方程。 8 5

例 18:求中心在原点,一个焦点为 (0,5 2 ) 且被直线 y = 3 x ? 2 截得的弦中点横坐标为

1 的椭圆方程. 2

例 19: (2009 宁夏海南卷文)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y = x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ( 2, 2 ) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 。

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【课堂练习】参考答案
1、答案:B 2、答案:B 3、答案:D 4、答案:A 5、答案:A,|PO|+|PF|=|PM|+|PO|=R(半径)>|OF|,根据椭圆定义知 P 形成的图形是以 O、F 为焦点的椭圆。

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