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江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习(数学理科)


江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习 高三数学 时间:120分钟 总分160分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.已知集合A={1,2},B={-1,0,1},则A∪B= ▲ .

2.如果复数

2 ? bi (b ? R ) 的实部与虚部互为相反数,则 b = 3?i



.

3.已知直线 x ? ay ? 2a ? 2 与 ax ? y ? a ? 1 平行,则实数 a 的值为





4.函数 y ? x ? 2sin x 在(0,2 ? )内的单调增区间为





4 3 5.已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为 ,则它的体积为 3





6. 圆心在抛物线 x ? 2 y 上, 并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ .
2

7.已知一个等比数列前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为243,则该数列 的项数为 ▲ .

8.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 , 点 P 是 双 曲 线 上 一 点 , 且 a2 b2
▲ .

PF1 ? 4PF2 ,则此双曲线离心率的取值范围是

9.已知p:1<

2x

<8;q:不等式

x2 ? m x? 4 ? 0
.

恒成立,若

p是

q的必要条件,求实数 m 的取值范围 ▲

10.已知偶函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,其图象与 直线 y ?

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 1, P 2, P 3, P 4 , ??? , 则 2 ???? ? ????? ▲ . P P 1 3? P 2P 4等于
1

11.

1 → → → △ABC中,AB边上的中线CD等于2,动点P满足 AP = t· AB +(1-t)· AC 2 → → → 则( PA + PB )· PC 的取值范围为

(0≤t≤1), ▲ .

12.从直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点P向圆C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线PA 、PB,A、B为切点,则四边形PACB的周长最小值为 ▲ .

13.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) ,若函数 f ( x) 在区间[-1,0]上是单 调减函数,则 a ? b 的最小值为
2 2





14 .已知实数 x , y 满足 : x3 ? 2 xy ?1 ? 0 (?1 ? x ? 2, x ? 0) ,这个方程确定的函数为

y ? f ( x) , 若函 数 z ? 3x ? 2 f ( x) ? k 有 且只 有一 个零 点 , 则 实数 k 的 取值 范围是
▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. → → 15.已知△ABC的面积为S,且AB·AC=S. (1) 求tan2A的值; π → → (2) 若B= ,|CB-CA|=3,求△ABC的面积S. 4

16.如图,在三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中,已知

AB ? AC ? 2 AA1



? AB , A1C 的中点.求证: ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 ,点 D , E 分别为

(1) DE ∥平面 BB1C1C ; (2) BB1 ⊥平面 A1 BC .

2

17.如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯,其 照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设∠PAB=θ ,tanθ =t. (1) 用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长是否为定值; (2) 问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(平方百米)?

18.已知椭圆O的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准 1 3 线的距离之比为 .不过A点的动直线 y ? x ? m 交椭圆O于P、Q两点. 2 2 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 证明P、Q两点的横坐标的平方和为定值; (3) 过点A、P、Q的动圆记为圆C,动圆C过不同于A的定点,请求出该定点坐标.

19.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a 2 ? 1, bn ? nSn ? (n ? 2)an ,数列 ?bn ? 是 公差为 d 的等差数列,n∈N . (1) 求 d 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3)
*

2 2 n?1 请判断 (a1 ? a2 ? an ) ? ( S1 ? S 2 ? S n )和 的大小关系,并证明你的结论. (n ? 1)(n ? 2)

3

20.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? (1)

1 2 x ? bx ( b 为常数). 2

函数 f ( x) 的图象在点(1, f (1) )处的切线与函数 g ( x) 的图象相切,求实数 b 的值; (2) 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 h( x) 在定义域上存在单调减区间,求实数 b 的取 值范围; (3) 若 b ? 1 ,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x 2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围.

附加题(时间30分钟,总分40分)
1.设 TA 是逆时针旋转

? 的旋转变换, TB 是以直线 l : y ? x 为轴的反射变换,求先进行 6

TA 变换,后进行 TB 变换的复合变换矩阵.

2.在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ,圆心为直线 ? sin( ( 2, )

?

?
3

4

? ?) ?

3 与极轴的交点 2

,求圆 C 的极坐标方程.

4

3.一个袋中装有大小和质地都相同的10个球,其中黑球4个,白球5个,红球1个. (1) 从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的概率分布和数学期望 E(X); (2) 每次从袋中随机地摸出一球,记下颜色后放回.求3次摸球后,摸到黑球的次数大于 摸到白球的次数的概率.

4.已知定点 F (0, ) 和直线 l : y ? ?

1 8

1 ,过定点 F 与直线 l 相切的动圆的圆心为点 C .动点 8

C 的轨迹记为曲线 E . (1)求曲线 E 的标准方程;
(2)点 P 是曲线 E 上的一个动点, 曲线 E 在点 P 处的切线为 l1 ,过点 P 且与直线 l1 垂直 的直线 l 2 与曲线 E 的另一个交点为 Q ,求线段 PQ 的取值范围.

5

高三阶段考试(数学试题)一卷
1. {-1,0,1,2}; 2. 1; 3. 1; 4. ( ,

? 5?
3 3

);

5.

1 2 2 3 2 ; 6. (x±1) +(y- ) =1 3 2 12. 4 2+2

7. 10;

8. ?1 ,? ;

? 5? ? 3?

9. m≤4;

10. 4;

11. [-2,0];

9 13. ; 5

14. ? —

? ?

15 ? , ? ?? 4 ?

15. 解:(1) 设△ABC的角A、B、C所对应的边分别为a、b、c. 1 1 → → ∵ AB· AC=S,∴ bccosA= bcsinA,∴ cosA= sinA,∴ tanA=2. 2 2 2tanA 4 ∴ tan2A= =- .(5分) 3 1-tan2A → → → (2) |CB-CA|=3,即|AB|=c=3, π 2 5 5 ∵ tanA=2,0<A< ,(7分) ∴ sinA= ,cosA= .(9分) 2 5 5 2 5 2 5 2 3 10 ∴ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= · + · = .(11分) 5 2 5 2 10 c b c 1 1 2 5 由正弦定理知: = ?b= · sinB= 5 ,S= bcsinA= 5 ×3× sinC sinB sinC 2 2 5 =3.(14分) 16. 证明:(1) 取AC中点M,连DM,EM, ∵D为AB的中点,∴ DM∥BC,∵ DM?平面BB1C1C,BC?平面BB1C1C, ∴ DM∥平面BB1C1C. 同理可证EM∥平面BB1C1C.又DM∩EM=M,∴ 平面DEM∥平面BB1C1C. ∵ DE?平面DEM,∴ DE∥平面BB1C1C.(7分) (2) 在△AA1B中,因为AB=2AA1,∠BAA1=60° , 设AA1=1,则AB=2,由余弦定理得A1B= 3. 2 2 故AA2 所以BB1 ⊥A1B (10分) 1+A1B =AB ,∴ AA1⊥A1B, 同理可得BB1⊥A1C. 又A1B∩A1C=A1,∴BB1⊥平面A1BC. (14分) 17. 解:(1) BP=t,CP=1-t,0≤t≤1. 1-t 1-t 2t ∠DAQ=45° -θ,DQ=tan(45° -θ)= ,CQ=1- = .(3分) 1+t 1+t 1+t ∴ PQ= CP2+CQ2= 2t ?2 1+t2 ?1-t?2+? ?1+t? = 1+t .(6分) 2t 1+t2 + =1-t+1+t=2.(9分) 1+t 1+t

∴ l=CP+CQ+PQ=1-t+

1 1 2t 1 1 (2) S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1- (1-t)- = (1+t)+ -1(12分) 2 21+t 2 1+t ∵ 1+t>0,∴ S≥2 1 1 ?1+t? -1= 2-1.当t= 2-1时取等号. 2 1+t

探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为( 2-1)平方百米.(14分) x2 y2 3 18. (1) 解:设椭圆的标准方程为 2 + 2=1(a>b>0).由题意得a=2,e= .(2分) a b 2
6

x2 ∴ c= 3,b=1,(2分)∴ 椭圆的标准方程为 +y2=1.(4分) 4 (2) 证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2), 1 将y= x+m带入椭圆,化简得x2+2mx+2(m2-1)=0,① 2 ∴ x1+x2=-2m,x1x2=2(m2-1),(6分) 2 2 ∴ x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=4,∴ P、Q两点的横坐标的平方和为定值4.(7分) (3) 解:解法1:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为

?-D,-E? 2? ? 2

m 3 -m, ?,PQ的垂直平分线的方程为y=-2x- m,(8分) PQ中点M? 2? ? 2 D E 3 E 3 ? 圆心? ?- 2 ,- 2?满足y=-2x-2m,所以-2 =D-2m,②(9分) 圆过定点(2,0),所以4+2D+F=0,③(10分) 2 ?x2 ? 1+y1+Dx1+Ey1+F=0, 圆过P(x1,y1),Q(x2,y2),则? 2 2 两式相加得 ? ?x2+y2+Dx2+Ey2+F=0, 2 2 2 x2 1+x2+y1+y2+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0, x2 x2 1? 2? 2 ? ? 1 - 1 - x2 + x + + 1 2 ? 4 ? ? 4 ?+D(x1+x2)+E(y1+y2)+2F=0,(11分) ∵ y1+y2=m,∴ 5-2mD+mE+2F=0. ④(12分) 1 ∵ 动直线y= x+m与椭圆C交于P、Q(均不与A点重合),∴ m≠-1. 2 3(m-1) 3 3 3 5 由②③④解得D= ,E= m+ ,F=- m- ,(13分) 4 2 2 2 2 3 ( m - 1 ) 3 3 5 ? 3 代入圆的方程为x2+y2+ x+? ?2m+2?y-2m-2=0, 4 3 3 5? 2 2 ?3 3 3? 整理得? ?x +y -4x+2y-2?+m?4x+2y-2?=0,(14分) 3 3 5 x2+y2- x+ y- =0, ? 4 2 2 ?x=0, ? ?x=2, ∴ (15分)解得? 或? (舍)∴ 圆过定点(0,1).(16分) 3 3 3 ?y=1 ?y=0. ? ? x+ y- =0, 4 2 2 1 解法2:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将y= x+m代入的圆的方程: 2 E? 5 2 ? x +?m+D+ 2 ?x+m2+mE+F=0. ⑤(8分) 4 2(m2-1) 1 2m 方程①与方程⑤为同解方程. = = ,(11分) 5 E m2+mE+F m+D+ 4 2 圆过定点(2,0),∴ 4+2D+F=0.(12分) 1 ∵ 动直线y= x+m与椭圆C交于P、Q(均不与A点重合),∴ m≠-1. 2 3(m-1) 3 3 3 5 解得D= ,E= m+ ,F=- m- .(13分) 4 2 2 2 2 (以下相同) 19. (1) 解:∵ a1=a2=1,∴ b1=S1+3a1=4,b2=2S2+4a2=8,∴ d=b2-b1=4.(3分) (2) 解:∵ 数列{bn}是等差数列,∴ bn=4n,∴ nSn+(n+2)an=4n,

? ? ?

n+2 即Sn+ a =4. n n



当n≥2时,Sn-1+

n+1 a =4. n-1 n-1



①-②,得(Sn-Sn-1)+

n+2 n+1 n+2 n+1 an an- a =0.∴ an+ an= a ,即 n n-1 n-1 n n-1 n-1 an-1

7

1 n = · .(7分) 2 n-1 则 a2 1 2 a3 1 3 an 1 n an 1 = · , = · ,…, = · . 将各式相乘得 = n-1 · n.∵ a1=1,∴ a1 2 1 a2 2 2 an-1 2 n-1 a1 2 n .(9分) 2n-1 (3)判断:小于.(10分) n+2 证明:∵ Sn+ a =4,an>0,Sn>0,∴ n n n+2 Sn· a≤ n n Sn+ n+2 a n n =2. 2

an=

1×2 n 则0<anSn≤4· .(13分)∴ (a1a2…an)· (S1S2…Sn)≤4n· . ③(15分) n+2 ?n+1??n+2? ∵ n=1时,Sn≠ n+2 a , ∴ ③式等号不成立. n n

22n+1 则(a1a2…an)· (S1S2…Sn)< .(16分) ?n+1??n+2? 1 20. (1) 因为f(x)=lnx,所以f′(x)= ,因此f′(1)=1, x 所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1,(2分)

?y=x-1, ? 由? 1 2 得x2-2(b+1)x+2=0.由Δ=4(b+1)2-8=0,得b=-1± 2.(4分) ? ?y=2x -bx,
1 (2) 因为h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x2-bx(x>0), 2 1 x2-bx+1 所以h′(x)= +x-b= ,由题意知h′(x)<0在(0,+∞)上有解, x x 因为x>0,设u(x)=x2-bx+1,因为u(0)=1>0, ?b>0, ? 则只要?2 解得b>2,

??-b?2-4>0, ?

所以b的取值范围是(2,+∞).(8分) (3) 不妨设x1>x2,因为函数f(x)=lnx在区间[1,2]上是增函数,所以f(x1)>f(x2),函数g(x)图 象的对称轴为x=b,且b>1. (ⅰ) 当b≥2时,函数g(x)在区间[1,2]上是减函数,所以g(x1)<g(x2), 所以|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于f(x1)-f(x2)>g(x2)-g(x1), 即f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2), 1 等价于h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x2-bx在区间[1,2]上是增函数, 2 1 等价于h′(x)= +x-b≥0在区间[1,2]上恒成立, x 1 等价于b≤x+ 在区间[1,2]上恒成立,所以b≤2. 又b≥2,所以b=2;(10分) x (ⅱ) 当1<b<2时,函数g(x)在区间[1,b]上是减函数,在[b,2]上为增函数.
8

① 当1≤x2<x1≤b时,|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2), 1 等价于h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x2-bx在区间[1,b]上是增函数, 2 1 等价于h′(x)= +x-b≥0在区间[1,b]上恒成立, x 1 等价于b≤x+ 在区间[1,b]上恒成立,所以b≤2.又1<b<2,所以1<b<2;(12分) x ② 当b≤x2<x1≤2时, |f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2), 1 等价于H(x)=f(x)-g(x)=lnx- x2+bx在区间[b,2]上是增函数, 2 1 等价于H′(x)= -x+b≥0在区间[b,2]上恒成立, x 1 3 等价于b≥x- 在区间[b,2]上恒成立,所以b≥ . x 2 3 故 ≤b<2.(14分) 2

③ 当1≤x2<b<x1≤2时, 由g(x)图象的对称性可知,只要|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|对于①②同时成立,那么对 于③,则存在t1∈[1,b], 使|f(x1)-f(x2)|>|f(t1)-f(x2)|>|g(t1)-g(x2)|=|g(x1)-g(x2)|恒成立; 或存在t2∈[b,2], 使|f(x1)-f(x2)|>|f(x1)-f(t2)|>|g(x1)-g(t2)|=|g(x1)-g(x2)|恒成立. 3 因此, ≤b<2. 2 3 综上,b的取值范围是 ≤b≤2.(16分) 2

附加题(时间30分钟,总分40分)
? ? 1.解: TA 对应的变换矩阵为: A ? ? ? ? ? 3 2 1 2 1? ? ? 2? , 3? ? 2 ?
…………………3 分

?0 1 ? TB 对应的变换矩阵为: B ? ? ?, ?1 0 ?

………………………6 分

先进行 TA 变换,后进行 TB 变换的复合变换矩阵是:

? ? M ? BA ? ? ? ? ?

1 2 3 2

3? ? 2 ? . 1? ? ? 2?

……………………………10 分

9

2.解:因为圆心为直线 ? sin(

3 与极轴的交点, 3 2 所以令 ? ? 0 ,得 ? ? 1 ,即圆心是 (1, 0) , ………………………………2 分 ?? ) ?
又圆 C 经过点 P ,所以圆的半径 r ? 2 ? 1 ? 2 2 cos ( 2, )

?

? 1 ,……7 分 4 从而圆过原点,所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? .…………………10 分

?

?

4

3. 解:(1) 随机变量X的取值为0,1,2,3,分布列是 X 0 1 2 P 1 12 5 12 5 12

3 1 12 ---------(3分)

1 5 5 1 3 X的数学期望E(X)= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= .(5分) 12 12 12 12 2 (2) 记3次摸球中,摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A,
3 2 2 1 2 3? 4 ? 2?? 4 ? 5 ? 4 ? ·1 ?+C1 ?4?· ? 1 ? = 91 . 则P(A)=C3 + C · + 3 3 ?10? ?10? ?10? 250 ??10? 10 ?10? 10?

91 所以3次摸球后,摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为 .(10分) 250
2 4.解:(1)由抛物线定义知曲线 E 的标准方程: x ?

1 y 2 1 4a

-------------4 分

(2)设 P(a,2a2 ) , a ? R , y / ? 4 x ,所以 PQ 的斜率为 ? 直线 l 2 : y ? a ? ?

1 ( x ? a ) 与 y ? 2x 2 联立得: 8ax2 ? x ? 4a 2 ? a ? 0 4a

8a 2 ? 1 8a 2 ? 1 2 ) 由两根之和得: xQ ? ? ,所以 y Q ? 2( 8a 8a ---------------------6 分

PQ ? (?

8a 2 ? 1 8a 2 ? 1 2 ? a) 2 ? (2( ) ? 2a) 2 8a 8a

=

(16a 2 ? 1) 16a 2 ? 1 2 2 ? 16a

t ? 16a ? 1 ? 1
2



,

1 t3 PQ ? 2 t 2 ?1 则

f (t ) ?


t3 t 2 (t 2 ? 3) / f ( t ) ? ?0 t ? 3 t 2 ?1 , (t 2 ? 1) 2 得
PQ ? 3 3 4
-----------------------------10

列表判断知:

10

11


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