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吉林省长春市十一中2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题


长春市十一高中 2012-2013 学年度高二下学期期末考试 数 学 试 题(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2 1. 设集合 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 0 , 则 A ? B ? (

?

?

?

?



A. ?0,2?

B. ?? 1,1?
1 ? 2i ? 1 ? i, 则( a ? bi

C. ?0,1? ) C. a ? )

D. ?? 1,2?

2.设 a , b 为实数,若复数 A .a ?
3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 3, b ? 1

1 3 ,b ? 2 2

D. a ? 1, b ? 3

3.函数 y ? A . xx?0

x ? x ? 1? ? lg

1 的定义域是( x

?

?
?

B. x x ? 1 D.

?

?

C. x x ? 1或x ? 0 4.下列命题:

?

?x 0 ? x ? 1?

① ?x ? R , 不等式 x 2 ? 2 x ? 4 x ? 3 均成立; ②若 log2 x ? logx 2 ? 2, 则 x ? 1 ; ③“若 a ? b ? 0, c ? 0, 则
c c ? ”的逆否命题; a b

④若命题 p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1, 命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则命题 p ? ?q 是真命题。 其中真命题只有( ) A . ①②③ B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

5 . 给 出 下 列 三 个 等 式 :

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ?, f ? xy? ? f ? x ? ? f ? y ?,


f ?x ? y? ?
A. f ? x ? ? 3

f ?x? ? f ? y? , 下列函数中 不 满足其中任一等式的是( ? 1 ? f ?x? f ? y?
x

B. f ? x ? ? sinx

C. f ? x ? ? log2 x

D. f ? x ? ? tan x

?2 ? x ? 1, x ? 0 6.设 f ? x ? ? ? 3 , 若 f ?a ? ? a, 则 a 的范围是( 1 ? ,x ? 0 ? x
A.



?? ?,?3?

B.

?? ?,?1?

C. ?1,???

D.

?0,1?

7.某商品销售量 y (件)与销售价格 x (元/件)负相关,则其回归方程可能是(



? ? ?10x ? 200 A. y ? ? ?10x ? 200 C. y

? ? 10x ? 200 B. y ? ? 10x ? 200 D. y


8.已知函数 f ( x ) 的图像如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能是( A. B. C. D.

f ( x) ? x 2 ? ln x f ( x) ? x 2 ? 2 ln x

y

f ( x) ?| x | ?2ln x
f ( x) ? x ? ln x
1
x

9.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足:对任意的实数 a , b 有 f ?a ? b? ? f ?a ? f ?b? ,且 f ?1? ? 2 , 则 f ?3? ? ( A.6 ) B.7 C.8 D.9

x2 y2 3 10.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线与椭圆有 a b 2
四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( A. )

x2 y2 ? ?1 8 2

B.

x2 y2 ? ?1 12 6
?| x?2|

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 20 5


11.已知命题 p : a ? ?3 ,命题 q : 9 A . 必要不充分条件

? 4 ? 3?|x?2| ? a ? 0 有实根,则 p 是 q 的(
C. 充要条件

B. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

f ( x) ?
12 .设函数 的取值范围是( A .

x?a ,集合 M ? {x | f ( x) ? 0}, P ? {x | f ?( x) ? 0},若 M ? P ? x ?1


,则实数 a

?? ?,1?

B. (0,1)

C. ?1,???

D. ?1,?? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 13.设集合 M ? {m | m ? 5n ? 2n , n ? N * , 且m ? 100} ,则集合 M 中所有元素的和为 14.已知 f ?1 ? cos x ? ? sin2 x, 则 f ?x ? ? (不必标明定义域) 。
f ?2 x ? 的定义域是 x ?1

.

15.若函数 y ? f ?x ? 的定义域是 ?0,2?, 则函数 g ?x? ?



16.对于实数 x、y,定义新运算 x ? y ? ax ? by ? 2010,其中 a、b 是常数,等式右边是通常的 加法和乘法运算,若 3 ? 5 ? 2011 , 4 ? 9 ? 2009,则 1 ? 2 ? 17.函数 f ? x ? ? 。

1 1 ? 的值域是 2 ?1 2
x

.

18.设函数 f ?x ??x ? N ? 表示 x 除以 2 的余数, g ?x ??x ? N ? 表示 x 除以 3 的余数,则对任意的

x ? N ,给出以下式子:① f ?x ? ? g ?x ? ② g ?2 x ? ? 2 g ?x ?③ f ?2 x ? ? 0
④ f ?x ? ? f ?x ? 3? ? 1 ,其中正确式子的编号为 三.解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分) 19.( 本小题满分 12 分) 定义在 R 上的增函数 y ? f ?x ?, f ?0? ? 0 , f ?a ? b? ? f ?a ? f ?b? , (1)求 f ?0? ; (2)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ?x ? ? 0 ; 。

(3)若 f ?x ? ? f 2 x ? x 2 ? 1 ,求 x 的范围。 20.( 本小题满分 12 分) b 5 17 已知函数 f(x)=ax+ +c(a、b、c 是常数)是奇函数,且满足 f(1)= ,f(2)= . x 2 4 (1)求 a、b、c 的值; (2)试讨论函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)试求函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值. 21.( 本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

?

?

1 x2 y2 ? 3? ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 , 且经过点 ?1, ?. 2 2 a b ? 2?

(1) 求椭圆的方程; (2) 已知 A 为椭圆 C 的左顶点, 直线 l 过右焦点 F 与椭圆 C 交于 M,N 两点, 若 AM,AN 的斜率 k1 , k 2 满足 k1 ? k 2 ? m ( m 为定值,且 m ? 0 ) ,求直线 l 的斜率。 22. (本小题满分 12 分)函数 f ?x ? ? e x ? 2 x 2 ? 3x. (1) 求曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 求证: y ? f ?x ? 在 ?0,1? 上存在唯一的极值点; 选考题: (本小题满分 12 分) 请考生在第 23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 23. 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1 , F2 为其左、右焦点, 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2



? 2 x ?2? t ? ? 2 , 线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ? y? 2t ? ? 2
(1) 求直线 l 和椭圆 C 的普通方程; (2) 求点 F1 , F2 到直线 l 的距离之和。 24. 设函数 f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (1) 解不等式 f ?x ? ? 2 ; (2) 求函数 y ? f ?x ? 的最小值。

2012—2013 年度高二下学期期末考试文科参考答案
一、CABAB 二、13、231 BABCD AD 14、 ? x ? 2 x
2

15、 ?0,1? 18、③④

16、2010 三、

17、 ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

19、 (1) f ?0 ? 0? ? f ?0? f ?0?,? f ?0? ? 0,? f ?0? ? 1. (2) f ?

? x x? ? x? ? x? ? x? ? ? ? f ? ? f ? ?, ? f ?x ? ? f 2 ? ?. ?2 2? ?2? ?2? ?2?

? x? ? f ?0? ? 0,? f ? ? ? 0,? f ?x ? ? 0. ?2?
(3) f 3x ? x 2 ? f ?0?,? f ?x ? 是增函数,? 3x ? x ? 0,
2

?

?

? 0 ? x ? 3.
20、(1)∵函数 f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0. b b 即-ax- +c+ax+ +c=0,∴c=0. x x 5 17 由 f(1)= ,f(2)= , 2 4 5 b 17 1 得 a+b= ,2a+ = ,解得 a=2,b= . 2 2 4 2 1 ∴a=2,b= ,c=0. 2

1 (2)由(1)知,f(x)=2x+ , 2x 1 (x- )(2x+1) 2 1 ∴f′(x)=2- 2= . 2 2x x 1 当 x∈(0, )时,f′(x)<0. 2 1 ∴函数 f(x)在(0, )上为减函数. 2 1 当 x> 时,f′(x)>0, 2 1 ∴函数 f(x)在( ,+∞)上为增函数. 2 1 (3)由(2)知 x= 是函数的最小值点, 2 1 即函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值为 f( )=2. 2

c 1 x2 y2 2 2 2 2 21、 (1)? ? ,? a ? 4c , b ? 3c . ? 2 ? 2 ? 1. a 2 4c 3c
9 1 ? 3? ?经过点 ?1, ?,? 2 ? 4 2 ? 1,? c 2 ? 1. 3c ? 2 ? 4c

?

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2) l : y ? k ?x ? 1?, k1 ?

y1 y2 , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

? k1 ? k 2 ? k

2 x1 x2 ? ?x1 ? x2 ? ? 4 . x1 x2 ? 2?x1 ? x2 ? ? 4

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , ? 4k 2 ? 3 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0, ? ? y ? k ? x ? 1?

?

?

? k1 ? k 2 ? k
22、 (1) f
/

? 36 1 1 ? ? ? m,? k ? ? . 2 36k k m

?x? ? e x ? 4x ? 3, f / ?1? ? e ? 1, f ?1? ? e ? 1,

? 切线方程为 ?e ? 1?x ? y ? 2 ? 0.

(2)令 f

/

?x? ? h?x? ? e x ? 4x ? 3, 则 h?0? ? 0, h?1? ? 0,

? h?0?h?1? ? 0.? h?x ? 在 ?0,1? 上至少有一零点。

又 ? h / ?x ? ? e x ? 4 ? 0,? h?x ? 在 ?0,1? 上有唯一零点。

? f ?x ? 在 ?0,1? 上存在唯一的极值点。

23、 (1) 3? 2 cos2 ? ? 4? 2 sin 2 ? ? 12, ? 3x 2 ? 4 y 2 ? 12,

?C :

x2 y2 ? ? 1. l : x ? y ? 2 ? 0. 4 3

(2) F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0?,?d1 ? d 2 ? 2 2.

? ? x ? 5, x ? 4 ? 1 ? 24、 (1) 2 x ? 1 ? x ? 4 ? ?3x ? 3,? ? x ? 4 2 ? ? ? x ? 5, x ? ? 1 ? ? 2 x ? 4 时, x ? 5 ? 2,? x ? 4; 1 5 ? ? x ? 4 时, 3x ? 3 ? 2,? ? x ? 4; 2 3 1 x ? ? 时, ? x ? 5 ? 2,? x ? ?7; 2
综上, ? x x ? ?7或x ?

? ?

5? ? 3?

(2) x ? 4 时, f ?x ?min ? 9;

1 9 ? x ? 4 时, f ? x ?min ? ? ; 2 2 1 9 x ? ? 时, f ? x ?min ? ? ; 2 2 9 综上, f ? x ?min ? ? . 2 ?

()


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