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高三数学平面向量的应用


2010届高考数学复习 强化双基系列课件

12《平面向量 -平面向量的应用》

知识精讲: 掌握向量的概念、坐 标表示、运算性质,做到融会贯通, 能应用向量的有关性质解决诸如平 面几何、解析几何等的问题.
1.

? ? 设向量 a ? ( x1 , y1 ) 与 b ? ( x2 , y2 ) 的夹角为 ? ?? ?? 1.用向量法求角 x1 ?x2 ? y1 ?y2 a? b cos ? ? ? ? ? 2 2 2 2
a ?b
x1 ? y1 ? x2 ? y2

一、知识回顾

2.用向量法处理垂直 ? ? ?? a ? b ? a? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 3.用向量法处理平行 ? ?? ? ? a ?( b b ? 0) ? 有且只有一个实数?,使得a ? ?b

?2 ? 2 4.用向量法处理向量的模: a ? a

? x1 ?y2 ? x2 ?y1 ? 0

? ? ? a ? b ? a ?b 是非零向量, 且 例1.已知 a与 b ? ? ? 求 的夹角。 a ? b a 与 ?

二、基础应用 ? ? ?

? ? 解: 设 a 与 a ? b 的夹角为 ? ?2 ? ?2 ? ? ?

?2 ? ? ?2 由 b ? a ?b , 得 b ? a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? ? ?2 ∴ 2a ? b ? a ? ?2 ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 ∴ a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 2 a ? a ? 3 a ? ? ? ∴ a?b ? 3 a ?2 ? ? ?2 1 ?2 ? ? ? a ? a ?b a ? a a ? ( a ? b) 3 2 ? ? ? ? ? ∴cos ? ? ? ? ? ? ? a ? a?b a? 3a a? 3a 2

? ? , b =(-3,2) 例2.已知 a =(1,2) ,
k为何值时 : ? ? ? ? 垂直? (1)? 与 a ? 3 b ka ? b ? 解: ( 1) =(K-3,2k+2) k a ? b=k(1,2)+(-3,2)

? ? a ? 3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,4) ? ? ? ? ? ka ?? b?? a?? 3b? ?(ka ? b)? (a ? 3b) ? 0

10(k-3)-4(2k+2)=0 解得: K=9. 得: ? ? ? ? ? K=9时k a ? b 与 a ? 3b 垂直。

? ? , b =(-3,2) 例2.已知 a =(1,2) ,

? ? ? ? (2) k a ? b 与 a ? 3b 平行?
平行时,它们是同向还是反向? 1 解: 由题意得: k?? 10(2k+2)+4(k-3)=0. 解得: ? ? ? ? 3 1 ? k ? ? 时 k a ? b 与 a ? 3b 平行 3

k为何值时 : ? ? ? ? (1) k a ? b 与 a ? 3b 垂直?

? ? ? 1 ? 此时 k a ? b ? ? (a ? 3b) 3

? ? ? ? k a ? b 与 a ? 3b 反向. ?

三、向量在代数中的应用 ? ?
例3. 已知向量

? a ? ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ma ? ? nb ? ? (mx1 ? nx2 , my1 ? ny2 ) f (ma ? nb ? ) ? (mx1 ? nx2 ,2my1 ? 2ny2 ? mx1 ? nx2 ) mf (? a) ? (mx1, 2my1 ? mx1 ) nf (b) nx2 , 2ny ? ? (? ? 2 ? nx ?2 ) ? f (ma ? nb) ? mf (a) ? nf (b)
证明: 设

? ?f (u) 的对应关系记作 v? 求证:对于任意向量 ? ? a, b及常数 ? m, ?n 恒有 ? mf (a) ? nf (b) ? f (ma ? nb)?

与 v ? ( x,2 y ? x) u ? (x , y ) ? ?

? ? 1 3 例4 已知 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ),且存在实数k和t, ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2

使得:x ? a ? (t
2

? ? ? 且 x ? y, 求:k ? t
t

? 3)b, y ? ka ? tb,
2

的最大值。

解: ?

4 1 7 k ?t 3?t 2 ? ? ( t ? 2) ? ? ? ?t 4 4 t 4 7 2 ?当 t ? 2时, k ? t 取最大值 4 。 t
2 2

2 ? ? ? t ( t ? 3) 由 x ? y, 及其充要条件可得: k?

t ?3 3(t 2 ? 3) x?( 3? , ?1 ? ) 2 2 ? ? 1 3 y ? ( 3 ? t , ?k ? t) 2 2

? ? 1 3 例4 已知 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ),且存在实数k和t, ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2

使得:x ? a ? (t

? ? ? 且 x ? y, 求:k ? t
t
? ? 满足关系 k a ? b ?

? 3)b, y ? ka ? tb,
2

的最大值。

? ? ? ? 变式: 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ),且 a, b
? ? 3 a ? kb ( , k 为正实数)

? ? (1)求将 a 与b 的数量积表示为关于 k 的函数 f (k ) ? ? 的夹角? 与b (2)求函数 f (k ) 的最小值及取得最小值时a

四、向量在平面解析几何中的应用 ?
2 2

例5.若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1, ?1)平移 后与圆 x ? y ? 5 相切,则c的值是( A ) (A)8或-2,(B)6或-4, (C)4或-6,(D)2或-8 解析: 平移后的直线方程为:2 x ? y ? 3 ? c ? 0 由 d ? r 得 c ? 3 ? 5, 得c=8或-2
5

? by ? c ? 0 与圆o 变式:已知直线 ax 1
2 A,B两点,且 AB x ? y ? 1相交于
2 2

?

??? ? ??? ? 则 OA?OB ? _______

?

3,

例6.已知点 H (?3,0), 点P 在 y 轴上,点Q在

x

轴的正半轴上,点M直线PQ上,且满足:

???? ???? ? ???? ? 3 ????? HP?PM ? 0, PM ? ? MQ, 2
当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹方程。

五、小结
1.向量的基本知识点
2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用

; http://www.ddk123.com/ 防滑地垫 bgk304vfc 莫艳艳恨铁不成钢的拍她的大腿“我说姐妹儿,你傻呀,你默默的喜欢着人家,谁知道呀,就你这性格,一看就是暗恋别人N 多年,你咋那么傻呢?简直是中国第一大傻妞!”然后又似推断般的开口“所以,你这么努力的读博,莫非就是为了将来有机 会跟他一起工作?” 孤独晓寂点头如捣蒜“嗯”。 莫艳艳又问“他叫什么?” 孤独晓寂忍不住又咬了咬唇,垂下眼睑,轻声道“司空阳宇” 莫艳艳笑得花枝乱颤“哇哈哈、这名字倒是跟你名字绝配,你孤独、他司空”停止了笑声认真的开口道“你们不应该生活在这 个热闹的闹市里!” 孤独晓寂不解的开口“为什么?” 莫艳艳继续笑得不可抑制“你们应该生活在寺院、寺院,知道么,你应该投身为尼姑,他应该是个和尚,四大皆空,简直笑死 我了!” 想要有所改变、总会有所改变的——慢慢来! 阿落跟黄老太太逐渐熟识之后,黄老太太便将自己子女的事迹也讲与阿落听听,她的子女都是非常有出息的孩子,子女们的配 偶相对而言也是很棒的另一半。 黄老太太说“我大儿子那会儿就在南京上大学,然后还读了博士,他在读博的时候他的导师就让他顺带、带带研究生,这样也 可以有一定的经济来源,他很有能力的,大学以后几乎都不跟我们要钱花了。我大儿子在上大学的时候便交了一个女朋友,两 个小孩子感情也很好的,但是当时他女朋友英语不过关便没能念上我儿子读的那个学位,她大学一毕业便开始工作了,她当时 找的那份工作也是蛮不错的,但是,她一直都是在等我们家儿子。然后呢,我儿子的导师推荐了我儿子到加拿大一处研究院工 作。当时呢,我儿子就问她你要不要跟我一起去加拿大?”


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