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江苏省江阴市2014-2015学年高二上学期月考数学试卷 Word版含解析


江苏省江阴市 2014-2015 学年高二上学期月考数学试卷
一.填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)sin1290°的值是. 2. (5 分)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,5},则 N=. 3. (5 分)若 ,则 cos2θ=.

4. (5 分)已知集合 A={x|y

=

},B={y|y=

},则(?RA)∩B=.

5. (5 分)同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率为. 6. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 a ﹣b = 则 A=.
2 2

bc, sinC=2

sinB,

7. (5 分)若函数

,若 f(a)>f(﹣a) ,则实数 a

的取值范围是.

8. (5 分)设等比数列{an}的前 n 和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则

=.

9. (5 分)已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) (0≤φ<π) ,它们的图象有一个横坐标为 交点,则 φ 的值是.



10. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣x+2 有一个零点所在的区间为(m,m+1) (m∈N ) ,则 m 的 值为. 11. (5 分)△ ABC 中, ∈,其面积 S=

*

?

,则



夹角取值范围是.

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=mx+ny(m>0,n>0)

的最大值为 3,则 + 的最小值为.

13. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+ )=﹣f(x) ,且函数 y=f(x ﹣ )是奇函数,给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; ③函数 f(x)是偶函数; ④函数 f(x)在 R 上是单调函数. 在上述四个命题中,正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) 14. (5 分)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设(aij(i,j∈N )是位 于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右第 j 个数,如 a42=8,若 aij=2009,则 i 与 j 的和为.
*

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( ,π) ,sinα= .

+α)的值; ﹣2α)的值.

16. (14 分)某小学四年级男同学有 45 名,女同学有 30 名,老师按照分层抽样的方法组建 了一个 5 人的课外兴趣小组. (Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;

(Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从 小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 17. (14 分)已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为 (2)该企业 2010 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 20. (16 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a1+a2+a3=14,且 a2+1 是 a1,a3 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; * 3 (3)若存在 n∈N ,使得 Sn+1﹣2≤8n λ 成立,求实数 λ 的最小值.
2

江苏省江阴市 2014-2015 学年高二上学期月考数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)sin1290°的值是﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据诱导公式,转化成锐角的三角函数形式再计算即可. 解答: 解:sin1290°=sin(360°× 3+210°)=sin210°=sin(180°+30°)=﹣sin30°= 故答案为: . .

点评: 本题考查诱导公式的化简求值.对角的转化原则是:负(角)化正(角) ,大(角) 化小(角) . 2. (5 分)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,5},则 N={1,3,4}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集为 M 与 N 的并集,以及 M 与 N 补集的交集,确定出 N 即可. 解答: 解:∵全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,5}, ∴N={1,3,4}. 故答案为:{1,3,4} 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定 义是解本题的关键.

3. (5 分)若

,则 cos2θ=



考点: 诱导公式的作用;二倍角的余弦. 分析: 由 sin(α+ 解答: 解:由 而 故答案为:﹣ . )=cosα 及 cos2α=2cos α﹣1 解之即可. 可知, , .
2

点评: 本题考查诱导公式及二倍角公式的应用. },则(?RA)∩B=( ,

4. (5 分)已知集合 A={x|y= 2].

},B={y|y=

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,求出 A 补集与 B 的交 集即可. 解答: 解:由 A 中 y= ,得到 ﹣2 ≥0,即 x≤ ,
x

∴A=(﹣∞, ],即?RA=( ,+∞) , 由 B 中 y= 得到 B=, 则(?RA)∩B=( ,2]. 故答案为: ( ,2] 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. = ≤2,且 y≥0,

5. (5 分)同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有 8 种, 其中两个正面一个背面的 情况有三种,由此能求出同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率. 3 解答: 解:同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有 2 =8 种, 其中两个正面一个背面的情况有:

(正,正,背) , (正,背,正)与(背,正,正) ,共 3 种, ∴同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率:p= . 故答案为: . 点评: 本题考查概率的求法,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. 6. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 a ﹣b = 则 A=30°.
2 2

bc, sinC=2

sinB,

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知 sinC=2 sinB 利用正弦定理化 简,代入第一个等式用 b 表示出 a,再利用余 弦定理列出关系式,将表示出的 c 与 a 代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 解答: 解:将 sinC=2 sinB 利用正弦定理化简得:c=2 b, 2 2 2 2 2 代入得 a ﹣b = bc=6b ,即 a =7b , ∴由余弦定理得:cosA= = = ,

∵A 为三角形的内角, ∴A=30°. 故答案为:30° 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键.

7. (5 分)若函数

,若 f(a)>f(﹣a) ,则实数 a

的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞) . 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 根据 f(a)>f(﹣a)求 a 得范围须知道 f(a) ,f(﹣a)的解析式因此根据

需对 a 进行讨论显然 a=0 不合题意故分 a>0,a<0

进行讨论再解不等式即可得解. 解答: 解:当 a>0 时﹣a<0 则由 f(a)>f(﹣a)可得 ∴log2a>0 ∴a>1

②当 a<0 时﹣a>0 则由 f(a)>f(﹣a)可得 ∴log2(﹣a)<0 ∴0<﹣a<1 ∴﹣1<a<0 综上 a 的取值范围为(﹣1,0)∪(1,+∞) 故答案为(﹣1,0)∪(1,+∞) 点评: 本体组要考查了利用分段函数的解析式解不等式. 解题的关键是要分清楚自变量的 取值范围所在的取值区间, 而本题中的 a 的范围不定则需分类讨论同时本题还考查了利用对 数函数的单调性解有关的对数不等式!

8. (5 分 )设等比数列{an}的前 n 和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则

=33.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先根据题设条件结合等比数列的前 n 项和公式,可以求出公比 q,然后再利用等比 数列前 n 项和公式求 的值即可.

解答: 解:根据题意,S3=2,S6=18,易得 q≠1; ∵S3=2,S6=18,





∴q=2.



=

=



故答案为:33. 点评: 本题主要考查了数列的性质和应用,解题时注意公式的灵活运用,属于基础题.

9. (5 分)已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) (0≤φ<π) ,它们的图象有一个横坐标为 交点,则 φ 的值是 .



考点: 三角方程;函数的零点. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析: 由于函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) ,它们的图象有一个横坐标为

的交点,可得

= .根据 φ 的范围和正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) ,它们的图象有一个横坐标为 ∴ ∵0≤φ<π,∴ ∴ +φ= . . , = . , 的交点,

解得 φ=

故答案为 :

点评: 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础 题. 10. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣x+2 有一个零点所在的区间为(m,m+1) (m∈N ) ,则 m 的 值为 3. 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的零点与方程根的关系. 计算题. 根据函数解析式,可得 f(3)>0,f(4)<0,利用零点存在定理,可求 m 的值. 解:∵函数 f(x)=lnx﹣x+2 <0
*

∴f(3)=ln3﹣1>0,f(4)=ln4﹣2=ln

∴函数 f(x)=lnx﹣x+2 有一个零点所在的区间为 (3,4) ∴m 的值为 3 故答案为:3 点评: 本题重点考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 11. (5 分)△ ABC 中, ∈,其面积 S=

?

,则



夹角取值范围是.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积求得表达式的范围,根据三角形面积,可以得到 B 不等式,由 不等式的性质可得夹角正切值的范围,进而可得夹角的范围. 解答: 解: S= | |?| ? =| , |?| |cos(π﹣B)=﹣| |?| |cosB∈,①

|sinB=

∴|

|?|

|=

代入①可得﹣

∈,

由不等式的性质化简可 得 即 ∴ ∈, ∈,

∴tan(π﹣B)∈, ∴ 与 夹角取值范围.

故答案为: . 点评: 本题考查平面向量数量积的运算, 数量积表示两个向量的夹角, 涉及三角函数的计 算公式,属基础题.

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=mx+ny(m>0,n>0)

的最大值为 3,则 + 的最小值为 8.

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 可以作出不等式的平面区域,推出 2m+3n=3,求 + 的最小值,先用乘积进而用 基本不等式解答.

解答: 解:不等式组

表示的平面区域如图所示阴影部分,

当直线 z=mx+ny(m>0,n>0) 过直线 x﹣2y+4=0 与直线 3x﹣y﹣3=0 的交点(2,3)时, 目标函数 z=mx+ny(m>0,n>0)取得最大 3, 即 2m+3n=3,而 + = ( + ) (2m+3n)= 当 时去等号. ≥ =8,当且仅

故 + 的最小值为:8. 故答案为:8.

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题. 要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值

13. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+ )=﹣f(x) ,且函数 y=f(x ﹣ )是奇函数,给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; ③函数 f(x)是偶函数; ④函数 f(x)在 R 上是单调函数. 在上述四个命题中,正确命题的序号是①②③(写出所有正确命题的序号) 考点: 奇函数;奇偶函数图象的对称性;函数的周期性. 专题: 压轴题;存在型. 分析: 题目中条件:f(x+ )=﹣f(x)可得 f(x+3)=f(x)知其周期,利用奇函数图象 的对称性,及函数图象的平移变换,可得函数的对称中心,结合这些条件可探讨函数的奇偶 性,及单调性. 解答: 解:对于①:∵f(x+3)=﹣f(x+ )=f(x)∴函数 f(x)是周期函数且其周期 为 3.①对 对于②:∵y=f(x﹣ )是奇函数∴其图象关于原点对称 又∵函数 f(x)的图象是由 y=f(x﹣ )向左平移 个单位长度得到. ∴函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,故②对.

对于③:由②知,对于任意的 x∈R,都有 f(﹣ ﹣x)=﹣f( f(﹣ ﹣x)+f(x)=0 ∴f(﹣ ﹣x)=﹣f(x)=f(x+ )对于任意的 x∈R 都成立. 令 t= +x,则 f(﹣t)=f(t) ,∴函数 f(x)是偶函数,③对.

x) ,用

换 x,可得:

对于④:∵偶函数的图象关于 y 轴对称,∴f(x)在 R 上不是单调函数,④不对. 故答案为:①②③. 点评: 本题考查函数的奇偶性、 周期性等, 抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说 的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及 函数的相应的性质是解决问题的关键.是中档题. 14. (5 分)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设(aij(i,j∈N )是位 于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右第 j 个数,如 a42=8,若 aij=2009,则 i 与 j 的和为 107.
*

考点: 归纳推理;数列的函数特性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,前 32 个奇数行内数 的个数的和为 1024,得到 2009 在第 32 个奇数行内,确定 2009 是第几行第几列的数字,得 到结果. 解答: 解:由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009=2×1005﹣ 1, 所以 2009 为第 1005 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961, 前 32 个奇数行内数的个数的和为 1024,故 2009 在第 32 个奇数行内,所以 i=63, 因为第 63 行的第一个数为 2×962﹣1=1923,2009=1923+2(m﹣1) , 解得 m=44,即 j=44, 所以 i+j=107. 故答案为 107. 点评: 本题考查简单的演绎推理,考查数列的特点,是一个综合题,这种题目是我们经常 见到的问题,是一个比较新颖的题目,注意观察分析数字的排列规律.

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( ,π) ,sinα= .

+α)的值; ﹣2α)的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过已知条件求出 cosα,然后利用两角和的正弦函数求 sin( (2)求出 cos2α,然后利用两角差的余弦函数求 cos( 解答: 解:α∈( (1)sin( ∴sin( ,π) ,sinα= cosα+cos . .∴cos2α=1﹣2sin α= ,sin2α=2sinαcosα=﹣ sin2α= =﹣ .
2

+α)的值;

﹣2α)的值. = =﹣ ;

.∴cosα=﹣ sinα=

+α)=sin

+α)的值为:﹣ ,π) ,sinα=

(2)∵α∈( ∴cos( cos(

﹣2α)=cos

cos2α+sin .

﹣2α)的值为:﹣

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基 本关系式的应用,考查计算能力. 16. (14 分)某小学四年级男同学有 45 名,女同学有 30 名,老师按照分层抽样的方法组建 了一个 5 人的课外兴趣小组. (Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)经过一个月的学习、讨论, 这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做实验, 该同学做完后, 再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)某同学被抽到的概率为样本容量除以个体总数,设有 x 名男同学被抽到,则 由 = ,求得 x 的值,可得样本中男、女同学的人数.

(Ⅱ)把 3 名男同学和 2 名女同学分别记为 a,b,c,m,n,用列举法求出所有的基本事件 个数, 再求得抽取的两名同学中恰有一名女同学的基本事件的个数, 从而求得抽取的两名同 学中恰有一名女同学的概率.

解答: 解: (Ⅰ)某同学被抽到的概率为 P= 设有 x 名男同学被抽到,则有 = ,∴x=3,

=



∴抽到的男同学为 3 人,女同学为 2 人. (Ⅱ)把 3 名男同学和 2 名女同学分别记为 a,b,c,m,n,则选取 2 名同学的基本事件有: (a,b, ) , (a,c) , (a,m) , (a,n) , (b,c) , (b,m) , (b,n) , (c,m) , (c,n) , (m,n) , (b,a) , (c,a) , (m,a) , (n,a) , (c,b) , (m,b) , (n,b) , (m,c) , (n,c) , (n,m) ,共 20 个, 基中恰好有一名女同学有(a,m) , (a,n) , (b,m) , (b,n) (c,m) , (c,n) , (m,a) , (n,a) , (m,b) , (n,b) , (m,c) , (n,c) ,共计 12 个, 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 = .

点评: 本题考主要查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件, 列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于基础题. 17. (14 分)已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为 19. (16 分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2010 年世博会期间进行一 系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3 ﹣x 与 t+1 成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件,已知 2010 年生 产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需要再投入 32 万元 的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之 和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将 2010 年利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数; (2)该企业 2010 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据题意,3﹣x 与 t+1 成反比例,列出关系式,然后根据当 t=0 时,x=1,求 出 k 的值,通过 x 表示出年利润 y,并化简,代入整理即可求出 y 万元表示为促销费 t 万元 的函数. (2)根据已知代入(1)的函数,分别进行化简,利用关于 t 的方程必须有两正根建立关系 式,可求出最值,即促销费投入多少万元时,企业的年利润最大. 解答: 解: (1)由题意: 且当 t=0 时,x=1. 所以 k=2,即 . ,
2

当年销量为 x 万件时,成本为 3+32x(万元) . 化妆品的售价为 (万元/万件)

所以年利润 y= 把

(万元)

代入整理得到
2

,其中 t≥0.

(2)去分母整理得到:t +2(y﹣49)t+2y﹣35=0. 该关于 t 的方程在[0,+∞)上有解. 当 2y﹣35≤0,即 y≤17.5 时,必有一解. 当 2y﹣35>0 时,该关于 t 的方程必须有两正根

所以

. 解得:17.5<y≤42.

综上,年利润最大为 42 万元,此时促销费 t=7(万元) . 所以当促销费定在 7 万元时,企业的年利润最大.…(12 分) 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用、 方程根的分布等基础知识, 考查学生分析 问题和解决问题的能力,强调对知识的理解和熟练运用,属于中档题. 20. (16 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a1+a2+a3=14,且 a2+1 是 a1,a3 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; * 3 (3)若存在 n∈N ,使得 Sn+1﹣2≤8n λ 成立,求实数 λ 的最小值. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)将已知条件 a1+a2+a3=14,且 a1+1 是 a1,a3 的等差中项,用基本量表示,列 出方程组,求出首项与公比,利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项. n (2)由 bn=anlog2an=n?2 ,利用错位相减法能求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. (3)原问题等价于:存在 n∈N ,使得 λ≥f(n)min 即可,由此能求出 λ 的最小值. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1+a2+a3=14,且 a2+1 是 a1,a3 的等差中项, ∴ ,
*

成立,令 f(n)=

,只需

解得 q=2,a1=2,或 q= ,a1=8(舍) ∴an=2 . n (2)bn=anlog2an=n?2 , ∴ ,①
n

2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2 ①﹣②,得

2

3

4

n+1

,②

= ∴ (3)由(2)知

, . ,

原问题等价于:存在 n∈N ,使得

*

成立,

令 f(n)=

,只需 λ≥f(n)min 即可,

∵f(n+1)﹣f(n)=
2

=
2



∴f(n+1)﹣f(n)的正负取决于 n ﹣2n﹣1=(n﹣1) ﹣2 的正负, ∴f(1)>f(2)>f(3) ,f(3)<f(4)<… ∴f(n)min=f(3)= ,即 ∴λ 的最小值是 . 点评: 本题考查数列的通项公式的求法, 考查数列的前 n 项和的求法, 考查实数的最小值 的求法,解题时要注意错位相减法的合理运用. ,


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