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1.2.1应用举例(三)-角度与面积


作业:如图,某人在塔AB的正东方向的C处沿南 偏西60?的方向前进 40米到达D处以后,望见塔在 东北方向,BE为B到CD的距离,在E的仰角为30?, 求塔的高度.
A

10 (3 ? 3)m 3
D

B C E

距离

高度

角度

面积

例1.一艘海轮从A出发,沿北偏东75 的方向航行67.5n mile o 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32 的方向航行 54.0n mile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C,则此船 该沿怎样的方向航行,需要航行 o 多少距离?(角度精确到0.1 , 距离精确到0.01n mile)

o

解:∵在△ABC中,∠ABC=180o-75o+32o=137o, ∴根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.5 ? 54.0 ? 2 ? 67.5 ? 54.0cos137
2 2 ?

? 113.15

根据正弦定理, BC sin ?ABC sin ?CAB ? AC 54.0sin137? ? 113.15 ? 0.3255,
故∠CAB≈19.0°,
∴75°-∠CAB=56.0°.

答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行, 需要航行113.15n mile.

变题:如图,甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的

?

B 处,且乙船正在向正北方向行驶,如果甲船的速度是乙船的 3 倍,问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船?
解:设甲船在C处追上乙船 ? 则依题意可知, AC ? 3 BC , ?ABC ? 120

C

?由正弦定理可得
BC sin120 1 sin ?BAC ? ? AC 2
?



B
60?

??BAC ? 30?

A

答:甲船应以北偏东30o的方向前进才能尽快追上乙船。

距离

高度

角度

面积

C

b

a

A

c

D

B

如图,在△ABC中,AB边上的高CD=bsinA

1 ? S△ ABC ? bc sin A 2 1 1 同理可得S△ ABC ? ab sin C ? ac sin B 2 2

求三角形面积的方法:
(1)知一边及该边上的高:

1 1 1 S ? aha ? bhb ? chc 2 2 2
(2)知两边及其夹角:

1 1 1 S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

例1. 在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S (精确到0.1cm? ) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; (2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

1 解:(1)应用S ? ac sin B, 得 2 1 ? 2 S ? ? 23.5 ?14.8 ? sin148.5 ? 90.9(cm ) 2

例1. 在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S (精确到0.1cm? ) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; (2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

b c 解:(2) ? ? sin B sin C b sin C 3.16 ? sin 65.8? ?c ? ? ? 3.24(cm) ? sin B sin 62.7

又? A ? 180? ? (62.7? ? 65.8? ) ? 51.5?

1 ? S ? ? 3.16 ? 3.24 ? sin 51.5? ? 4.0(cm2 ). 2

例1. 在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S (精确到0.1cm? ) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; (2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

a 2 ? c2 ? b2 解:(3) ? cos B ? 2ac 38.7 2 ? 41.42 ? 27.32 ? ? 0.7679(cm) 2 ? 38.7 ? 41.4

?sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? 0.76972 ? 0.6384(cm)
1 1 ? S ? ac sin B ? ? 38.7 ? 41.4 ? 0.6384 ? 511.4(cm2 ) 2 2

例1. 在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S (精确到0.1cm? ) (4)已知 a ? 2,b ? 6, A ? 45? ;

b sin A 6 ? sin 45? 3 解:由正弦定理可得 sin B ? ? ? a 2 2

? b ? a ? B ? 60? 或B ? 120?
? (1)若B ? 60?,则C ? 180? ? 45? ? 60? ? 75? 1 1 3? 3 ? 故S ? ab sin C ? ? 2 ? 6 ? sin 75 ? 2 2 2 (2)若B ? 120?,则C ? 180? ? 45? ? 120? ? 15? 1 1 3? 3 ? 故S ? ab sin C ? ? 2 ? 6 ? sin15 ? 2 2 2

例1. 在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S (精确到0.1cm? ) (5)已知a=1,b= 7 ,B=60o ;

解:由余弦定理得 7 ? 1 ? c 2 ? 2c cos 60?

即 c ?c?6 ? 0
2

解得 c ? ?2(舍去)或c ? 3
1 1 3 3 3 2 ? S ? ac sin B ? ?1? 3 ? ? (cm ) 2 2 2 4

课后练习

1

例2、在△ABC中,角A、B、C所对边长分别为a、b、c, 已知a>c,ab=60,sinA=cosB,且该三角形的面积S=15, 求角A的大小。

1 解:∵△ABC 的面积 S ? ab sin C ? 30sin C ? 15 2 1 ? sin C ? 2
∵ a >c
∴∠C为锐角,故C=30o

3 1 ? sin A ? cos B ? cos(150 ? A) ? ? cos A ? sin A 2 2 整理得 tan A ? ? 3 ? ? A ? 120
?

? B ? 180? ? C ? A ? 150? ? A

例 3、在△ABC 中,若角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,且面积 S 满足条件 4 S ? a ? (b ? c ) ,则
2 2

角 A 等于 A、

( B、

D )
?
4
C、

?
6

?
3

D、

?
2


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