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直线的方向向量和平面的法向量改动


直线的方向向量和 平面的法向量

前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题

一、用向量来表示直线、平面在空间中 的位置

直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的 P ,存在实数 t 任一点 ??? ? ??? ? 使得 AP ? t AB
? a

P B A

或 AP ? t a

平面 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两 条相交直线(两个不共线向量)来确定.
? b

P
? a

? O

对于平面 ? 上的任 一点 P ,存在有序实数 对 ( x, y) ,使得

??? ? ? ? OP ? xa ? yb

二、平面的法向量

? (1)定义 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂
直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记

? ? ? 作 n⊥ ? ,如果 n ⊥? ,那么向量 n 叫做平面

? 的法向量.

n
?

二、平面的法向量 (2)理解

n
?

1.平面的法向量是非零向量; 2.一个平面的法向量不是唯一的,其所 有法向量都互相平行;

? 3.向量 n 是平面? 的法向量, ?? ? ?? 若 m ∥? ,则有 n ? m ? 0

二、平面的法向量 (3)法向量确定平面的位置

? 给定一点A和一个向量 n ,那 ? 么过点A以向量 n 为法向量的平面

是完全确定的.

? n
A

?

二、平面的法向量
(4)求法 在空间坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
步骤: ⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )

C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. ?

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ? ? 的坐标 a ? ( a1 , b1 , c1 ), b ? ( a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的 ? ? ?n ? a ? 0 方程组 ? ? ? ? ?n ? b ? 0 ? ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;

三、用方向向量和法向量判定位置关系

? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 法3:建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
A! z D! N B! C!

M
C y

? 设平面A1BD的法向量是 n ? ( x, y, z )

???? 1 1 ? A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 MN ? ( ,0, ) 2 2
A x

D B

? ???? ? ? ??? ? ?x ? z ? 0 则 n ? DA1 ? 0且n ? DB ? 0, 得 ? ?x ? y ? 0 ? 取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n ? (1, ?1, ?1)

???? ? ? ???? ? ? 1 1 又 MN ? n ? ( , 0, ) ? (1, ?1, ?1) ? 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ???? ? ∴ MN ∥ 平面A1 BD

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? ? ? 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ;
? ? ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

三、用方向向量和法向量判定位置关系

线面垂直 l ⊥ ? ?

( 具 体 证 时 两 种 方法 混 用简单)

面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

例2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,,

CD中点,求证:D1F ? 平面ADE ??? ??? ???? ? ? ? 以 ??DC 证明:设正方体棱长为1, DA??, ??,??DD1为单位正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得:
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 ? 为n=(x,y,z)
D1

z

C1 B1 E

A1 D A
x

? ??? ? ? ??? ? 则由n ? DA ? 0??, ? DE ? 0得 ??n

F B

C y

???? ? 1 又因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以 D1F ? 平面ADE

?x ? 0? 0 ? 0 则x=0,不妨取y ? 1,得z ? ?2 ? ? 1 ? 1, ? x ? y ? 2 z ? 0 所以n=(0, - 2) ?

???? ? ? 所以D1 F //n

练习一
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

练习二
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

垂直 平行

相交

练习三
1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 4 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? -5 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? -8 的法向量为(1,1/2,2),则m= .

3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 4 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

课时小结

?? ?? ?? ?? 线线平行 l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2 ; ?? ?? ? ?? ?? ? 线面平行 l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0 ; ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? 面面平行 ?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 . ? 设直线l的方向向量为e ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 ? 法向量为n ? (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内,面面平行包括面面重合. ? ? l // ? ? e ? n ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

?? ?? 设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ?? ? ? ?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则

一、平行关系:

二、垂直关系:

?? ?? 设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ?? ? ? ?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则
?? ?? ?? ?? 线线垂直 l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0 ;
?? ?? ? ?? ?? ? 线面垂直 l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1 ;

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? 面面垂直 ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0. ? ? 若e ? (a1, b1, c1 ), n ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? e // n ? e ? ? n ? a1 ? ?a2 , b1 ? ?b2 , c1 ? ?c2 .
? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,e // n ? ? ? a2 b2 c2


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