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2013届松江区高三一模数学文


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(文科)试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2013.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. lim

n 2 ? 3n ? n ?? 2n 2 ? n





2 2.已知集合 A ? ?0, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,4,16? ,则 a ?

?

?





3.若行列式

2 x ?1 1

4 ? 0, 则 x ? 2



. ▲ .

4.若函数 f ( x) ? 2x ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (5) =

5.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 ▲ . 6.己知 a ? (1,2sin ?) , b ? cos ?, 1 ,且 a ? b ,则 tan ? ? ( ?)

?

?





7 .抛物线的焦点 为椭圆 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,顶点 在椭圆中心, 则抛物线方程为 5 4 2 5 ? 的最小值为 x y

8.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则





9.现有 20 个数,它们构成一个以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,若从这 20 个数中随机 抽取一个数,则它大于 8 的概率是 ▲ .
2 2 2

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? a ? bc ,且 bc ? 8 , 则△ABC 的面积等于 ▲ .
2 4 2n n ??

7 5 11.若二项式 ( x ? a) 展开式中 x 项的系数是 7,则 lim(a ? a ? ? ? a

)=





1 x ?x 3 ,② g ( x) ? 3 ? 3 ,③ u( x) ? x ,④ v( x) ? sin x , x 其中满足条件:对任意实数 x 及任意正数 m ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的
12.给出四个函数:① f ( x) ? x ? 函数为 ▲ . (写出所有满足条件的函数的序号) 13.在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两点之 高三数学(文) 第 1 页 共 4 页

间的“折线距离”.则原点 O(0,0) 与直线 x ? y ? 5 ? 0 上一点 P( x, y) 的“折线距离”的 最小值是 ▲ . 14.某同学对函数 f ( x) ? x sin x 进行研究后,得出以下结论: ①函数 y ? f (x) 的图像是轴对称图形; ②对任意实数 x , f ( x) ? x 均成立; ③函数 y ? f (x) 的图像与直线 y ? x 有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ④当常数 k 满足 k ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ▲ .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答 题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

16.对于原命题: “已知 a、b、c ? R ,若 a ? b ,则

ac2 ? bc 2 ” ,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,
在这 4 个命题中,真命题的个数为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 17.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输 出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都 有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 2

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是
A. (1, 2) B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2)

高三数学(文) 第 2 页 共 4 页

三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 a ? (2cos x,1) ,b ? (cos x, 3sin 2x) ,其中 x ? R .设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的 最小正周期、最大值和最小值.

?

?

? ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知 z ? C ,且满足 z ? ( z ? z )i ? 5 ? 2i .
2

(1)求 z ; (2)若 m ? R , w ? zi ? m ,求证: w ? 1 .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网” 养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克/年)是养殖密度 x (单位: 尾/立方米) 的函数. x 不超过 4 尾/立方米) v 的值为 2 当 ( 时, (千克/年)当 4 ? x ? 20 ; 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾/立方米)时,因缺氧等原因, v 的值为 0 (千克/ 年) . (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可以达 到最大,并求出最大值.

高三数学(文) 第 3 页 共 4 页

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , 定义 C1 : 2 ? 2 ? 1 为其伴随曲线, 记双 a 2 b2 a b 曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B . (1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求 双曲线 C 的渐近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,过点 M (? 3,0) 且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交 曲线 C 于 N1 、 N 2 两点,求 ?ON1 N2 的面积( O 为坐标原点)
对于双曲线 C : (3) 若双曲线 C 的方程为 求动点 M 的轨迹方程.

x2 y 2 ? ? 1 , PQ ? x 轴, 弦 记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M , 4 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分 已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设数列 {cn } 对任意 n ? N ,都有
*

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的 2 2 2n

值. (3)在数列 {dn } 中,d1 ? 1 ,且满足

dn ? an ?1 (n ? N * ) ,求下表中前 n 行所有数的和 S n . d n ?1 d1d1 d2 d1d 2 d 2 d1 d3 d3
??

d1d n d n ?1

d 2 d n ?1 dd d d ?? k n ? k ?1 ?? n 1 d n ?1 d n ?1 d n ?1

高三数学(文) 第 4 页 共 4 页

松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(文科)试卷参考答案
2013.1 1.

1 2

2. 4 4. 1 6.

3. 2 5. 20 7. 9.

1 2

y2 ? 4x

8.2 10. 2 3 12.③

2 5 1 11. 2
13. 15.D

5
16. C 17.C

14. ①②④ 18.D

? ? 19.解:由题意知 f ( x) ? a ? b ? 2cos2 x ? 3sin 2x ????????? 3 分 cos 2 x ? 1 ? 2? ? 3 sin 2x 2 ? cos 2x ? 3 sin 2x ? 1 ?? ? ????????????? 6 分 ? 2sin ? 2x ? ? ? 1 6? ? 2? ?? ∴最小正周期 T ? ?????????? 8 分 2 ? ? 当 2x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ( x)max ? 2 ? 1 ? 3 ???????10 分 6 2 6 ? 3? ? 2k? ,即 x ? 2? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ? x ?min ? ?2 ? 1 ? ?1????12 分 当 2x ? ? 6 2 3
2 2 20.解: (1)设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z ? a ? b , ( z ? z)i ? 2ai ???? 2 分 2

由 a ? b ? 2ai ? 5 ? 2i
2 2

得?

?a 2 ? b2 ? 5

? 2a ? 2 ?a ?1 ? a ?1 解得 ? 或 ? ???????????? 5 分 ?b ? 2 ?b ? ?2 ∴ z ? 1 ? 2i 或 z ? 1 ? 2i ???????????? 7 分 (2)当 z ? 1 ? 2i 时,

???????????4 分

w ? zi ? m ? (1 ? 2i)i ? m ? ?2 ? i ? m ? (m ? 2) 2 ? 1 ? 1 ???????? 10 分
高三数学(文) 第 5 页 共 4 页

当 z ? 1 ? 2i 时,

w ? zi ? m ? (1 ? 2i )i ? m ? 2 ? i ? m ? (m ? 2) 2 ? 1 ? 1 ????????? 13 分
∴ w ?1 21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ; ???????????? 14 分 ??????????2 分

当 4 ? x ? 20 时,设 v?x ? ? ax ? b ,显然 v?x ? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? ?a ? ? 8 20a ? b ? 0 ? ? 由已知得 ? ,解得 ? ? 4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2
故函数

??????????4 分

?2, ? v? x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8

0 ? x ? 4, x ? N * 4 ? x ? 20, x ? N *
??????????6 分

?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 2 5 ??8 分 4 ? x ? 20, x ? N *. ? ? x ? x, 2 ? 8 当 0 ? x ? 4 时, f ?x ? 为增函数,故 fmax ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; ?????10 分
当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ?

所以,当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 的最大值为 12.5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方米. ???????????14 分 22.解: (1)∵ c ? a2 ? b2 , c1 ?

fmax ? x ? ? f (10) ? 12.5 .

1 2 5 1 1 100 , x ? x ? ? ( x 2 ? 20 x) ? ? ( x ? 10)2 ? 8 2 8 8 8
???????????12 分

2

a 2 ? b2
2 2 2

?????????1 分
2

由 c ? 2c1 ,得 a2 ? b2 ? 2 a2 ? b2 ,即 a ? b ? 4(a ? b ) 可得

b2 3 ? a2 5

?????????3 分

∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

15 x 5
2 2

?????????4 分

(2)双曲线 C 的伴随曲线的方程为 x ? y ? 1,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 l 与 圆相切知

3k
2

1? k 2 解得 k ? ? 2

? 1 即 3k 2 ? 1 ? k 2
???????????6 分

高三数学(文) 第 6 页 共 4 页

当k ?

2 时,设 N1 、 N 2 的坐标分别为 N1 ( x1 , y1 ) 、 N2 ( x2 , y2 ) 2
得x ?
2

? 2 ( x ? 3) ?y ? 由? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ?

1 ( x ? 3) 2 ? 1 ,即 x2 ? 2 3x ? 5 ? 0 , 2

∵ ? ? (2 3)2 ? 4 ? (?5) ? 32 ? 0 , x ? ∴ N1 N 2 ? 1 ? ( ∴ S ?ON1N2 ?

2 3?4 2 = 3?2 2 2

∴ x1 ? x2 ? 4 2

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ?4 2 ? 4 3 2 2

?????????8 分

1 ? N1 N 2 ?1 ? 2 3 2 2 由对称性知,当 k ? ? 时,也有 S?ON N ? 2 3 ??????????10 分 1 2 2 (3)设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 , ? y0 ) ,又 A(?2, 0) 、 B(2, 0) , y0 ∴直线 PA 的方程为 y ? ( x ? 2) ????① x0 ? 2 ? y0 直线 QB 的方程为 y ? ??????????12 分 ( x ? 2) ????② x0 ? 2

4 ? ? x0 ? x ? 由①②得 ? ?y ? 2y ? 0 x ?

??????????????14 分

x2 y 2 ? ?1上 ∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线 4 2 42 4 y 2 2 2 x2 y 2 ? ?1 ∴ x ? x ?1 ∴ 4 2 4 2

??????????????16 分

23.解: (1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d (d ? 0) ????????1 分
2 ? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴a2 =a1 ?a4

????????2 分



( 1? d 2 ? ? ?1 d 3 及 d ? 0 得 ) 1 ( )

d ?1

???????????3 分 ???????????4 分

∴ an ? n(n ? N*) (2)∵ an?1 ? n ? 1, 当 n ? 1 时,

c c1 c2 ? 2 ?? ? n ? n ?1 2 2 2n

对 n ? N 都成立
*

c1 ? 2 得 c1 ? 4 2

???????????5 分

高三数学(文) 第 7 页 共 4 页

当 n ? 2 时,由 ①-②得 ∴ cn ? ?

c c c1 c2 c c ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ② n 2 2 2 2 2 2 2n ?1
???????7 分

cn ? 1 ,得 cn ? 2n n 2

? 4 (n ? 1) n ?2 (n ? 2)
2 3 2012

???????8 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 (3)∵

22 (1 ? 22011 ) ? 4? ? 22013 ?????10 分 1? 2

dn d d d d ∴ 1 ? 2 ? 3 ?? n ? 2 ? 3 ? 4 ??? (n ? 1) ? an ?1 ? n ? 1 d 2 d3 d 4 d n?1 d n ?1 1 又∵ d1 ? 1 ∴ dn ? ????????????13 分 n! dd (n ? 1)! k ∵ k n ?k ?1 ? ????????????14 分 ? Cn?k ?1 (k ? 1, 2,? n) dn?1 k !(n ? k ? 1)! ∴第 n 行各数之和 d1dn d2 dn?1 dd 1 2 n ? ? ? ? n 1 ? Cn?1 ? Cn?1 ? ?? ? Cn?1 ? 2n?1 ? 2(n ? 1, 2?) ????16 分 dn?1 dn?1 dn?1 ∴表中前 n 行所有数的和 Sn ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?? (2n?1 ? 2) ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? 2n
? 22 (2n ? 1) ? 2n ? 2 n ? 2 ? 2n ? 4 2 ?1
???????????18 分

高三数学(文) 第 8 页 共 4 页


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