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2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件:第6章 第4节 合情推理与演绎推理


高三一轮总复习
抓 基 础 · 自 主 学 习

第四节
[考纲传真]

合情推理与演绎推理
课 时 分 层 训 练

1.了解合情推理的含义, 能进行简单的归纳推理和类比推

明 考 向 · 题 型 突 破

理, 体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义, 了解合情推 理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段 论”进行一些简单的演绎推理.

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1.合情推理
类型 定义 特点 归纳 根据一类事物的 部分 对象具有某种特征,推 由 部分 到 整体 、

推理 出这类事物的 全部 对象都具有这种特征的推理 由个别到 一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征 由特殊 到 特殊 的推理

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2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推 理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

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1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( )

(2) 在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适.( )

(3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数, 某数 m 是 3 的倍数, 则 m 一定是 9 的倍数”, 这是三段论推理,但其结论是错误的.( ) )

(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

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2.由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推出“半径为 R 的 球的内接长方体中,正方体的体积最大”是( A.归纳推理 C.演绎推理 B B.类比推理 D.以上都不是 )

[类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用

一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).所以,由 “半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为 R 的球的内 接长方体中,正方体的体积最大”是类比推理,选 B.]

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3.(教材改编)已知数列{an}中,a1=1,n≥2 时,an=an-1+2n-1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的表达式是( A.an=3n-1 C.an=n2 ) B.an=4n-3 D.an=3n-1

C [a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想 an=n2.]

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4.“因为指数函数 y=a 是增函数(大前提),而 所以函数
x

?1? y=?3?x 是指数函数(小前提), ? ?

?1? y=?3?x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ? ?

)

A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提错误导致结论错误

A [“指数函数 y=ax 是增函数”是本推理的大前提,它是错误的.因为实数 a 的取值范围没有确定,所以导致结论是错误的.]

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5.(2014· 全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.

A [由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去 过同一城市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城 市 A,由此可知,乙去过的城市为 A.]

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归纳推理

1 1 2 1 2 3 1 2 (1)(2016· 武汉 4 月调研)数列2, ?, , , ?, 3, 3, 4, 4, 4, m+1 m+1 m ,?的第 20 项是( m+1 5 A.8 5 C.7 ) 3 B.4 6 D.7

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(2)(2016· 山东高考)观察下列等式: ? π?-2 ? 2π?-2 4 ?sin ? +?sin ? = ×1×2; 3 3 3 ? ? ? ? ? π?-2 ? 2π?-2 ? 3π?-2 ? 4π?-2 4 ?sin ? +?sin ? +?sin ? +?sin ? = ×2×3; 5? 5? 5? 5? 3 ? ? ? ? ? ? ? π?-2 ? 2π?-2 ? 3π?-2 6π?-2 4 π?-2 ? 2π? ?sin ? +?sin ? +?sin ? +?+?sin ? = ×3×4; ?sin ? +?sin ? 7 7 7 7 9 9 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3π?-2 8π?-2 4 -2 +?sin 9 ? +?+?sin 9 ? =3×4×5; ? ? ? ? ?? 照此规律, ? ? ? ? π ? 2π ? 3π ? 2nπ ? ? ? -2 ? ?-2 ? ?-2 ? ?-2 sin sin sin sin + + +?+ =________. ? ? ? ? 2n+1? 2n+1? 2n+1? 2n+1? ? ? ? ? ? ? ? ?

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4 (2)3n(n+1) m?m+1? m [(1)数列 在数列中是第 1+2+3+?+m= 2 m+1

(1)C

5 5 项,当 m=5 时,即6是数列中第 15 项,则第 20 项是7,故选 C. 4 4 (2)通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的3是个固定数,3后面第一个 4 数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数的一半,3后面第二个数是 4 4 第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为3×n×(n+1),即3n(n+1).]

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[规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻 求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比 数列等; (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形 归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性. 2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.

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1 4 x x [变式训练 1] (1)已知 x∈(0,+∞),观察下列各式:x+x ≥2,x+x2=2+2+ 4 27 x x x 27 a * x + ?, 类比得 x + 则 a=__________. n≥n+1(n∈N ), 2≥3, 3 = + + + 3 ≥4, x x x 3 3 3 x (2)下面图形由小正方形组成,请观察图 641(1)至图(4)的规律,并依此规律, 写出第 n 个图形中小正方形的个数是__________. 【导学号:01772221】

图 641

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(1)n (n∈N )

n

*

n?n+1? (2) 2 (n∈N*)

[(1)第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=11

=1;第二个式子是 n=2 的情况,此时 a=22=4;第三个式子是 n=3 的情况,此 时 a=33=27,归纳可知 a=nn. (2) 由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 1 + 2 + 3 + ? + n. 所以总个数为 n?n+1? * ( n ∈ N ).] 2

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类比推理

(1)(2016· 陕 西 师 大 附 中 模 拟 ) 若 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 则 数 列
? a1+a2+?+an? ? ? {bn}?bn= 也是等差数列,类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等 ? n ? ?

比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为( c1+c2+?+cn A.dn= n n cn+cn+?+cn 1 2 n C.dn= n c1· c2· ?· cn B.dn= n D.dn= c1· c2· ?· cn n

)

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(2)(2016· 贵州六校联考)在平面几何中,△ABC 的∠C 的平分线 CE 分 AB 所成 AC AE 线段的比为BC=BE.把这个结论类比到空间: 在三棱锥 ABCD 中(如图 642), DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E,则得到类比的结论是________________.

图 642

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(1)D AE S△ACD (2)EB= S△BCD [(1)法一:从商类比开方,从和类比到积,则算术平均 n

数可以类比几何平均数,故 dn 的表达式为 dn= c1· c2· ?· cn. n?n-1? ?n-1? 法二: 若{an}是等差数列, 则 a1+a2+?+an=na1+ 2 d, ∴bn=a1+ 2 d d 1+2+?+(n d=2n+a1-2,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则 c1· c2· ?· cn=cn · q 1
-1)

n n n?n-1? =c1· q ,∴dn= 2

n-1 c1· c2· ?· cn=c1· q 2 ,即{dn}为等比数列,故选 D.

AE S△ACD (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得EB= .] S△BCD

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[规律方法]

1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进

行对比,提出猜想,其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与 等比数列类比;运算类比(和与积、乘与乘方,差与除,除与开方).数的运算与向 量运算类比;圆锥曲线间的类比等.

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[变式训练 2] 给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集, R 为实数集, C 为复数 集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0?a= c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b, c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1.”

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其中类比结论正确的个数为( A.1 C.3
B [类比结论正确的有①②.]

) B.2 D.4

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演绎推理

n+2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n∈N*).证 明:
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an. 【导学号:01772222】

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n+2 [证明] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn.2 分 Sn+1 S1 Sn ∴ =2· ,又 1 =1≠0,(小前提) n n+1
?Sn? 故? n ?是以 ? ?

1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)5 分

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Sn+1 Sn -1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1 n-1 n-1 =4an(n≥2),(小前提)8 分 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12 分

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[规律方法]

演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集合

M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.应 用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.

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[变式训练 3] 如图 643 所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD =∠A, 且 DE∥BA.求证: ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、 小前提和结论, 并最终把推理过程用简略的形式表示出来).

图 643

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[证明] (1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论)5 分 (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论)8 分

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(3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提) 所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ?? ? DE∥BA ? 四边形 AFDE 是平行四边形?ED=AF.12 分

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[思想与方法] 1.合情推理的过程概括为 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法, 是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过 演绎推理来进行.

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[易错与防范] 1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则 只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误. 2.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过 进一步严格证明. 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意 推理过程的严谨性,书写格式的规范性.


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