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2010全国初中数学联赛试卷


2010 年全国初中数学联合竞赛试题参
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;第二试各题,请按 照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请 参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试
(本题满分 一、选择题: 本题满分 42 分

,每小题 7 分) 选择题: ( 1. 若 a, b, c 均为整数且满足 ( a ? b) + ( a ? c) = 1 ,则 | a ? b | + | b ? c | + | c ? a |=
10 10





A.1. 【答】B.

B.2.

C.3.

D.4.

因为 a, b, c 均为整数,所以 a ? b 和 a ? c 均为整数,从而由 ( a ? b) + ( a ? c ) = 1 可得
10 10

?| a ? b |= 1, ?| a ? b |= 0, 或? ? ?| a ? c |= 0 ?| a ? c |= 1.
若?

?| a ? b |= 1, 则 a = c ,从而 | a ? b | + | b ? c | + | c ? a |= | a ? b | + | b ? a | + | a ? a |= 2 | a ? b |= 2 . ?| a ? c |= 0, ?| a ? b |= 0, 则 a = b ,从而 | a ? b | + | b ? c | + | c ? a |= | a ? a | + | a ? c | + | c ? a |= 2 | a ? c |= 2 . ?| a ? c |= 1,

若?

因此, | a ? b | + | b ? c | + | c ? a |= 2.

2.若实数 a, b, c 满足等式 2 a + 3 | b |= 6 , 4 a ? 9 | b |= 6c ,则 c 可能取的最大值为 . A.0. 【答】C. B.1. C.2. D.3.





由两个已知等式可得 a =

3 2 (c + 3),| b |= (2 ? c) ,而 | b |≥ 0 ,所以 c ≤ 2 . 5 5

当 c = 2 时,可得 a = 9, b = 0 ,满足已知等式. 所以 c 可能取的最大值为 2.

3.若 a, b 是两个正数,且 . A. 0 < a + b ≤ 【答】C. 由

1 . 3

a ?1 b ?1 + + 1 = 0, 则 b a 1 4 4 B. < a + b ≤ 1 . C. 1 < a + b ≤ . D. < a + b ≤ 2 . 3 3 3





a ?1 b ?1 + + 1 = 0 可得 a 2 + ab + b 2 = a + b ,则 b a


ab = (a + b)2 ? (a + b) = (a + b)(a + b ? 1)
由于 a, b 是两个正数,所以 ab > 0, a + b > 0 ,所以 a + b ? 1 > 0 ,从而 a + b > 1.

2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

第 1 页(共 7 页)

另一方面,由 ( a + b) 2 = ( a ? b) 2 + 4ab ≥ 4ab 可得 ab ≤

( a + b) 2 a+b ,结合①式可得 ≥ a + b ? 1 ,所以 4 4

a+b ≤

4 . 3 4 . 3
4 2

因此, 1 < a + b ≤

4.若方程 x ? 3 x ? 1 = 0 的两根也是方程 x + ax + bx + c = 0 的根,则 a + b ? 2c 的值为 ( .
2



A.-13. 【答】A.
2

B.-9.

C.6.

D. 0.

设 m 是方程 x ? 3 x ? 1 = 0 的一个根,则 m ? 3m ? 1 = 0 ,所以 m = 3m + 1 .
2 2

由题意, m 也是方程 x + ax + bx + c = 0 的根,所以 m + am + bm + c = 0 ,把 m = 3m + 1 代入此式,
4 2 4 2 2

得 (3m + 1) 2 + am 2 + bm + c = 0 ,整理得 (9 + a ) m 2 + (6 + b) m + c + 1 = 0 . 从而可知:方程 x ? 3 x ? 1 = 0 的两根也是方程 (9 + a ) x 2 + (6 + b) x + c + 1 = 0 的根,这两个方程实质上应
2

该 是 同 一 个 一 元 二 次 方 程 , 从 而 有 (9 + a ) x 2 + (6 + b) x + c + 1 = k ( x 2 ? 3 x ? 1) ( 其 中 k 为 常 数 ) 故 ,

9 + a 6 + b c +1 = = ,所以 b = ?3a ? 33, c = ? a ? 10 . 1 ?3 ?1
因此, a + b ? 2c = a + ( ?3a ? 33) ? 2( ? a ? 10) = ?13 . 5. . 在△ ABC 中, 已知 ∠CAB = 60° , E 分别是边 AB, 上的点, ∠AED = 60° ,ED + DB = CE , D, AC 且 ∠CDB = 2∠CDE ,则 ∠DCB = ( ) A.15°. B.20°. C.25°. D.30°. 【答】 B. 如图,延长 AB 到 F,使 BF=ED,连 CF,EF. ∵ ∠EAB = ∠AED = 60° ,∴ ∠EDA = 60° , ∠EDB = ∠CED = 120° , AD = AE = ED = BF , CE = ED + DB = DB + BF = DF , 于是, AC = AF , ∠ACF = ∠AFC = 60° . 又∵ ∠EDB = 120° , ∠CDB = 2∠CDE , ∴ ∠CDE = 40°, ∠CDB = 80° , ∠ECD = 180° ? ∠CED ? ∠EDC = 20° . 在△CDA 和△CBF 中,CA=CF, ∠CAD = ∠CFB = 60° ,AD=BF,∴ △CDA≌△CBF, ∴ ∠FCB = ∠ACD = 20° . 于是, ∠DCB = 60° ? ∠CDE ? ∠FCB = 20° . 6.对于自然数 n ,将其各位数字之和记为 an ,如 a2009 = 2 + 0 + 0 + 9 = 11 , a2010 = 2 + 0 + 1 + 0 = 3 ,则 .

a1 + a2 + a3 + L + a2009 + a2010 =
A.28062. 【答】D. B.28065. C.28067. D.28068.





2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

第 2 页(共 7 页)

把 1 到 2010 之间的所有自然数均看作四位数(如果 n 不足四位,则在前面加 0,补足四位,这样做不会改 变 an 的值). 1 在千位上出现的次数为 10 ,1 在百位上出现的次数为 2 × 10 ,1 在十位和个位上出现的次数均为
3 2

2 × 102 + 1 ,因此,1 出现的总次数为 103 + 2 × 102 × 3 + 2 = 1602 .
2 2 在千位上出现的次数为 11, 在百位和十位上出现的次数均为 2 × 10 , 在个位上出现的次数为 2 × 10 + 1 , 2
2 2

因此,2 出现的总次数为 11 + 2 × 10 × 3 + 1 = 612 .
2

类似的,可求得 k ( k = 3, 4, 5, 6, 7,8,9) 出现的总次数均为 2 ×10 × 3 + 1 = 601 .
2

因此 a1 + a2 + a3 + L + a2009 + a2010 = 1602 ×1 + 612 × 2 + 601× (3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) =28068. 二、填空题: 本题满分 28 分,每小题 7 分) 填空题: (本题满分 ( 1.已知实数 x, y 满足方程组 ? . 【答】 13. 由 x 3 + y 3 = 19 得 ( x + y )[( x + y ) 2 ? 3 xy ] = 19 ,把 x + y = 1 代入,可得 xy = ?6 . 因此, x, y 是一元二次方程 t ? t ? 6 = 0 的两个实数根,易求得这两个实数根分别为 3 和 ?2 ,所以
2

? x3 + y 3 = 19, 则 x2 + y 2 = ? x + y = 1,

.

x 2 + y 2 = 32 + (?2) 2 = 13 .

2. . 二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象与 x 轴正方向交于 A, 两点, y 轴正方向交于点 C. B 与 已知 AB =

3 AC ,

∠CAO = 30° ,则 c = 1 . 【答】 9



由题意知,点 C 的坐标为 (0, c ) , OC = c . 设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 ,0) , ( x 2 ,0) ,则 x1 , x 2 是方程 x + bx + c = 0 的两根.
2

由根与系数的关系得 x1 + x 2 = ?b,

x1 x 2 = c .
3 AC = 2 3c .

又 ∠CAO = 30° ,则 AC = 2c, AB = 于是, x1 = OA = AC cos 30° = 由 x1 x 2 = 9c 2 = c ,得 c =

3c , x 2 = OB = OA + AB = 3 3c .

1 . 9

3.在等腰直角△ABC 中,AB=BC=5,P 是△ABC 内一点,且 PA= 5 ,PC=5,则 PB=______. . 2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页(共 7 页)

【答】

10 .

作 PE⊥AB,交 AB 于点 E,作 PF⊥BC,交 BC 于点 F,设 PE = m, PF = n ,分别在△PAE、△PCF 中利用勾 股定理,得
A

m 2 + (5 ? n) 2 = 5
(5 ? m)2 + n 2 = 25


E P



②-①,得 10( n ? m) = 20 ,所以 m = n ? 2 , 代入①中,得 n + 7 n ? 12 = 0 ,解得 n1 = 3 , n2 = 4 .
2
B F C

当 n = 3 时, m = n ? 2 = 1 ,在 Rt△PAE 中,由勾股定理可得 PB =

m 2 + n 2 = 10 .

当 n = 4 时, m = n ? 2 = 2 ,此时 PE > AE ,所以点 P 在△ABC 的外面,不符合题意,舍去. 因此 PB = 10 . 4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有 5 个或 10 个球 . 的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放_______个球. 【答】 15. 将这些球的位置按顺序标号为 1,2,3,4,……. 由于 1 号球与 7 号球中间夹有 5 个球,1 号球与 12 号球中间夹有 10 个球,12 号球与 6 号球中间夹有 5 个 球,7 号球与 13 号球中间夹有 5 个球,13 号球与 2 号球中间夹有 10 个球,2 号球与 8 号球中间夹有 5 个球,8 号球与 14 号球中间夹有 5 个球,14 号球与 3 号球中间夹有 10 个球,3 号球与 9 号球中间夹有 5 个球,9 号球 与 15 号球中间夹有 5 个球,15 号球与 4 号球中间夹有 10 个球,4 号球与 10 号球中间夹有 5 个球,因此,编 号为 1,7,12,6, 13,2,8,14,3,9,15,4,10 的球颜色相同,编号为 5,11 的球可以为另外的一种颜 色.因此,可以按照要求摆放 15 个球. 如果球的个数多于 15 个,则一方面,16 号球与 10 号球应同色,另一方面,5 号球与 16 号球中间夹有 10 个球,所以 5 号球与 16 号球同色,从而 1 到 16 号球的颜色都相同,进一步可以知道:所有的球的颜色都相同, 与要求不符. 因此,按这种要求摆放,最多可以摆放 15 个球.

第二试 (A) )
一. 本题满分 20 分) (本题满分 ( 设整数 a, b, c( a ≥ b ≥ c ) 为三角形的三边长, 满足 a + b + c ? ab ? ac ? bc = 13 ,
2 2 2

求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数. 解 由已知等式可得

(a ? b)2 + (b ? c) 2 + (a ? c) 2 = 26
令 a ? b = m, b ? c = n ,则 a ? c = m + n ,其中 m, n 均为自然数.
2 2 2 于是,等式①变为 m + n + ( m + n) = 26 ,即



m 2 + n 2 + mn = 13
2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

② 第 4 页(共 7 页)

由于 m, n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 m, n 只有两组: ?

?m = 3, ?m = 1, 和? ?n = 1 ?n = 3.

…………10 分

(1)当 m = 3, n = 1 时, b = c + 1 , a = b + 3 = c + 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b + c > a ,即

(c + 1) + c > c + 4 ,解得 c > 3 .又因为三角形的周长不超过 30,即 a + b + c = (c + 4) + (c + 1) + c ≤ 30 ,解得

c≤

25 25 .因此 3 < c ≤ ,所以 c 可以取值 4,5,6,7,8,对应可得到 5 个符合条件的三角形. …………15 分 3 3
(2)当 m = 1, n = 3 时, b = c + 3 , a = b + 1 = c + 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b + c > a ,即

(c + 3) + c > c + 4 ,解得 c > 1 .又因为三角形的周长不超过 30,即 a + b + c = (c + 4) + (c + 3) + c ≤ 30 ,解得 c≤ 23 23 .因此 1 < c ≤ ,所以 c 可以取值 2,3,4,5,6,7,对应可得到 6 个符合条件的三角形. 3 3
综合可知:符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5+6=11. ……………………20 分

A (本题满分 已知等腰三角形△ABC 中, AB=AC, 二. 本题满分 25 分) ( ∠C 的平分线与 AB 边交于点 P, 为△ABC 的内切圆⊙I 与 BC M P 边的切点,作 MD//AC,交⊙I 于点 D.证明:PD 是⊙I 的切线. I 证明 过点 P 作⊙I 的切线 PQ(切点为 Q)并延长,交 BC Q 于点 N. 因为 CP 为∠ACB 的平分线,所以∠ACP=∠BCP. C B M N 又因为 PA、PQ 均为⊙I 的切线,所以∠APC=∠NPC. 又 CP 公共,所以△ACP≌△NCP, …………10 分 所以∠PAC=∠PNC. 由 NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以 MQ//AC. ………………………………20 分 又因为 MD//AC,所以 MD 和 MQ 为同一条直线. 又点 Q、D 均在⊙I 上,所以点 Q 和点 D 重合,故 PD 是⊙I 的切线. ……………………………25 分

( 已知二次函数 y = x 2 + bx ? c 错误! 错误! 未找到引用源。 的图象经过两点 P (1, a ) , (2,10a ) . Q 三.本题满分 25 分) 未找到引用源。 (1)如果 a, b, c 都是整数,且 c < b < 8a ,求 a, b, c 的值. (2)设二次函数 y = x 2 + bx ? c 错误!未找到引用源。的图象与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交点为 C. 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。如果关于 x 的方程 x + bx ? c = 0 的两个根都是整数,求△ABC 的面积.
2



点 P (1, a ) 、Q (2,10a ) 在二次函数 y = x 2 + bx ? c 错误!未找到引用源。的图象上,故 1 + b ? c = a , 错误!未找到引用源。

4 + 2a ? c = 10a , 解得 b = 9a ? 3 , c = 8a ? 2 .
(1)由 c < b < 8a 知 ?

………………………………5 分

?8a ? 2 < 9a ? 3, 解得 1 < a < 3 . ?9a ? 3 < 8a,

………………………………10 分 又 a 为整数,所以 a = 2 , b = 9a ? 3 = 15 , c = 8a ? 2 = 14 . (2) 设错误!未找到引用源。 m, n 是方程的两个整数根,且 m ≤ n . 错误! 错误 未找到引用源。

2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

第 5 页(共 7 页)

由根与系数的关系可得 m + n = ?b = 3 ? 9a , mn = ?c = 2 ? 8a ,消去 a ,得 9mn ? 8( m + n) = ?6 , 两边同时乘以 9,得 81mn ? 72( m + n) = ?54 ,分解因式,得 (9m ? 8)(9n ? 8) = 10 . ………………………………15 分 所以 ?

?9m ? 8 = 1, ?9m ? 8 = 2, ?9m ? 8 = ?10, ?9m ? 8 = ?5, 或? 或? 或? ?9n ? 8 = 10, ?9n ? 8 = 5, ?9n ? 8 = ?1, ?9n ? 8 = ?2,

10 2 1 ? ? ? ?m = 9 , ?m = ? 9 , ?m = 93 , ?m = 1, ? ? ? 解得 ? 或? 或? 或? ?n = 2, ?n = 13 , ?n = 7 , ?n = 2 , ? ? ? 9 9 3 ? ? ?
又 m, n 是整数,所以后面三组解舍去,故 m = 1, n = 2 . 因此, b = ?( m + n) = ?3 , c = ? mn = ?2 ,二次函数的解析式为 y = x 2 ? 3 x + 2 . ………………………………20 分

易求得点 A、B 的坐标为(1,0)和(2,0) ,点 C 的坐标为(0,2) ,所以△ABC 的面积为

1 × (2 ? 1) × 2 = 1 . 2

………………………………25 分

第二试 (B) )
(本题满分 一. 本题满分 20 分)设整数 a, b, c 为三角形的三边长,满足 a + b + c ? ab ? ac ? bc = 13 ,求符合条件 (
2 2 2

且周长不超过 30 的三角形的个数(全等的三角形只计算 1 次). 解 不妨设 a ≥ b ≥ c ,由已知等式可得

(a ? b)2 + (b ? c) 2 + (a ? c) 2 = 26
令 a ? b = m, b ? c = n ,则 a ? c = m + n ,其中 m, n 均为自然数. 于是,等式①变为 m 2 + n 2 + ( m + n) 2 = 26 ,即



m 2 + n 2 + mn = 13
由于 m, n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 m, n 只有两组: ?



?m = 3, ?m = 1, 和? ?n = 1 ?n = 3.

…………10 分

(1)当 m = 3, n = 1 时, b = c + 1 , a = b + 3 = c + 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b + c > a ,即

(c + 1) + c > c + 4 ,解得 c > 3 .又因为三角形的周长不超过 30,即 a + b + c = (c + 4) + (c + 1) + c ≤ 30 ,解得 c≤ 25 25 .因此 3 < c ≤ ,所以 c 可以取值 4,5,6,7,8,对应可得到 5 个符合条件的三角形. …………15 分 3 3
(2)当 m = 1, n = 3 时, b = c + 3 , a = b + 1 = c + 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b + c > a ,即

2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

第 6 页(共 7 页)

(c + 3) + c > c + 4 ,解得 c > 1 .又因为三角形的周长不超过 30,即 a + b + c = (c + 4) + (c + 3) + c ≤ 30 ,解得

c≤

23 23 .因此 1 < c ≤ ,所以 c 可以取值 2,3,4,5,6,7,对应可得到 6 个符合条件的三角形. 3 3
综合可知:符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5+6=11. 二. 本题满分 25 分)题目和解答与(A)卷第二题相同. (本题满分 ( 题目和解答与( )卷第二题相同 (本题满分 题目和解答与( )卷第三题相同. 三. 本题满分 25 分)题目和解答与(A)卷第三题相同 ( ……………………20 分

第二试 (C) )
(本题满分 题目和解答与( )卷第一题相同 一题相同. 一. 本题满分 20 分)题目和解答与(B)卷第一题相同 ( 二. 本题满分 25 分)题目和解答与(A)卷第二题相同 ( 题目和解答与( )卷第二题相同. 三. 本题满分 25 分)设 p 是大于 2 的质数,k 为正整数.若函数 y = x 2 + px + (k + 1) p ? 4 的图象与 x (本题满分 ( 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求 k 的值.
2 解 由题意知,方程 x + px + ( k + 1) p ? 4 = 0 的两根 x1 , x 2 中至少有一个为整数.

由根与系数的关系可得 x1 + x 2 = ? p,

x1 x 2 = (k + 1) p ? 4 ,从而有
①………………………5 分

( x1 + 2)( x 2 + 2) = x1 x 2 + 2( x1 + x 2 ) + 4 = (k ? 1) p

(1)若 k = 1 ,则方程为 x 2 + px + 2( p ? 2) = 0 ,它有两个整数根 ?2 和 2 ? p .………………10 分 (2)若 k > 1 ,则 k ? 1 > 0 . 因为 x1 + x2 = ? p 为整数,如果 x1 , x 2 中至少有一个为整数,则 x1 , x 2 都是整数. 又因为 p 为质数,由①式知 p | x1 + 2 或 p | x 2 + 2 . 不妨设 p | x1 + 2 ,则可设 x1 + 2 = mp (其中 m 为非零整数) ,则由①式可得 x2 + 2 =

k ?1 , m

……………………………15 分 故 ( x1 + 2) + ( x2 + 2) = mp +

k ?1 k ?1 ,即 x1 + x2 + 4 = mp + . m m k ?1 又 x1 + x2 = ? p ,所以 ? p + 4 = mp + ,即 m k ?1 (m + 1) p + =4 m
如果 m 为正整数,则 ( m + 1) p ≥ (1 + 1) × 3 = 6 ,

②………………………20 分

k ?1 k ?1 > 0 ,从而 (m + 1) p + > 6 ,与②式矛盾. m m k ?1 k ?1 < 0 ,从而 (m + 1) p + < 0 ,与②式矛盾. 如果 m 为负整数,则 (m + 1) p < 0 , m m
因此, k > 1 时,方程 x 2 + px + ( k + 1) p ? 4 = 0 不可能有整数根.

综上所述, k = 1 . 2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

………………………………25 分 第 7 页(共 7 页)


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