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第二讲证明不等式的基本方法


一、比较法 (1)作差比较法
例 1 已知a, b都是正数 , 且a ? b, 求证a ? b ? a b ? ab 证明 : ( a 3 ? b 3 ) ? (a 2b ? ab2 ) ? (a 3 ? a 2b ) ? (ab2 ? b 3 )
3 3 2 2

? a 2 ( a ? b ) ? b 2 ( a ? b ) ? ( a 2 ? b 2 )(a ? b )

? (a ? b)(a ? b) ? a, b ? 0,? a ? b ? 0 又 ? a ? b ? ( a ? b )2 ? 0

2

? a ? b ? a b ? ab

故 (a ? b )(a ? b )2 ? 0即(a 3 ? b 3 ) ? (a 2b ? ab2 ) ? 0 3 3 2 2

a 例2 如 果 用 akg白 糖 制 出 bkg糖 溶 液 ,则 其 浓 度 为 , b 若 在 上 述 溶 液 中 再 添 mkg 加 白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度 a?m 增加到 , 将 这 个 事 实 抽 象 为 数问 学 题, 并 给 出 证 明 . b?m

解 : 可 以 把 上 述 事 实 抽 象如 成下 不 等 式 问 题 : a?m a 已 知a , b, m都 是 正 数 , 并a ? b且, 则 ? b?m b 下面给出证明
a ? m a m( b ? a ) ? ? b ? m b b(b ? m )

? a ? b ?b ? a ? 0, 又? a, b, m都是正数, ? m(b ? a) ? 0, b(b ? m) ? 0 m( b ? a ) a?m a a?m a ? ?0 即 ? ? 0? ? b(b ? m ) b?m b b?m b

(2)作商比较法
例3 已知a , b是正数, 求证a a bb ? a bba , 当且仅当a ? b时, 等号成立.
?a? 证明 : b a ? a b ?? ? ?b? a b 根 据 要 证 的 不 等 式 的点 特(交 换a , b的 位 置 ,不等式不变 ) a b
a ?b b?a a b a?b

a ?a? 不妨设 a ? b ? 0, 则 ? 1, a ? b ? 0,? ? ? b ?b? 当且仅当 a ? b时, 等 号 成 立 .
a b b a

a ?b

?1

? a b ? a b ,当且仅当a ? b时, 等号成立.

补充例题 : 已知a ? 2, 求证 : loga ( a ? 1) ? log( a ? 1) a

课堂练习 : 课本P 23第1题, 第2题.

二、综合法与分析法 (1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式 的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要 证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定 理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立, 这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.

用综合法证明不等式的逻辑关系
A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B (已知)(逐步推演不等式成立的 必要条件)(结论)

例1 已知a , b, c ? 0, 且不全相等, 求证a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

证明 : ? b 2 ? c 2 ? 2bc, a ? 0,? a (b 2 ? c 2 ) ? 2abc 2 2 2 2 ? c ? a ? 2ac, b ? 0,? b( c ? a ) ? 2abc ? a 2 ? b 2 ? 2ab, c ? 0,? c ( a 2 ? b 2 ) ? 2abc
由于a , b, c不全相等, 所以上述三个式子中至 少有一个不 取等号, 把它们相加得 a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

例2 已知a1 , a 2 ,?, an ? R ? , 且a1a 2 ?an ? 1, 求证(1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2n
证明 : ? a1 ? R? ,? 1 ? a1 ? 2 a1 , 同理1 ? a2 ? 2 a2 ,? ,1 ? an ? 2 an ? a1 , a2 ,? , an ? R? ,由不等式的性质, 得 (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2
n

a1a2 ? an ? 2

n.

? ai ? 1时,1 ? ai ? 2 ai 取等号, 所以原式在a1 ? a2 ? ? ? an ? 1时取等号.

利用综合法证明不等式 时, 应注意对已证 不等式的使用, 常用的不等式有 : (1)a 2 ? 0; ( 2) a ? 0; ( 3)a 2 ? b 2 ? 2ab; 它的变形形式又有 a ?b ?a?b? (a ? b ) ? 4ab; ?? ? 2 ? 2 ? a?b ( 4) ? ab; 它的变形形式又有 2 a b a b ? ? 2( ab ? 0); ? ? ?2( ab ? 0) b a b a
2 2 2 2

(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、 公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成 立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考 和证明方法.

用分析法证明不等式的逻辑关系
B ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? A 结 论 (步步寻求不等式 成立的充分条件) 已 知

用分析法证“若A则B”这个命题的模式 是: 为了证明命题B为真,

只需证明命题B1为真,……
只需证明命题B2为真,……

……
只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.

例3 求证 2 ? 7 ? 3 ? 6
证明 : ? 2 ? 7和 3 ? 6都是正数, 所以要证 2 ? 7 ? 3 ? 6 , 只需证( 2 ? 7 )2 ? ( 3 ? 6 )2 , 展开得9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 , 只需证 14 ? 18 , 只需证14 ? 18,? 14 ? 18成立, 所以 2 ? 7 ? 3 ? 6成立.

a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 例4 已知a, b, c ? 0, 求证 ? abc a?b?c

分 析: 要 证 的 不 等 式 可 化 为 a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c ) 观察上式 , 左 边 各 项 是 两 个 字 母平 的方 之 积 , 右边各项涉及三个字, 母 可以考虑用 x 2 ( y 2 ? z 2 ) ? 2 x 2 yz
2 2 2 2 2 2

a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 例4 已知a, b, c ? 0, 求证 ? abc a?b?c
证明:

? a b ? b c ? 2b ac, a b ? c a ? 2a bc,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? 2c 2 ab. ? 2(a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 2abc ? a ? b ? c ? a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c) 1 ? a, b, c ? 0,? a ? b ? c ? 0,? ? 0, a?b?c 2 2 2 2 2 2 a b ?b c ?c a ? abc a?b?c
2 2 2 2 2 2

三、反证法与放缩法
(1)反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.

例1 已 知x , y ? 0, 且x ? y ? 2, 1? x 1? y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1? x 1? y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x

1? x 1? y 即 ? 2, 且 ? 2, y x ? x , y ? 0,? 1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x , ? 2 ? x ? y ? 2( x ? y ) ? x ? y ? 2, 这与已知条件x ? y ? 2矛盾. 1? x 1? y ? 与 中至少有一个小于2 y x

例2 已知a, b, c为实数 , a ? b ? c ? 0, ab ? bc ? ca ? 0, abc ? 0, 求证: a ? 0, b ? 0, c ? 0.
证明 : 假设 a , b , c不全是正数 , 即其中至少有一个不是 正数 , 不妨先设 a ? 0, 下面分 a ? 0和 a ? 0两种情况讨论 . (1)如果 a ? 0, 则 abc ? 0, 与 abc ? 0矛盾 ,? a ? 0 不可能 . ( 2 )如果 a ? 0, 那么由 abc ? 0可得 bc ? 0, 又 a ? b ? c ? 0, ? b ? c ? ? a ? 0, 于是 ab ? bc ? ca ? a ( b ? c ) ? bc ? 0, 这和已知 ab ? bc ? ca ? 0 相矛盾 . ? a ? 0也不可能 . 综上所述 a ? 0, 同理可证 b ? 0, c ? 0, 所以原命题成立 .

反证法主要适用于以下两种情形
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.

(2)放缩法

证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.

例3 已 知a , b, c, d ? R? , 求 证 a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
证明 : ? a , b, c , d ? 0, a a a ? ? ? a?b?c?d a?b?d a ?b b b b ? ? a?b?c?d b?c?a a ?b c c c ? ? a?b?c?d c?d ?b c?d d d d ? ? a?b?c?d d ?a?c c? d

把以上四个不等式相加 得 a?b?c?d a b c d ? ? ? ? a?b?c?d a?b?d b?c?a c?b?d d ?a?c a?b c?d ? ? . 即 a?b c?d a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?b?a d ?a?c
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有 较大的灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.

a?b a b 例4 已知a , b是实数, 求证 ? ? . 1? a ? b 1? a 1? b

证明 : ? 0 ? a ? b ? a ? b a?b a?b 1 1 ? ? 1? ? 1? ? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b a b a b ? ? ? ? . 1? a ? b 1? a ? b 1? a 1? b
也可以利用函数 的单调性来证明

放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A ? C , 后证C ? B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ? ) ? ? (a ? ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2? , 2 ? , ? , k ( k ? 1) k k ( k ? 1) k k ? k ?1 k 1 2 ? (以上k ? 2且k ? N ? ) k k ? k ?1

不等式的证明方法很多,常见的有比较 法,分析法,综合法,反证法,放缩法, 利用函数的单调性,还有后续的数学归 纳法等等;应该注意,不等式的证明没有 一种使用于所有问题的统一方法,应该 对具体的问题特点具体分析,选择合适 的方法。


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