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三角和数列专练2


三角和数列专练 2
一、解答题(本大题共 4 小题) 1.(本小题满分 12 分)已知正项等差数列 ?a ? 的前 n 项和为 S ,且满足 a ? a ? 1 a 2 , n 1 5 3 n

3

S7 ? 56 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 且 bn?1 ? bn ? an?1 ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

2.已知函数 y ? sin x ? sin 2x ? 3cos x ,求
2 2

(1)函数的单调减区间与周期

(2)当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求函数的值域 6 2

3.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且点 ? an , an?1 ? 在函数 f ? x ? ?

x 的图象上, 4x ?1

bn ?

1 * .?n ? N ? an

(Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn ? bn ? 2n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

4.已知向量 p =( sin x , 3 cos x ), q =( cos x , cos x ),定义函数 f ( x ) = p ? q (1)求 f ( x ) 的最小正周期 T ;

??

?

? ? ?

2 2 (2)若△ ABC 的三边长 a, b, c 成等比数列,且 c ? ac ? a ? bc ,求边 a 所对角 A 以及 f ( A) 的大小。

0.三角和数列专练 一、解答题 1.解:(Ⅰ) ?a ? a ? (n ? 3)d ? 2n . n 3 (Ⅱ)?Tn ?

2 答案解析

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?L ? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )?( ? ) b1 b2 bn ?1 bn 2 2 3 n ?1 n n n ?1

? 1?

1 n ? . n ?1 n ?1

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式和数列的求和的综合运用。 (1)利用等差数列的定义和通项公式表示出首项与公差的方程组,求解的得到。 (2)在第一问的基础上,得到 bn,然后利用累加法得到其通项公式,并利用裂项求和的数学 思想得到前 n 项和的求解和运算。 解:(Ⅰ) Q ?an ? 是等差数列且 a1 ? a5 ?

1 2 1 a3 ,? 2a3 ? a32 3 3

又 Q an ? 0 ?a3 ? 6 .…………………………………………………2 分

Q S7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 56 ? a4 ? 8 ,……………………………4 分 2
………………6 分

?d ? a4 ? a3 ? 2 ,?an ? a3 ? (n ? 3)d ? 2n .

(Ⅱ) Q bn?1 ? bn ? an?1且an ? 2n ,?bn?1 ? bn ? 2(n ? 1) 当 n ? 2 时, bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? L ? (b2 ? b1 ) ? b1

? 2n ? 2(n ? 1) ? L ? 2 ? 2 ? 2 ? n(n ? 1) ,……………………8 分
当 n ? 1 时, b1 ? 2 满足上式, bn ? n(n ? 1)

?

1 1 1 1 ? ? ? bn n(n ? 1) n n ? 1

……………………………………………………10 分

?Tn ?
? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?L ? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )?( ? ) b1 b2 bn ?1 bn 2 2 3 n ?1 n n n ?1
………………………………………………12 分

1 n ? . n ?1 n ?1

y ? 2 sin( 2 x ?
2.

?

(2)值域为 1 ,2 ? 2 . , 【解析】本试题主要考查了三角函数的性质的运用。第一问中,化简三角函数为

?

5? ?? ? ) ? 2 , (1)减区间为 ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) , T ? ? 4 8 ?8 ?



?

y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ? 2 ,然后结合正下函数的单调区间可知所求的单调减区间为

? ? 5? ?? ? ? 8 ? k? , 8 ? k? ?(k ? Z ) 以及周期的值。第二问中 x ? [ ? 6 , 2 ] ,得到 ? ? ? ? 5? (2x ? ) ? [? , ] 4 12 4
然后借助于正弦函数图像得到值域。 【答案】 y ?

2 sin( 2 x ?
??

?
4

) ? 2,
5? ?

---------------4 分

(1) 单调减区间为 ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 8 ?8 ? (2)因为 x ? [ ? --------14 分 3.解: (Ⅰ) bn ? 1 ? 4(n ?1) ? 4n ? 3 , an ? (Ⅱ) Sn ? 2n2 ? n ? 2 ? 2n?1 .

T ??

---------10 分

? ?

? ? 5? , ] ,所以 (2x ? ) ? [? , ] ,因此可得值域为 1 ,2 ? 2 , 6 2 4 12 4
1 . 4n ? 3

?

?

【解析】本试题主要是考查了等差数列的定义,以及数列的求和的综合运用。 (1)根据已知 an ?1 ?

an 1 1 ? ?4 4an ? 1 ,得到数列的递推关系,然后分析可知 an?1 an ,利用

等比数列定义得到通项公式的求解。

cn ? bn ? 2n 通项公式,然后借助于分组求和的思想得到结论。
(2)在第一问的基础上可知 解: (Ⅰ)由已知得: an ?1 ?

an 1 1 1 1 , ? 4? , ? ? 4 ,?bn?1 ? bn ? 4 . an an?1 an 4an ? 1 an?1
………………………………4 分 ……………………6 分

所以数列 ?bn ? 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 4(n ?1) ? 4n ? 3 , 又 bn ?

1 1 ,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? . 4n ? 3 an

………………… 8 分

(Ⅱ) Sn ? [1 ? 5 ? ?? (4n ? 3)] ? (21 ? 22 ???? ? 2n ) 计算并化简得 Sn ? 2n2 ? n ? 2 ? 2n?1 . 4.(1) T= …………………………………12 分

?? ? ? =π .(2) A= .fA.== . ? ? ?
2

【解析】本试题主要考查了三角函数的化简以及性质的运用。第一问中首先 p·q=(sin x, ? cos x)·(cos x,cos x)=sin xcos x+ ? cos x

? ?? cos ? x ? ? ? sin 2x+ ? · = sin 2x+ cos 2x+ ? ? ? ? ? ? ? =sin(2x+ )+ . ? ?
= 利用周期公式,得到结论。 2 第二问中,∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac, 2 2 又 c +ac-a =bc.

b ? ? c ? ? a ? ac ? c ? ? a ? bc ? ∴cos A= = = = ?bc ? ?bc ?bc ? ? ? ? ? fA.=sin(2× + )+ =sin π + = . ? ? ? ? ?
解:(1)f(x)= p·q=(sin x, ? cos x)·(cos x,cos x)=sin xcos x+ ? cos x…………2 分
2

? ?? cos ? x ? ? ? sin 2x+ ? · = sin 2x+ cos 2x+ ? ? ? ? ? ? ? =sin(2x+ )+ .………………………………4 分 ? ? ?? ∴f(x)的最小正周期为 T= =π .……………………………6 分 ?
= (2)∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac,…………………………7 分 2 2 又 c +ac-a =bc.
2

b ? ? c ? ? a ? ac ? c ? ? a ? bc ? ∴cos A= = = = .……………………10 分 ?bc ? ?bc ?bc ? 又∵0<A<π ,∴A= .……………………………………12 分 ? ? ? ? ? ? fA.=sin(2× + )+ =sin π + = .……………………14 分 ? ? ? ? ?


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