当前位置:首页 >> 数学 >>

人大附中2015高三5月适应性练习(文数三模带答案)


人大附中

5 月适应性考试 数学试卷(文科答案)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A A. {x | x ? ?1} 2.函数 f ( x ) ? sin( x ?

A. ( B. {x | x ? 2}

B?( A ) C. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | ?1 ? x ? 2}

?
2

) 图像的一个对称中心为( A )
C. (0, 0) D. ( ?

, 0) 2 4 x ?3 3.若 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y ? a ? 1 的反函数图像一定过点 A ,则 A 的坐标是( C ) A. (1, 0) B. (0,1) C. (2,3) D. (3, 2)
B. (0,1) 4.已知 A ,B,C 三点不重合,则“ AB ? BC ”是“A,B,C 三点共线”成立的( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 a, b 为两条直线, ?,? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( D A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b B.若 a ∥? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b C.若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b ) )

?

, 0)

?

? x ? y ? 1≥ 0, ? x?2 y 6.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3 的最小值是( B ) ? x ≤ 0, ?
A.0 B.1 C. 3 D.9

2 7.若曲线 y ? 2 px( p ? 0) 上有且只有一个点到其焦点的距离为 1,则 p 的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4

8 在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x),一种是平均价格 曲线 y=g(x) , ( 如 f(2)=3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元; g(2)=4 表示开 始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元 ).下面所给出的四个图象中,实线 表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是( C ) y y y y

x

x

x

x

A
5 月适应性练习

B
文科数学

C
第 1 页 共 6 页

D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 函数 f ( x) ?

x 的定义域是 3? x

? ??,3?
8 。

10. ( x ? ) 展开式中第 5 项为常数项,则正整数 n 的值是
n

1 x

11.在△ABC 中,AC= 3 ,∠A=45° ,∠C=75° ,则 BC 的长为

2



12.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 内有一点 A(?5, 0) ,直线 l 过点 A 交圆 C 于 P, Q 两 点 , 若 A 为 PQ 中 点 , 则 PQ ?

2 5

; 若 PQ ? 10 , 则 l 的 方 程 为
?

y ? 2x ? 1 0



13 .已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 Sn ( n ? N ) . 若

a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,则通项公式 an ? ____________ n ? 1
14. 定义一个对应法则 f : P ? m, n ? ? P? 则对应点 M ? 的坐标为

?

m , n , ? m ≥ 0, n ≥ 0 ? . 现有点 A ? 2,6 ? 与 点B ? 6, 2 ? ,

?

点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f : M ? M ? . 若点 M 坐标为(4,4) ,

?2 , 2 ?

;当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动

到点 B 结束时,点 M 的对应点 M ? 所经过的路线长度为

2 ? 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 12 分) 已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

? )的值; 4
3 4

(Ⅱ)设 ? ∈(0,

? ? ),f ( )= 1 ,求 cos2 ? 的值.
2
5

解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( (Ⅱ)∵f(

? 1 1 24 )=sinα +cosα = ,∴1+sin2α = , sin2α = ? , 25 5 25 2

? ? ? )=sin +cos =1 4 2 2

∴ cos2α = ?

3 3 7 ∵α ∈(0, π )∴2α ∈(π , π ) ∴cos2α <0. 4 2 25 7 故 cos2α = ? 25

16.(本小题共 13 分)
在一次百米比赛中,甲,乙等 6 名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道,跑道编号为 1 至 6,每人一条跑道 (Ⅰ)求甲在 1 或 2 跑道且乙不在 5 或 6 跑道的概率 ; (Ⅱ)求甲乙之间恰好间隔两人的概率。 (1)
1 1 4 C2 C3 A4 1 ? 6 A6 5 2 4 A2 A4 1 6 2 4 ,间隔 2 人有三种可能,如 1 且 4 跑道,故 A2 ? (总数为 A6 A4 6 A6 5

(2) 3 ?

5 月适应性练习

文科数学

第 2 页 共 6 页

17. (本小题共 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,AB=BC=CA= 3 ,AD=CD= AA1 =1, 平面 AAC 1 1C ? 平面ABCD , E为线段BC的中点, (Ⅰ) 求证:BD ? AA 1; (Ⅱ) 求证:A 1E // 平面DCC1D 1 (Ⅲ) 若 AA1 ? AC , 求A1E与面ACC1 A 1 所成角大小 (Ⅰ)证:在四棱锥 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D1 A1 B1

C1

AB ? BC ? CA ,且 AD ? DC , 取 AC 中点 O ,则 BO ? AC , DO ? AC ? B, O, D 三点在一条直线上。 ABCD 又 面 AAC 1 1C ? 面
面 AAC 1 1C 面 ABCD ? AC ,

D A B E

C

BD ? 面 ABCD , BD ? AC , ? BD ? 面 AAC 1 1C ,

AA1 ? 面 AAC 1 1C , ? BD ? AA1 ;????????4 分
(Ⅱ)连 AE ,在 Rt ?DCO 中 ?DCO ? 30 在正 ?BCA 中, ?BCO ? 60 ,? DC ? BC , 又在正 ?BCA 中, AE ? BC , ∴ AE DC , 又 AE ? 面 DCC1D1 , DC ? 面 DCC1D1 ,

? AE 面 DCC1D1 ,
在四棱锥中, AA 1 DD 1 , AA 1 ? 面 DCC1 D 1 ? 面 DCC1 D 1 , DD 1, ∴ AA1 // 面 DCC1D1 ,

AE ? A , ∴面 A1 AE 面 DCC1D1 , 又 A1E ? 面 AA 1E ,故 A 1 E 面 DCC1 D 1。 (Ⅲ)过 E 作 AC 的垂线,设垂足为 N , 面 ABCD ? 面 AAC 1 1C , ? EN ? 面 AAC 1 1C ,
又 AA1 连 A1 N ,则 A1 N 为 A 1E 在面 AAC 1 1C 内的射影, 所以 ?EA 1E 与面 AC1 所成角, 1 N 为直线 A

3 3 43 3 43 由已知得: EN ? , A1 N ? AA12 ? AN 2 ? 。 ,? tan ?EA1 N ? 4 ? 4 4 43 43 4
向量法 略

5 月适应性练习

文科数学

第 3 页 共 6 页

18. (本小题共 14 分)

数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; 等比数列,求 Tn , (Ⅲ)设 c ? [3, 6] ,在(2)的条件下,设 g (n) ? Tn ? cn ,求 g (n) 的最小值。 解: (Ⅰ)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得 (Ⅱ) 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b b, 1 ,a 2 ?2 3a ? 3 b 成

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ∴ an ? 3n?1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10
2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2
2

(Ⅲ)由已知得: g (n) ? n ? 2n ? cn ,对称轴 x ?

c?2 , 2

? c ? ?3, 6? ,?

c ? 2 ?1 ? ? ? , 2? , 2 ?2 ? c?2 3 ? ,此时 g (n) 最小值为 g (1) ? 3 ? c ; ①若 c ??3,5? ,则 2 2 ②若 c ? 5 ,此时 g (n) 最小值为 g (1) ? g (2) ? ?2 ;
③若 c ? ? 5,6? ,此时 g (n) 最小值为 g (2) ? 8 ? 2c 。

5 月适应性练习

文科数学

第 4 页 共 6 页

19. (本小题共 13 分) 设椭圆
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 和 F2 , 离心率 e ?

2 , 点 F2 到右准线 l 的 2

距离为 2 . (Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)设 M、N 是右准线 l 上两动点,满足 F1M ? F2 N ? 0. 当 MN 取最小值时,求证:M,N 两点 关于 x 轴对称 解: (1)因为 e ?

解得
2 2

c a2 ? c ,所以由题设得 ,F2 到 l 的距离 d ? a c ?c 2 ? , ? ?a 2 ? 2 ?a ? c ? 2 ? ?c c ? 2, a ? 2.
2

由 b ? a ? c ? 2, 得b ? (Ⅱ)由 c ?

2.

2 ,a=2 得 F1(? 2,0), F2 ( 2,0). l 的方程为 x ? 2 2 .

故可设 M (2 2, y1 ), N (2 2, y2 ). 由F 1M ? F 2M ? 0 知 得 y1 y2 ? ?6

2( 2 ? 2, y1 )(2 2 ? 2, y2 ) ? 0,
6 , y1

,所以 y1y2 ? 0, y2 ? ?

| MN |?| y1 ? y2 |?| y1 ?

6 6 |?| y1 | ? ? 2 6. y2 | y1 |

当且仅当 y1 ? ? 6 时,上式取等号,此时 y1 ? ? y2 。 即 M,N 两点关于 x 轴对称

5 月适应性练习

文科数学

第 5 页 共 6 页

20. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过原点,且在 x=1 处取得极大值。 (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若方程 f ? x ?

? 2a ? 3 ? ??
9

2

恰好有两个不同的根,求 f ? x ? 的解析式;

(Ⅲ)对于(2)中的函数 f ? x ? ,若对于任意实数α 和β 恒有不等式

f ? 2sin ? ? ? f ? 2sin ? ? ? m 成立,求 m 的最小值.
解: (Ⅰ) f ? 0? ? 0 ? c ? 0 , f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b, f ' ?1? ? 0 ? b ? ?2a ? 3 ,??2 分

? f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? ? 2a ? 3? ? ? x ?1??3x ? 2a ? 3? , 2a ? 3 由 f ' ? x? ? 0 ? x ? 1 或 x ? ? 3 2a ? 3 ? 1 ? a ? ?3 , 因为当 x ? 1 时取得极大值,所以 ? 3 所以 a 的取值范围是: ? ??, ?3? ;?????????????????????4 分
(Ⅱ)由下表:

x

x ?1

x ?1

1? x ? ?
- 递减

2a ? 3 3

x??
0 极

2a ? 3 3

x??


2a ? 3 3

f '? x? f ? x?


+ 递

0 极 大 值





递增

?a ? 2

a?6 2 ? 2a ? 3? 27
y
2

??????????????????????????????????7 分 画出 f ? x ? 的简图:

依题意得:

? 2a ? 3 ? , a?6 2 ? 2a ? 3 ? ? ? 27 9

?a ? 2
a?6 2 ? 2a ? 3? 27

解得: a ? ?9 , 所以函数 f ? x ? 的解析式是:

O

1

?

2a ? 3 3

x

f ? x ? ? x3 ? 9x2 ?15x ;?????????????????????????9 分
(Ⅲ)对任意的实数 ? , ? 都有 ?2 ? 2sin ? ? 2, ?2 ? 2sin ? ? 2 , 依题意有:函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值与最小值的差不大于 m ,???10 分 在区间 ? ?2, 2? 上有: f ? ?2? ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74 f ?1? ? 7 , f ? 2? ? 8 ? 36 ? 30 ? 2

f ? x ? 的最大值是 f ?1? ? 7 , f ? x ? 的最小值是 f ? ?2? ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74 ,??13 分 所以 m ? 81 即 m 的最小值是 81 。???????14 分

5 月适应性练习

文科数学

第 6 页 共 6 页


相关文章:
北京市人大附中2012届高三5月高考适应性练习(三模)物理...
北京市人大附中2012届高三5月高考适应性练习(三模)物理试题 隐藏>> 管理资源吧(www.glzy8.com) ,海量管理资源免费下载! 北京市人大附中 2012 届高三 5 月高考...
2012年5月北京市人大附中高考适应性练习(三模,文数,无...
2012年5月北京市人大附中高考适应性练习(三模,文数,无答案) 2012年5月北京市人大附中高考适应性练习(三模,文数,无答案)2012年5月北京市人大附中高考适应性练习...
人大附中2012届高三5月高考适应性练习(三模)化学
人大附中2012届高三5月高考适应性练习(三模)化学_理化生_高中教育_教育专区。北京...考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无 效。以下数据可供解题时参考: ...
北京市人大附中2015届高三5月热身练习(一)数学理试题_...
北京市人大附中2015高三5月热身练习()数学理试题_扫描版无答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。-1- -2- -3- -4- -5- -6- -7- -8- -9- -...
北京市人大附中2012届高三高考适应性练习(三模)(理数)w...
北京市人大附中2012届高三高考适应性练习(三模)(理数)word版 北京市人大附中2012...本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填写在题中横线上. 9....
人大附中2011届高考三模文科数学试题及答案
人大附中2011届高考三模文科数学试题答案人大附中2011届高考三模文科数学试题答案隐藏>> 人大附中 2011 届 5 月适应性考试数学试卷(文科)第 I 卷(选择题 共...
2012年5月北京市人大附中高考适应性练习(三模,理综)
2012年5月北京市人大附中高考适应性练习(三模,理综)_理化生_高中教育_教育专区。中国人民大学附属中学高三模拟考试 理科综合科目测试 2012.5 本试卷分第Ⅰ 卷(选...
北京市人大附中2012届高三高考适应性练习(三模)(理数)(...
北京市人大附中2012届高三高考适应性练习(三模)(理数)(1) 隐藏>> 中国人民大学附属中学高三模拟考试 数学试题(理科) 2012.5 本试卷分第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部...
人大附中2015届高三下学期四模考试数学文试题及答案
人大附中2015高三下学期四模考试数学文试题答案_数学_高中教育_教育专区。由...4,b ? 11 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) ) D.4 个 5.如图,执行程序...
人大附中2013届高三五月三模考试数学文word版试题含扫...
人大附中2013届高三五月三模考试数学文word版试题含扫描版答案_数学_高中教育_教育专区。2013人大附三模文科数学word版中国人民大学附属中学高三模拟考试 数学试题(文...
更多相关标签: