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112[1].例析函数与方程的相互转化(陈江兵)


例析函数与方程的相互转化
陈江兵
(岳阳职业技术学院,湖南岳阳414000)

摘要:函数的思想就是用运动和变化的观点分析和研 究数学问题:方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的

函数y=f(x)图像与X轴交点的横坐标。甬数与不等式也可以相 互转化,对函数y=f(x),当y>0时,就是不等式f(x)>0,而求f(x)> g(x)的解则可比较y=f(x)-qy:g(x)函数图像位置丽得到。 一、构造函数思想 例1.证明不等式ae“>be4(b<a<1)。 分析:由所证不等式很容易想到比商法,但a、b的正负无

等量关系,通过设未知数、列方程或方程组.解方程或方程组 等步骤.达到求值目的的解题思路和策略。函数与方程的相互
转化思想就是将数学中的函数问题转化为方程或方程组问

题,通过解方程(或方程组)或者运用方程的性质来分析、转化
问题.使问题得以解决。 关键词:函数方程转化

法确定,即使分类后,当a、b都为正数时。其商三e“也无法与l


甬数是代数内容的主干.它主要包括函数的概念、图像 和性质。函数思想足对甬数内容在更高层次上的抽象、概括 与提炼.是从甬数各部分内容的内存联系和经体角度来考虑 问题、研究问题和解决问题。函数思想贯穿于代数的全部内 容,它是在学习指数函数、对数函数及三角函数的过程中逐 渐形成,并为研究这些函数服务的。在研究方程、不等式、复 数、数列、解析几何等其他内容时。函数思想也起着十分重要   的作用。 方程是初等代数的主要内容。所谓方程思想,就是突出研
究已知量与未知量之『日J的等琶关系.通过没未知数、列方程或

比大小,思路受阻。再观察不等式两边形式类似,稍加变形即 为ae-'>be“,即可联想到函数f(x)=xel,就只需证f(a)>f(b)了, 利用函数单调性,问题得以巧妙解决。 证明:令f(x)------Xe‘(x<1),f,(x)=e‘(1-x)
在XE(一∞,1)上,f,(x)>0

贝qf(x)在(一m,1)上为增函数
则f(a)>f(b),IiPae I>be”

所以ae。>be-。 点评:应用函数性质证明不等式,关键在于构造一个适当 的函数.且能方便地判断函数的有关性质。 例2.已知1f(t)=l092t,t∈[、/2,8]对于f(t)值域内的所有实 数m,不等式x‘+mx+4>2m+4x恒成立,求x的范围。 分析:我们习惯上把x当作自变量,构造函数y--x‘+(m_4)


方程组,解方程或方程组等步骤.达到求值目的的解题思路和 策略,它是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。 函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于 零而相互关联的.它们之间既有区别又有联系。函数与方程的 思想,既足函数思想与方程思想的体现.也是两种思想综合运 用的体现.是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学
思想。

x排2m,于是问题转化为:当m∈[÷,3]时。y>O恒成立,求x范


甬数与方程思想是密切相关的.函数y=f(x)。兰iy--O时,就
转化为方程f(x)--O或看作方程y-f(x)--O;Ifii方程f(x)=O的解是

围。但要解决这个问题要用到二次函数及二次方程的区间根 原理,相当复杂。而如果把m看作自变量,x视为参数,原不等式

的学习带来了较多的困难。所以在课堂教学中,教师要充分调 动演示、实验、模型、教具等直观手段.采用数形结合等多种方 法,通过直观形象促进学生理解,以达到理解、掌握、运用知识
的目的。

2.3注重积累.培养能力.发展兴趣。 在教学活动巾.只有注重学生的知识积累和能力的培养, 才能使学生的观察能力、逻辑思维能力和空问想象能力等得 到提高。学生才能发现新问题,产生新的求知欲,形成新的学
习兴趣,这样循环下去.学习的智力和非智力因素就会得到不

学生顽强的学习毅力和刻苦的精神来源于对数学的浓厚 兴趣。只有树立正确的学习目的,才能产生持久的学习兴趣, 也才能使学生以锲『Iii不舍的精神去刻苦钻研.因此在数学教 学中,一方面要深刻阐述学习数学的重要性。另一方面要注意 用数学自身的魅力去感染学生。只有当学生在数学知识的学 习和应用中有了学习成功的愉快体验时.他们的学习兴趣和 学习毅力才会不断增强。
3.2独立思考,勇于创新的精神。

断的培养和发展。所谓“越学越有兴趣,越学越爱学”就是这个
道理。 3.良好的个性品质的培养

3.1顽强的学习毅力和锲而不舍的拼搏精神。 要培养学生坚强的意志品质.应该从培养自信心人手,因 为A信是成功的起点。学习卜的成功与失败感觉,是以自己确 定的“期望目标”为判断依据的。厌学的学生大多数缺乏自信 心.怀有强烈的自卑感。如果一个教师怀着浓厚的感情,不断 向学生传递充满希望的信息,那么即使再笨的学生也会聪明 起来.因为教师的话激起r学生情感的升腾与冲动,增强了学 生征服困难的信心。教师的期望成了学生学习的动力源泉。

在数学教学中,教师要使学生掌握基本数学思想和数学 方法,同时还要鼓励学生独立思考,标新立异。通过减弱条件 或加强结论或通过类比、归纳、一般化、特殊化等方法在纵横 不同的方向t推出新问题,引导和帮助学生对各种问题思路 和方法进行评定,这种生动活泼的教学必然能调动学生学习 的主动性,培养他们独屯思考、勇于创新的能力。 非智力因素重在探究.贵在培养。在数学教学过程中教师 必须克服重智力因素轻非智力因素的倾向。数学以其丰富的 内涵、巧妙的方法。为我们学生的非智力凶索提供了得天独厚 的条件,只要我们遵循一定的规律.采用科学的方法,就能使 学生养成良好学习的习惯,形成独立获取数学知识的本领,进 而全面提高学生的数学能力和素质。

万方数据

也 谈结合 实际使线性代数变得具体
吴忠怀
(岳阳职业技术学院机电系,湖南岳阳414000) 摘要:线性代数是高等代数中的基础课之一.其主要 特点是比较抽象,特别对于高职的学生而言难以接受和理解. 怎么使学生很好地学好线性代数课程.是数学教师值得研究 的课题、,笔者针对线性代数过于抽象的问题。谈谈自己在教学 过程中进行具体化、形象化的几种教学方法,以供同仁参考。 线性代数抽象具体 关键词:高等数学 高职数学中的线性代数是必学的基础课之一.学好线性 代数可以为争业课程的学习打好基础。同时町以帮助提高逻 辑思维能力。但由于线性代数理论的高度抽象性,加卜高职学 生的基础知识较差,学生对线性代数的学习比较}目难。笔者在 多年的教学实践中发现,在线性代数的教学过程中,可以从实 际问题出发.在分析解决实际问题的过程巾引入抽象的概念. 利用由特殊到一般的教学方法.让抽象变得自然,降低学习难 度。使学生加深对知识的理解和应用,激发学习兴趣。 一、从问题出发引入抽象的概念 结构,使学生感受到数学概念不是从帽子哩凭空冒出的兔子, 克服了“捏头去尾烧中段”的弊病。能很快激发学生的学习积
极性。

例如,矩阵的乘法是矩阵理论中最基本的内容之一,授课
时先讲一个引例:有两个工厂l、Ⅱ同时生产甲、乙、丙、丁四

种产品,假设某月的摹本情况用矩阵表示如下。求该月这两个
工厂的总利润分别为多少?

A=(8“)2“,B=(bti)忱,C=(o“)2x2(i=1,2;k=1,2,3,4;j=l,2),

其中a。表示第i个下厂该月生产第k种商品的数量。b。,b。,
分别表示k种商品的单位价值和单位利润,c..,c:,分别表示第i 个T厂该月的总收入和总利润。通过三个矩阵的元素之间的 关系.引入矩阵乘法的定义,非常自然。通过这个例子,学生不 仅可以看到矩阵乘积的应用.而且加深了对矩阵乘法的理解。 又如,在讲线性相关与线性无关时。先讨论方程个数真假 的问题。如下面的方程组:
fx+y+z=O……(1)

 

在现实的世界巾.问题是数学的心脏。是概念产生的背

{2x+y+5z=O……(2)
13x+2y+6z--0……(3)

景.即知识发展的来源。从问题入手往往更加符合学生的认知

化为(x一2)m+(x一2)‘>0,构造函数g(m)=(x一2)m+(x一2)‘为m的

又b‘+c‘=1一f.贝qbc=a‘一a. 由此得到启示。b+c与bc都可用a表示. 故b、c是关于x的一元二次方程x‘一(1-a)x+a'-a=O的两根。 故△=(1-a)‘—4(f—a)/>0。3a.一2a—l≤0。


一次函数,在x∈[÷,3]上恒大于o,这样就非常简单。


解:因为t∈[、/2,8],,"Ji:ItM(t)E[÷,3]。即m∈[_÷,3],
‘ ‘

原不等式可化为m(x一2)+(x一2)‘>0恒成立。又m>O,所l以x#2。 令g(m)=(x一2)m+(x一2)‘为m的一次函数,问题转化为g(m)在


解得一二≤a≤l。




m∈[喜,3]上恒大于。的问题,则只需{贰言’>o。解得x>2或
‘tg(3)>O x<一l,即xE(一∞,1)U(2+∞)。

点评:当问题出现两数积与这两数和时.是构造一元二 次方程的明显信号,构造方程后再用方程特点町使问题巧妙
解决。

三、函数方程统一思想 例5.已知:三次方程x。“x+(1一m):0恰有三个相异实根,求
实数m的范嗣。

点评:注意到本题有两个变量x、m,且x本来为主元,但为 了解题方便.把原不等式看为m的一次Efi数。大大简化了运算。 在多字母的关系式中,应对参数的策略常常是“反客为主、变 更主元”,重新构造函数。
二、构造方程思想

分析:方程f(x)=o的根,即函数y=f(x)图像与X轴交点横坐 标,由题意甬数v=x。一6x+(1-m)应与x轴有i个不同交点,因三 次曲线连续且光滑,敝只需函数极大值与极小值异号即可。 解:令f(x)=x+-6x+(1-m)
则f,(x)=3x'-6

例3.已知—二L=l(a、b、c∈R),则有( q1
a—b

)。

A.a->4bc
C.a‘,>4bc

B.a-“bc
D.a‘≤4bc

令f,(x)---0.得x=--.、/2 为使y--f(x)与x轴交于不同的三个点。 只须f(、/2)?f(g、/2)<o 即l_4、/2<m<l“x/2。 点评:方程函数互相转化.为得到方程根的情况.用甬数 图像特点,特别用导数法求得极值点.用限制极值的方法使 图像穿x轴三次.问题解决。利用函数网像交点个数及交点位 置,使方程满足其根的某限制条件。是最常见的方程与鹱j效 统一的思想,借助图像特点。能直观义准确地看到方程根的 情况。

分析:原式变为3c—V丁a+b=0,则、/丁是实系数一元二
次方程cx"-ax+b--0的一个实根,故△_a‘-4bHc≥O,故选C。 点评:通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点。运用 方程思想使问题迎刃而解。 例4.已知a、b、cER,且a+b+c=1,a‘十b‘+c‘=l则a的范围为

解:由b+c=l-a懈b2+c2+2bc:(1一a)2
万方数据
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