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2016年高中数学人教B版数学选修1-1练习3.3.3导数的实际应用.doc


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第三章
一、选择题

3.3

第 3 课时

1.如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为导学号 96660612 ( l A.( )3π 6 l C.( )3π 4 [答案] A [解析] 设圆柱的底面半径为 r,高为 h, l B.( )3π 3 1 l D. ( )3π 44

)

l-4r l l 体积为 V,则 4r+2h=l,∴h= ,V=πr2h= πr2-2πr3(0<r< ).则 V′=lπr-6πr2, 2 2 4 l l l 令 V′=0,得 r=0 或 r= ,而 r>0,∴r= 是其唯一的极值点.当 r= 时,V 取得最大值, 6 6 6 l 最大值为( )3π. 6 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为导学号 96660613 ( A.2πr2 C.4πr [答案] A [解析] 设内接圆柱的高为 h,底面半径为 x,则由组合体的知识得 h2+(2x)2=(2r)2, 又圆柱的侧面积 S=2πx·h, ∴S2=16π2(r2x2-x4),(S2)′=16π2(2r2x-4x3),由(S2)′=0,得 x= =2πr2,故选 A. 3.已知某生产厂家的年利润为 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 1 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为导学号 96660614 ( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C [解析] y′=-x2+81,令 y′=0, 解得 x1=9,x2=-9(舍去). 当 0<x<9 时,y′>0; 当 x>9 时,y′<0, B.11 万件 D.7 万件 ) 2 r(x=0 舍去),∴Smax 2 B.πr2 1 D. πr2 2 )

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1 ∴y=- x3+81x-234 在(0,9)内单调递增,在(9,+∞)上单调递减, 3 ∴在 x=9 处取极大值,也是最大值. 4.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为 导学号 96660615 ( 3 A. V 3 C. 4V [答案] C [解析] 设底面边长为 x,侧棱长为 l,则 1 4V V= x2· sin60° · l,∴l= , 2 3x2 ∴S 表=2S 底+3S 侧=x2· sin60° +3· x· l = 3 2 4 3V x+ , 2 x ) 3 B. 2V 3 D.2 V

4 3V 3 S′表= 3x- 2 =0,∴x3=4V,即 x= 4V. x 3 3 3 又当 x∈(0, 4V)时 y′<0,x∈( 4V,V)时,y′>0,∴当 x= 4V时,表面积最小. 二、填空题 5 .有一条长为 16m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为 ________m2. 导学号 96660616 [答案] 16 [解析] 设矩形场地的长为 xm, 16-2x 则宽为 =(8-x)m, 2 其面积 S=x(8-x)=8x-x2,S′=8-2x, 令 S′=0 得 x=4, ∴当 x=4 时,S 取极大值,这个极大值就是最大值, 故当矩形场地的长为 4m,宽为 4m 时, 面积取最大值 16m2. 6.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M、m,则 M -m=________. 导学号 96660617 [答案] 32 [解析] f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 由 f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,
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可知 M=24,m=-8,故 M-m=32. 三、解答题 7.某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投 入广告费 t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤3).导学号 96660618 (1)若该公司将当年的广告费控制在 300 万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公 司获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入 300 万元,分别用于广告促销和技术改选.经预测,每投入技 1 术改造费 x(百万元),可增加的销售额为- x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案, 3 使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入) [解析] (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元), 则有 f(t)=(-t2+5t)-t =-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3), 所以当 t=2 时,f(t)取得最大值 4, 即投入 2 百万元的广告费时,该公司获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元), 由此获得收益是 g(x)(百万元) 1 1 则 g(x)=(- x3+x2+3x)+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=- x3+4x+3(0≤x≤3), 3 3 所以 g′(x)=-x2+4. 令 g′(x)=0,解得 x=-2(舍去)或 x=2. 又当 0≤x<2 时,g′(x)>0;当 2<x≤3 时,g′(x)<0. 所以当 x=2 时,g(x)取最大值,即将 2 百万元用于技术改造,1 百万元用于广告促销, 该公司获得的收益最大.

一、选择题 1.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 x ? ?-900+400x 0≤x≤390 元, 若总收入 R 与年产量 x 的关系式 R(x)=? , 则当总利润最大时, ? ?90090 x>390 每年生产产品的单位数是导学号 96660619 ( A.150 C.250 [答案] D [解析] ∵总利润 P(x)=
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3

)

B.200 D.300

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x ? ?-900+300x-20 000,0≤x≤390, ? 由 P′(x)=0,得 x=300,故选 D. ? ?90 090-100x-20 000,x>390, 2.把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的 面积之和的最小值是导学号 96660620 ( 3 3 2 A. cm 2 C.3 2cm2 [答案] D [解析] 设一个三角形的边长为 xcm,则另一个三角形的边长为(4-x)cm,两个三角形 的面积和为 S= Smin=2 3. 3.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 当每件商品的定价为________元时,利润最大.导学号 96660621 ( A.105 C.115 [答案] C [解析] 利润为 S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6 000, S′(x)=-2x+230,由 S′(x)=0 得 x=115,这时利润达到最大. 4.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 P 元, 销售量为 Q,则销量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2, 则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) 导学号 96660622 ( A.30 元 C.28 000 元 [答案] D [解析] 毛利润为(P-20)Q, 即 f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2), f′(P)=-3P2-300P+11 700 =-3(P+130)(P-30). 令 f′(P)=0,得 P=30 或 P=-130(舍去). 又 P∈[20,+∞),故 f(P)极大值=f(P)max, 故当 P=30 时,毛利润最大, ∴f(P)max=f(30)=23 000(元). B.60 元 D.23 000 元 ) B.110 D.120 ) 3 2 3 3 x + (4-x)2= x2-2 3x+4 3.令 S′= 3x-2 3=0 则 x=2,所以 4 4 2 B.4 cm2 D.2 3cm2 )

3

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二、填空题 5.如图所示, 某工厂需要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场, 一边可以利用原有的墙 壁, 其他三边需要砌新的墙壁, 当砌壁所用的材料最省时, 堆料场的长和宽分别为________. 导学号 96660623

[答案] 32 m,16 m [解析] 要求材料最省就是要求新

512 砌的墙壁总长度最短,如下图所示,设场地宽为 x m,则长为 m,因此新墙壁总长 x 512 512 度 L=2x+ (x>0),则 L′=2- 2 . x x 令 L′=0,得 x=± 16.∵x>0,∴x=16. 当 x=16 时,L 极小值=Lmin=64, 512 ∴堆料场的长为 =32m. 16 6.将边长为 1 m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, ?梯形的周长?2 记 S= ,则 S 的最小值是____________.导学号 96660624 梯形的面积

[答案]

32 3 3

[解析] 设剪成的小正三角形的边长为 x, ?3 -x?2 -x?2 4 ?3 则 S= = · (0<x<1), 2 1 3 3 1-x · ?x +1? · · ?1 -x? 2 2 S′(x)= = -6? ·? 1 -x2?-? 3 -x?2· ?-2x? 4 ? 2x · 2 2 ? 1 - x ? 3

-1? ? x -3? 4 -2? 3x · , ?1 -x2?2 3

1 令 S′(x)=0,0<x<1,得 x= . 3 1 1 当 x∈(0, )时,S′(x)<0,S(x)递减;当 x∈( ,1)时, 3 3 1 32 3 S′(x)>0,S(x)递增,故当 x= 时,S 取最小值是 . 3 3

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三、解答题 7. 如图所示, 做成一个断面为等腰梯形的水槽, 则斜角 θ 为多大时, 水槽的流量最大? 导学号 96660625

[解析] 设横截面面积为 S,过 D 作 CD⊥AB 于 C, 1 则 S= (AB+ED)· CD, 2 AB=a+2acosθ,CD=asinθ, 1 π S= (a+a+2acosθ)·asinθ=a2sinθ(1+cosθ)(0<θ< ). 2 2 又 S′(θ)=a2(2cos2θ+cosθ-1), 令 S′(θ)=0,即 a2(2cos2θ+cosθ-1)=0, 1 得 cosθ= ,或 cos=-1. 2 π 因为 0<θ< ,故 cosθ≠-1, 2 1 π 则 cosθ= ,此时 θ= . 2 3 π π π 而 0<θ< ,S′(θ)>0; <θ< 时,S′(θ)<0. 3 3 2 π 故当 θ= 时,横截面的面积最大,此时,水槽的流量最大. 3 8.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 a m,余下工程只需要建两端桥墩 之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x m 的相邻两墩之间 的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素,记余下工程的费用为 y 万元.导学号 96660626 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 a=640 时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? [解析] (1)设需要新建 b 个桥墩,则(b+1)x=a, a 即 b= -1.因此,y=f(x)=256b+(b+1)(2+ x)x x a a =256( -1)+ (2+ x)x x x = 256a +a x+2a-256. x

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256a 1 1 a 3 (2)由(1)知,f′(x)= 2 + ax- = 2(x -512) x 2 2 2x 2 3 令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以 f(x)在 x=64 处取得最 小值. a 640 此时,b= -1= -1=9. x 64 即需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.

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