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平面向量数量积的坐标表示1


(一)说教材:
学科:数学

课程名称:平面向量的数量积的坐标表示

教材所在页码:第二章第六小节(P110-112)
教材的地位和作用:“向量”是近代数学中重要和基 本的数学概念,是沟通代数、几何与三角函数的一种 工具,它有丰富的实际背景,又有广泛的实际应用, 在更新和完善中学数学知识结构中起重要作用,在高 中数学中

占据重要地位。而“平面向量的数量积的坐 标表示”是本章的重点内容之一,故本节内容是一个 非常重要的知识点,要求学生务必要掌握。

(二)说重点、难点:
重点是“平面向量的数量积的坐标表示”。这是 本节课的中心内容,通过这个知识平台,把数与形相 结合,从而把代数、几何与三角函数沟通起来; 难点是“平面向量的数量积的坐标表示的实际应 用”。因此,在教学中要从“求解长度、角度、方程 及判断垂直”等方面让学生认识平面向量的数量积的 坐标表示的实际应用,从不同的角度强化学生对本知 识点的理解。

(三)说教学目标:
1、知识与技能目标:
(1)掌握“平面向量的数量积的坐标表 示”这个 重要的知识点; (2)会用“平面向量的数量积的坐标表 示”的有关知识解决实际问题。如判断垂直、 求解长度、角度与方程等。 2、情感态度目标: 在师生共同的学习过程中,培养学生 合作交流,乐于探索创新的科学精神。

(四)说教法:
1、 本节课是学生在学习了“平面向量 基本定理”、“平面向量的坐标表示”、 “向量的数量积的定义、几何意义与性质” 的基础上来展开的; 2、教学中我采用“复习—问题—讨论— 解决”的模式进行教学。学生为主体,教 师在教学中起到引导者、评价者、组织者 和参与者的作用,与学生一起探导“平面 向量的数量积的坐标表示”的推导及其应 用; 3、本节课采用多媒体辅助教学,利用信 息技术制作课件,它们能更直观地帮助学 生学习,使学生的学习资源更丰富。

(五)说学法:
教学活动应以学生为主体,没有学生的积 极参与的课堂教学是失败的。课堂是学生的课 堂,学生在课堂上应有自主学习,也有合作交 流,更可以谈自已的看法,而不是传统上的模 仿和机械应用。 教师通过运用激发学生情趣,启发诱导, 多媒体实施等手段,充分发挥学生的主观能动 性,使学生能在良好的教学氛围中掌握本节课 的知识,这正是新课改的目的所在。

(六)说教学过程 一、利用多媒体进行复习 B (约6分钟) 1.概念: (1)夹角: ? (0≤ ? ≤ ?) (2)数量积的定义:

b

b
?
O
?

?

A

a ? b ?| a || b | cos?
其中:a ? 0, b ? 0

注意:两个向量的数量积是数量,而不是向量.

2.几何意义:

B

b
┐ B'

b cos?

O

?

A

数量积a ? b等于a的长度a 与b在a的方向上的投影数量 cos?的乘积. b B

b
?
O

a ? b ? a ? b ? cos?
a
A

| b | cos?

3.数量积的主要性质: 设a, b是两个非零向量

?1?a ? b ? a ? b ? 0
2

数量积为零是判定两向量垂直的充要条件

?2?.当a与b同向时, a ? b ? a ? b ;当向量a与b反向时, a ? b ? ? a ? b
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a
用于计算向量的模

?3?. cos? ?

a ?b a?b

.

用于计算向量的夹角

4. 平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平
面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 ? 的任一向量 a ,存在 一 对实数? 1, 2 使

a =? e +? e
1

1

2

2

? 2 e2
e
2

a
?1e1

e

1

5.平面向量 的坐标表示

设 a

=(x1,y1),

b

=(x2,y2)
1

,则
2

(1)a + b =(x +x (2) a - b =(x -x
1 1 2

, ,

y +y )
1 2 1 2

y -y )

(3) a =(? x , ? y ) ?
1

(4)设A(x ,y ),B(x ,y ),则 AB = OB - OA =(x -x ,y -y )
1 1 2 2 2 1 2 1

二、新课(充分利用多媒体课件进行授课)约11分钟 引例: 已知:A(2,1),B(3,2),C(–1,4),

求证:?ABC是直角三角形. y 分析:先画图,从图中可
知,∠A应为90°,为证 明∠A=90°,只需证明

C
B A O

AB=(3 – 2,2 – 1)=(1,1),
问题:已知两个非零向量 a =(x1,y1),

AB · AC=0.

x

AC=(– 1 – 2,4 – 1)=(– 3,3),

b

=(x2,y2)

怎样用 a 和 b 的坐标表示 a · 呢?

b

如图,我们先看x轴上的单位向量 上的单位向量 j容易知道,

i

和y轴

i i
·

= 1 y

j ·j = 1

i · j = j ·i =

0

j
O

i

x

问题:已知两个非零向量 a =(x

1 ,

y ), b =(x y ),
1 2, 2

b 解: ∵ a =x +y j i
1 1 1 1 1

怎样用 a和 的坐标表示a · 呢? b
, 2 2

b =x i +y j ∴ a · =(x i+y j) · i +y j) b (x =x x2 · + x y · +x y j· +y y j · j ii i j i
1 2 2 2 2 1 1 2

? x1 x2 ? y1 y2

这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积的和。即

a · =X x2 + y1y2 b
1

数量积的主要性质的坐标表示: 设a, b是两个非零向量

?1?a ? b ? a ? b ? 0
2

设非零向量a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

数量积为零是判定两向量垂直的充要条件

?2?.当a与b同向时, a ? b ? a ? b ;当向量a与b反向时, a ? b ? ? a ? b
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a 设a ? ?x, y ?, 则 a ? x 2 ? y 2
用于计算向量的模 用于计算向量的夹角

?3?. cos? ?

a ?b a?b

.

设a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 则 cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

三、公式应用及巩固练习 (约27分钟)

引例解答:
已知:A(2,1),B(3,2),C(–1,4), 求证:?ABC是直角三角形. ∵ 证明: AB =(3-2,2-1)=(1,1)

AC =(-1-2,4-1)=(-3,3) AB · =1×(-3)+1×3=0 AC
∴ AB ?

AC

∴ ?ABC是直角三角形.

例1:已知 a =(3,2), =(1,-1) b 求 向量

a 与 b 的夹角的余弦值

(因本题比较简单,故要求学生自学。)

例 2:求以点C ( ɑ , b )为圆心,r 为半径的圆的方程
M

解:设M(x,y)是圆C上任意一点, 则| CM | =r, 即 CM · CM = r2

C

因为 CM =(x-α,y-b), 所以(x-α)2+(y-b)2=r2,

即圆的标准方程。
特别地:如果圆心在坐标原点上,这 时

α=0,b=0 ,那么圆的标准方程为 x2+y2=r2。

例3 已知 圆C:(x-ɑ)2+(y-b)2=r2, 求与圆C相切于点P (x , y )的
0 0 0

y
c.

.p
p0

切线方程

解:设P(x,y)为所求直线 l上一点 , 根据圆的线性质,有cp ⊥ 0 因为
0 0

o

x

pp l ,即 cp · =0
0 0

cp =(x0-ɑ,y0-b), pp =(x-x0,y-y0),所以

(x0-ɑ)· (x-x0 )+(y0-b)· (y-y0)=0
注意:若ɑ=0,b=0,容易得出此时的切线方程为

x0x+y0y=r2

P111答案

a 1、(1)

?

=2×1+2 3 -4 =2 b

3 -2

2×1+(2 3 -4) ×1 1 (2)cos? = = 2 4 3 -4 因为 0 ≤ ? 180 ≤ 所以 ? =60 2、 a b =3×(-6)+2×9=0
0 0 0
?

故有

a⊥b

P A组第1题答案 ( 1 ) 垂直 (2)垂直 (3)不垂直 (4)垂直
112

P112B组第4小题答案
如图:设C(x,y)为圆上任意一 y 点,因为AB为圆的直径,故 C B ∠ACB=900 , AC ⊥ BC · A M 从而 AC · =0,即 BC (x-x1,y-y1)(x-x2,y-y2)=0, X O (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 这即是以AB为直径的圆方程

1、 已知

平行? 2、已知:A、B、C三点坐标分别为(2,0)、 (4,2)、(0,4),直线 l 过A、B两点,求 点C到 l 的距离. y C

a =(1,2) , b = (-3,2) ,当k为何值时, (1)k a+ b与 a - 3 b垂直?(2)k a + b与 a -3 b

B H O A

l

x

四、小结: (约1分钟)
(1) 掌握平面向量数量积的坐标表示, 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和; (2) 要学会运用平面向量数量积的坐标表

示解决有关长度、角度、方程、及垂直问
题.

(1) 课本P112 习题2-6 A 组第2、3、4、5题. (2)课外补充 练习两题 (要求合作探究,得出答 案);

六、板书设计
课题: 2.6平面向量的数量积的坐标表示

?

1、平面向量的数量积的坐 标表示公式: 设 a =(x1,y1),

? 公式的推导过程

b

=(x2,y2) 则

? 学生练习

a ·b

=x1x2 + y1y2

2、利用坐标表示公式求解 长度、角度、方程和判 断垂直等。

感谢评委们的指导!

杨兆钦


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